高等数学专升本试卷 (3)

一、填空题

1.;                2.;            3.;        4.；

5.;    6. 1;            7.;            8..

二、单项选择题

1.;      2.;      3.;      4.;      5.      6.      7.      8. 

三、计算题

1. 解  原式==,  ………………………… 3分

    当时,  ,     原式=.   ……………………………… 5分

    当时,    ,    原式=.   …………………………… 7分

2. 解  曲面在处的法向量为

           ………………………………………………… 2分

    平面方程为

        ,  即  .    ……………………… 4分

    直线的方程又可写为,代入平面的方程解得,. …… 7分

3. 解  原式=   ……………………………… 2分

          =     ……………………… 3分

          =    ……………………… 5分

          =   …………………………………… 6分

          =.   …………………………………………… 7分

4. 解  ,     .    …………………………………1分

      =,  ………………………2分

      =

          =.  …………………………………………………3分

    由得.   ……………………………………………… 4分

    特征方程,特征根,.

    .   ………………………………………………………………… 6分

    由,得,.

    .    ………………………………………………………………………… 7分

5. 解   ,   … ………………………………………………… 2分

        ,    ,   ……………………………………………………… 4分

        ,    .   …………………………… 6分

      =,    .   ……………… 7分

6. 解:    ……………… 2分

                              …………… 3分

                                             ……… 4分

                         ………………………5分

                                   …………… 6分

                           = ………………… 7分

7. 解: 

      +…… 2分

          +   ……………………………… 5分

    …………………………………………………………………………………………… 7分

8. 解:  …………………………… 2分

         …………………………3分

         …… 4分

           ……………………… 5分

       … 7分

9. 解:      …………………………………………………… 2分

                 ……………………………………… 5分

                ……………………… 7分

四、应用题

1. 解  如图所示, ,

      ===.   ………… 3分

    上式两边对求导:

      ,   …………………………… 5分

    令得惟一驻点.    …………………… 6分

    由问题的实际意义知必有最大值,故就是的最大值点,即球员在离底线米处可获得最大射门张角.   ………………………… 8分

2. 解:     ……………………………3分

           …………………………………………5分

         通解: ………………8分

3.  解:   ………… 2分

                +(4+2……………… 5分

                  …………………………………………… 6分

         当时,达到最小   …………………………………… 8分

五、证明题

1. 证  令,  ……………………………………………… 1分

     ==,    ………………………… 2分

     由极限保号性知, ,使得.   ……………………… 4 分

    同理,由=得, ,使得.   …………… 5分

由于在上连续, ,故由零点定理知, ,使得,即.   …………………………………………………… 8分

2.证:      ……………………………………………… 1分

      的基础解系中含的向量的个数…… 3分

        由的每一个列向量是的解   …………5分

      中列向量组是线性相关的,   …………………………7分