第四章 可测函数

教学目的：

1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.

2.掌握通过Egoroff定理证明Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.

3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解.

重点难点：

1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.

2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.

3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.

4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.

§4.1 可测函数及相关性质

由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.

设是可测集上的函数,若对任何,是可测集,则称是可测集上的可测函数.

我们知道,在上连续,、都是开集.所以由可测函数的定义,区间上的连续函数是可测函数.

又如:设是的可测子集.则上的特征函数为

由于               

是可测集,所以是上的可测函数.即

定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.

今后,在不致混淆时,将简记为.类似, 、

    、、、等的意义同上.

问:定义中可否换成?答:可以.

定理4.1.2 设函数定义在可测集上,则下面四件事等价.

(i)在上可测;

(ii)对任何,可测;

(iii)对任何,可测;

(iv)对任何,可测.

其证明就是利用集合的运算.

证明:

证明:“”

(ii)(iii)

(iii)(iv)

(iv)(i) 

定理4.1.3 设函数和都是可测集上的可测函数,则

(i)、、、、都是可测集,其中,是广义实数.

(ii)是可测集.

证明: (i)先设是实数,则是可测集;

若,则可测;

若,则可测.

可见, 对任何广义实数,是可测集.

对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.

(ii)分析:,使,若,则,可,不管怎样,、之间可以插进有理数.即:若是有理数全体,则

再利用函数和都是可测函数,可得右侧为可测集,即是可测集.

在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.

如:,. 

不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.

定理4.1.4 设是可测集上的一列可测函数,则函数、、、都是可测函数.

证明:任取,则可测.(此等式表明至少有一个,否则都,就说明为上界,由上确界是最小上界,便会得出)

可测.

(至少有一个,否则都,为下界,其最大下界)

再由、知、都是可测函数.

(的上极限,;的下极限,)

实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.

§4.2 可测函数的其它性质

设是可测集,是一个与中每一点有关的命题.若除了的一个零测子集外,使对每一都成立,则称在上几乎处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).

例如,在R上几乎处处收敛于0或说a.e.在R(因为只有时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor集上的特征函数 a.e.在(因为Cantor集为零测集).

若说在R上a.e.有限,意即不有限的点的集合为零测集.

为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,其值域为区间.

数学分析中求R积分时,把曲的变成直的,

并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数,

它是由特征函数决定的.

设是可测集D上的一个函数,若

是由有限个实数,,…,组成,并且

都是可测集,则我们称是D上的一个简单函数.由此可以表示为

其中可记作,为上的特征函数.

由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).

易知,若、都是简单函数,则、、、、等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.

下面说明可测函数一定是简单函数的极限.

定理4.2.1 设是可测集D上的可测函数,则有D上的简单函数列,使对每一,,此外

(i)当时,可使上述满足对每一,单增收敛于;

(ii)当有界时, 可使上述在D上一致收敛于.

(即对任何,有,,有)

提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于,但不一致收敛.

答:如 ,则   ,这时在每一点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.

上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.

第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长;

第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即

(的取法可由中间一段得出,因此时必在-1和1之间,左等右不等,由得,由得,所以.第二次的取法类似).

证明:对每一,令

(i)显然是一列简单函数,现固定.

若,则对每一,有,从而;

若,则对每一,有,从而;

最后,若是一个实数,则当充分大时,存在唯一的,使得

,并且

于是,.令,即得.

特别,设非负.由的构造方法(如图x轴上方),易知:单增.

(ii)最后若有界,是的一个上界,则当时,及都是空集,从而对一切,有,故一致收敛于.

注1.由可测函数的定义,在可测集D上是否可测,与在D上的一个零测子集上的值无关.

可测  是可测集.

若,,即使在上乱动,对可测没有影响.即只要在上可测,就说在上可测(在上无定义也可).

说明:若 a.e.D ,则当,中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.

注2.设是D上的可测函数列, ,.若对每一个,

,由定理4.1.4知在上可测,从而由注1, 在上可测.这个结论也可以说成“可测函数列在D上几乎处处收敛的极限在D上可测”.

注3.设和都是D上的可测函数,若对某,,且或且,则就没有意义.但如果所有使没有定义的点的全体是零测集,则我们同样可以讨论的可测性,对也如此.

定理4.2.2 设和都是可测集D上的可测函数,是实数,则、、都是可测函数.此外若和几乎处处有定义,则它们也是可测的.

证明思路.以为例.因是可测集D上的可测函数,从而有简单函数列,进而简单函数列,所以极限函数可测.再如证可测,由已知,因,,、为简单函数列,所以也是简单函数列,且,因此极限函数可测.

一定注意:可测与否与零测集无关.

例题4.2.1 上的实函数是否一定可测?

答:不一定.找中的不可测子集,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合,令

则     ——→不可测.

所以在上不可测.

例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?

答:因,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.

例题4.2.3 设,其中可测,.若在上可测,是否在上可测?

答:可测.

 复述定理4.2.1

在D上可测有D上的简单函数列,且

(i)时,

(ii)当有界时,    .

之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列 a.e.,则是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.

重复定理4.2.2

设和都是可测集D上的可测函数,是实数,则、、都是可测函数.此外若和几乎处处有定义,则它们也是可测的.

什么叫几乎处处有定义?

即是零测集.

其证明思路:

①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限.

②也可用定义.如由或来证.

此处用方法①最清楚.

简单函数,,则,,

,a.e.D

(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无的情况,简单函数不允许取)在可测,,由注1, 在D可测(即例题3).

例题4.2.4 在D上可测,在D上是否可测?

答:因可测,则有简单函数列

所以                    

由于是简单函数,取有限个实数,当然也取有限个实数,因而也是简单函数,所以可测.

由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.连续故必可测.但若随便问可测吗?一下子说不清楚.

    、可测,则有简单函数、,这时也是简单函数,但?

若连续,有

若不连续,则没有,更不用说了.

所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测.

要点:    1.可测函数与零测集无关.

2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.

§4.3 可测函数用连续函数来逼近

称是一个紧集,若的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是是有界闭集.

定理4.3.1 设是一个紧集,是一列沿F连续的函数.若在上一致收敛于,则也沿F连续(,).

前面曾提到 ,由极限函数不连续不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.

问: 数分怎样证明“连续函数在一致收敛连续?”

证明:,,,

若改为也一样.

本节中非常重要的一个结果:

定理4.3.2(Egoroff)设和都是测度有限的集D上几乎处处有限的可测函数.若在D上几乎处处收敛于,则对任何,有D的闭子集F,使,并且在F上一致收敛于.(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)

证明:令,则由条件知,是可测集且.令

(是里那样的点: 与有关, 不动,取,现在看这种集合有什么性质)

对每一,,且每一个都可测.(首先,每一个都是子集,由知,也就是要证),易见，这是因为每个,现在对,取,由知,,有,说明,当然.所以,因此,于是得到.即.

由测度性质(定理3.3.6(i))

…………………(1)

又,所以对每一,有,使

………………(2)

(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,时,)

此时在上一致收敛于.

(即有,,,有(下证)

    ,有,使,从而当时,对一切,有.显然所以上述结论对都成立.即在上一致收敛于.)

    (由)

此时有的闭子集,使,则在上一致收敛于且

.

思路是:几乎处处收敛处处收敛一致收敛闭集上

↑          ↑        ↑       ↑

注:上述定理中要求测度有限即.此条件非常重要.若,则没有上述定理.

如:,.问:是否有闭集使?而且在上一致收敛于0? 

这是不可能的.因为做不到 a.e.R

引理4.3.1 设是中的闭集,函数沿连续,则可以开拓成上的连续函数,并且.

证明:此时,其中两两不交.(在上有定义,不妨设在上没有定义,故在端点,上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能在有定义不连续,同样重新定义)

今定义

显然是R上的连续函数.它是的开拓,且.

引理4.3.2 设是可测集上的简单函数,则对任何,有沿连续的函数,使.

(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)

证明:设(因为简单函数),其中都是实数且两两不同.令

 ,则可测,其中两两不相交,.对每一,有闭集,使(因可测集与闭集“差不多”)

则沿连续.

(对

充分接近时即

所以.

从而.

即沿连续.)

由引理4.3.1,可以开拓成上的连续函数.

(由第一章习题: ,由于在上,,所以可能不等的地方在外,即).

定理4.3.3(Lusin)设是可测集上几乎处处有限的可测函数,则对任何有沿连续的函数使,并且.

证明:不妨设处处有限.

先设(为了应用Egoroff定理),此时有简单函数列,使对任何,.现对每一个,由引理4.3.2,存在沿连续的函数,使

令,则

此时对每一(即),有

从而对每一,

     (因故可用Egoroff定理)

由Egoroff定理,,有有界闭集使

而且在上一致收敛于.由定理4.3.1,在上连续,再由引理4.3.1,可以开拓成上的连续函数.此时

这样我们在即有界的条件下证明了定理.

若,令

则.

由已证,对每一,有的闭子集,使沿连续,而且

此时,是闭集而且沿连续.

(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称集.如:.开集是集是由于.此处是闭集是因,有(下证)由于,故.现,故又由,当充分大时.由闭且知.)

由引理4.3.1,作为上函数可以开拓成上的连续函数,并且

对于,由引理4.3.1而得(因).

记住:只有Egoroff定理限定.

推论:若是上几乎处处有限的可测函数,则对任何,有上的连续函数,使,并且.

例:    处处不连续.令,则.

这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.

§4.4 测度收敛

已经学过三种,即

第四种即今天要学习的测度收敛.

设和都是上几乎处处有限的可测函数.若对任何,

,则称在上测度收敛于.记为.

例4.4.1.对每一,把等分,得到个小区间,.令

………………图形见演示文稿《测度收敛反例》

此时对任何

.(因越大,等于的区间越小)即.但对任何,中有无穷项为1,无穷项为0,可见不收敛.

例4.4.2.对每一,令,,.此时对,,但对

,.所以.

以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即

定理4.4.1(Riesz)设和都是可测集上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若,则中有子列几乎处处收敛于.

(ii)若,并且几乎处处收敛于,则.

证明:

(i)此时对每一,,因此有使

令(即集合序列的上极限)

则对每一

令得.即为零测集.

此时             

从而对每一,必有使,即有

.

也即 .

说明在上处处收敛于,也就是说在D上几乎处处收敛于.

 (ii) (注意条件,否则即使处处收敛于,也未必)

任给,,由于,由Egoroff定理,有D的可测子集使

并且在E上一致收敛于.于是有N,使

此时       

故           

即.

例4.4.3.设,,则在上几乎处处成立.

证明:由于

,

故对任何自然数,,

从而

令,即得.

但是

故,即     a.e.于E.

讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin定理.我们所说的“差不多”是而不是  a.e. 不要混同.