空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案

【考纲说明】

1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；

2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；

3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；

【知识梳理】

一、空间向量的运算1、向量的几何运算（1）向量的数量积：

已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ；　 　　　 ② ；　 　　 　③ ．

（2）向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

()

0a a ≠

b λb a λ= 2、向量的坐标运算（1）若，则．

　 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若 ， ，则 　　　 ， 　　 　 ， 　　　 ； ，．（3）夹角公式：

（4）两点间的距离公式：若 ， ，则　二、空间向量在立体几何中的应用2.利用空间向量证明平行问题

　对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．3.利用空间向量证明垂直问题

　对于垂直问题，一般是利用进行证明；

（1）线线角的求法：

设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[00,900]）

（2）线面角的求法：

设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为

（3）二面角的求法：

设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）

5.利用空间向量求距离

（1）平面的法向量的求法：

设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

（2）利用法向量求空间距离

（a）点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。

（b）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

（c）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

【经典例题】

【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）

（A ）

（B

（C ）2

3 （D

【解析】D

【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）

（A ）

(D) 3

4

【解析】D

【例3】（2012全国卷）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，

111ABC A B C -，则异面直线与所成角的余弦值为____________。

1160BAA CAA ∠=∠= 1AB 1BC 【解析】

6

6【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点。（Ⅰ）求异面直线CC 1和AB 的距离；

（Ⅱ）若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1—CD—B 1的平面角的余弦值。【解析】

53

1【例5】（2012江苏）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不同111ABC A B C -1111A B A C =D E ，1BC CC ，

于点C ），且为的中点． AD DE F ⊥，11B C 1

B A

B

C

S

E

F

1A 1

C F

E

求证：（1）平面平面；

ADE ⊥11BCC B （2）直线平面ADE ．

1//A F 【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF ．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C 的余弦值．1.

【解析】二面角F-BD-C 的余弦值为

．5

5【例7】（2012江西）在三棱柱中，已知

，点在底面的投

111ABC A B C -1AB AC AA ===4BC =1A ABC 影是线段的中点。

BC O （1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的1AA E OE ⊥11BB C C AE 长；

（2）求平面与平面夹角的余弦值。

11A B C 11BB C C 【解析】，

5510

30【例8】（2012湖南）四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点.

（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；

（Ⅱ）若直线PB 与平面

PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD

的体积.

【解析】111633V S PA =

⨯⨯=⨯=【例9】（2012广东）如图所示，在四棱锥中，平面，是中

P ABCD -AB ⊥PAD //,AB CD PD AD =E

PB

1

C

D

A

B

P

A

B

C

E

D

点，是上的点，且，为中边上的高。F DC 1

2

DF AB =

PH PAD ∆AD （1）证明：平面；

PH ⊥ABCD （2）若，求三棱锥的体积；1,2,1PH AD FC ===E BCF -（3）证明：

平面．

EF ⊥PAB 【解析】三棱锥的体积E

BCF -11111133262BCF V S h FC AD h ∆=

⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=【例10】（2012新课标）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．2

1

（1）证明：DC 1⊥BC ；

（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．【解析】二面角的大小为11C BD A --30︒

【例11】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面点在线段上，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PC PC ⊥

平面．

BDE （1）证明：平面；

BD ⊥PAC （2）若，求二面角的正切值．1PA =2AD =B PC A --【解析】二面角的平面角的正切值为3

B P

C A --【例12】（2012天津）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，P ABC

D -PA ABCD AC AD AB BC 0=45ABC ∠，.==2PA AD =1AC (Ⅰ)证明丄；

PC AD （Ⅱ）求二面角的正弦值；

A PC D --（Ⅲ）设E 为棱上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为，求AE 的长.

PA 030【解析】，

63010

10

D

B

A

P

A 1

【课堂练习】

1、（2012上海）若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （用反三角函数值表示）

2、（2012四川）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -M N CD 1CC 1A M DN 所成角的大小是____________。

3、（2012全国卷）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，

，

P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AC =2PA =是上的一点。E PC 2PE EC =（Ⅰ）证明：平面；

PC ⊥BED （Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。

A P

B

C --90 P

D PBC 4、（2010辽宁理）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=½AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.

（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；

（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

5、（2010辽宁文）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥（Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；

（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.

1

6、（2010全国文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，AC=BC ， AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE=3

EB 1

（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45°,求二面角A 1-AC 1-B 1的大小

7、（2010江西理）如图△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =

（1）求点A 到平面MBC 的距离；

（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。

8、（2010重庆文）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==，点E 是棱PB

的中点.

（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；

（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.

9、（2010浙江文）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

10、（2010重庆理）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点。（1）求直线AD与平面PBC的距离；

（2）若A-EC-D的平面角的余弦值。

11、（2010北京理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

12、如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC 外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a

5

（1）证明：EB⊥FD

（2）求点B到平面FED的距离.

13、（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。(1)求证：PC ⊥BC ；

(2)求点A 到平面PBC 的距离。

14、（2012上海）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面

2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

15、（2012四川）如图，在三棱锥中，，平面平面。P ABC -90APB ∠= 60PAB ∠= AB BC CA ==PAB ⊥ABC （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；

PC ABC （Ⅱ）求二面角的大小。

B AP

C --16、（2012安徽）长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。

1111D C B A ABCD -1111D C B A O BD E 1AA （Ⅰ）证明： ；

BD 1EC ⊥（Ⅱ）如果=2，=，,求 的长。

AB AE 21EC OE ⊥1AA

16图图

17、（2012北京文）如图1，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，Rt ABC ∆90C ∠= ,D E ,AC AB F CD 将沿折起到的位置，使，如图2。ADE ∆DE 1A DE ∆1A F CD ⊥（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；//DE 1A CB 1A F BE ⊥（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

1A B Q 1A C ⊥DEQ 18、（2012湖南）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.

19、如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠

＝

，P ABC -PA ABC D PC BAC 2

π

2AB =23AC =，求：

2PA =（1）三棱锥的体积

P ABC -（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

BC AD

1

20、（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，,

O ABCD -ABCD 4

ABC π

∠=

, ,为的中点。

OA ABCD ⊥底底2OA =M OA （Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

【课后作业】

1. （2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．

2、（2008湖南）四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;

（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

3、（2008福建）如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA =PD

，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥ AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.

（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD

若存在，求出

AQ

QD

的值；若不存在，请说明理由.4、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。（1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

1

A

A

B C

D E

A 1

B 1

C

1

D 1

5、（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1

3折成直二面角，如图2。（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1； （Ⅱ）求二面角O －AC －O 1

的大小。

6、（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,四边形1111D C B A ABCD -1111D C B A 是边长为1的正方形,平面,平面ABCD ，DD 1=2。⊥1DD 1111D C B A ⊥1DD (Ⅰ)求证:与AC 共面，与BD 共面. 11C A 11D B (Ⅱ)求证:平面 ;1111BDD B ACC A 平面⊥(Ⅲ)求二面角的大小.

C BB A --17、(2007海南)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点． S ABC -SAB SAC 90BAC ∠=°O BC （Ⅰ）证明：平面；

SO ⊥ABC （Ⅱ）求二面角的余弦值．

A SC

B --O

S B

A

C

A

B

O

C

O 1

D

8、(2007四川理）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠PCBM PCB PM BC PM BC AC ＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

ACB AB PC AM PC （Ⅰ）求证：平面⊥平面; （Ⅱ）求二面角的大小;PAC ABC B AC M --（Ⅲ）求三棱锥的体积.

MAC P -9、(2006全国Ⅰ卷)如图，、是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在上，C 在上，

1l 2l 1l 2l 。 （Ⅰ）证明AC ⊥NB ；

AM MB MN ==(Ⅱ)若，求与平面ABC 所成角的余弦值。

60O

ACB ∠=NB 10、（2006福建文、理）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC

的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；AO ⊥（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

A

B

M

N

C

l 2

l 1

H

11、（2010福建文）如图，在长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH//A 1D 1。过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交，交点分别为F ，G 。（I ）证明：AD//平面EFGH ；（II ）设AB=2AA 1=2a 。在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE – D 1DCGH 内的概率为p 。当点E ，F 分别在棱A 1B 1, B 1B 上运动且满足EF=a 时，求p 的最小值。

12、如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；

（Ⅱ）当PD =

且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

13、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小；

（3）求点N 到平面ACM 的距离.

14、如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =。D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥。

（1）证明平面ADE ⊥平面11

ACC A （2）求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

【参】

【课堂练习】

1、2arctan

2、

3、30º

4、SN 与面CMN 所成角为45°

5、A 1D ：DC 1=1.

6、略90

7、

、略 9、略 10、 11、二面角A BE D --的大小为6π. 12、

51522

1

21214

13、点A 到平面PBC 。 14、异面直线BC 与AE 所成的角的大小是

4

π

15、直线二面角的大小为与平面所成的角的大小为PC B AP C --arctan 2

ABC 16

、1111A C AE AA AO EA =⇔

=⇔=17、略

18、四棱锥的体积为.P ABCD -11

941233

V S PA =

⨯⨯=⨯⨯=19、略 20、（1）与所成角的大小为AB MD 3

π

（2） 点B 到平面OCD 的距离为

23

【课后作业】

1、二面角1A DE B --

的大小为2、平面PAD 和平面PBE

所成二面角（锐角）的大小是3、（Ⅱ）异面直线PB 与CD 所成的角是

(Ⅲ)存在点Q 满足题意，此时1

3

AQ QD =.4、（1）与所成的角为．（2）与平面所成的角为．

DP CC '45

DP AA D D ''30

5、cos ，<=cos θn 1BO .4

3=

BO n 6、.511-

--∴的余弦为二面角C BB A 7

、（Ⅱ）二面角．A SC B --

8、（Ⅱ）二面角的平面角大小为M AC B --

（Ⅲ）11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯= 9、cos ∠NBH=

63

10、（Ⅱ）异面直线AB 与CD 所成角的大小.4

2

arccos

（Ⅲ）点E 到平面ACD 的距离为

.7

2111、略 12、AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒

.

13、所求角的大小为，所求距离为5h 9=。14、线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为

5

10

。