三角函数的化简、求值与证明

教学目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．

教学重点熟练地运用三角公式进行化简与证明．有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．

知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。  

主要方法1．三角函数的求值：

    1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 

    2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

    3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 

1．三角函数式的化简：

    三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

    2．三角恒等式的证明：

    三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．

基本训练

1、已知是第三象限角，且，那么等于　　　（　A　）

　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、

2、函数的最小正周期　　　　　　　　　　（　B　）

　A、　　　　　B、　　　　　C、　　　　　D、

3、等于　　　　　　　　　　　　　　　　（　D　）

　A、1　　　　　　B、2　　　　　　C、－1　　　　　D、－2

4、已知，则实数的取值范围是＿＿[－1，]＿＿＿。

5、设，则＝＿＿＿＿＿。

例题分析：

例1．已知，（），则    （  ）

                 或 

    略解：由得或（舍），∴，∴．   

例2．已知，是第三象限角，求的值． 

    解：∵是第三象限角，∴（），

    ∵，∴是第四象限角，∴，

    ∴原式．

例3．已知，求的值．

    解：由题意，，

    ∴原式．

例4．已知，求的值．

    解：∵，，

    ∴，

    得，若，则，

    若，无意义．

    说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如，，等，解题过程中应充分利用这种变形．

例5．已知关于的方程的两根为，

    求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值． 

解：（1）由根与系数的关系，得，

    ∴原式．

    （2）由①平方得：，，即，故．

    （3）当，解得，

    ∴或，

    ∵，∴或．

例1．化简：

    （1）；

    （2）；

    （3）．

解：（1）原式

            ．

    （2）原式

         ．

    （3）原式

    ∵，∴，∴，

    ∴原式．

例3．证明：（1）；（2）．

    证：（1）左边

            右边，∴得证．

    说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．

    （2）左边

    右边，∴得证．

课堂练习

1．若，则            （  ）

2．        （  ）

    2    4    8    16

3．化简： 答案： 

4．设，求的值。答案： 

6．已知，求的值。答案： 

7．（北京卷）已知=2，求（I）的值；（）的值．

解：（I）∵ tan=2, ∴;

所以=；

（）由(), tanα=－, 所以==.

8．（全国卷）已知函数求使为正值的的集合.

解：∵………………………………………………2分

…………………………………………………4分

    …………6分

…………………………8分

…………………………………………10分

          又   ∴………………………12分

9．(浙江卷)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．

(Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ) 

    (Ⅱ) 

            解得

1．         （  ）

2．已知，当时，式子可化简为（  ）

3．     1     ．

课后作业

三角函数的化简、求值与证明  

一、选择题

1、已知，则的值等于　　　　　　　　　　（　D　）

　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、

2、已知、是方程的两根，且，则等于　（B）

　A、　　　　B、　　　　C、或　　　　D、或

3、化简为　　　　　　　　（　B　）

　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、

4、（全国卷Ⅲ）  （  B  ）

(A)            (B)           (C) 1           (D) 

5、（山东卷）函数，若，则的所有可能值为（  B  ）

  （A）1         （B）      （C）     （D） 

二、填空题

6、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若  ，则tan 2a =______________.

7、（北京卷）已知tan =2，则tanα的值为－，tan的值为    -       

8、已知，则的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A、B为锐角，且满足，则＝＿＿.

三、解答题

10、求证： 

11、已知，试用表示的值。

答案： 

12、求值： 

答案： 

13、已知，求的值。答案：3