江苏省专转本(高等数学)模拟试卷36(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． 函数f(x)=xsin在点x=0处(    )．

A．有定义但无极限

B．无定义但有极限值0

C．无定义但有极限值1

D．既无定义又无极限值

正确答案：B           

解析：无定义是显然的，因为极限=0(无穷小乘以有界量仍是无穷小)

2． 若f(x)在x=a处可导，则=(    )．

A．mf’(a)

B．nf’(a)

C．(m+n)f’(a)

D．f’(a)

正确答案：C           

解析：=(n+m)f’(a)，在这里函数值由f(a-mh)变为f(a+nh)，自变量改变了(a+nh)-(a-mh)=(n+m)h，因此，相应地在分母的位置上构造出相同的自变量的改变量.

3． 设f(x)的导函数连续，且是f(x)的一个原函数，则∫xf’(x)dx=(    )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D           

解析：因为是f(x)的一个原函数，所以有f(x)=所以∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=x+C.

4． 若f(x)在[-a，a]连续，则∫-aax[f(x)+f(-x)]dx=(    )．

A．2∫0axf(x)dx

B．2∫0axf(-x)dx

C．0

D．2∫0ax[f(x)+f(-x)]dx

正确答案：C           

解析：本题利用函数的对称性和奇偶性化简定积分计算，因为x[f(x)+f(-x)]为奇函数，所以结果为0．

5． 向量a=(1，-4，1)与b=(2，-2，-1)的夹角β为(    )．

A．π／4

B．0

C．π／3

D．π／2

正确答案：A           

解析：因为cosθ=所以θ=π／4．

6． 已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1-cosx的高阶无穷小，则正整数n=(    )．

A．1

B．2

C．3

D．4

正确答案：C           

解析：由已知，=0，则n＜4；又sinnx是1-cosx的高阶无穷小，则=0，则n＞2，所以n=3，选C项．

填空题

7． 

正确答案：1           

解析：

8． yy”-(y’)2=0的通解为_______．

正确答案：y=C2           

解析：令y’=p，则y”=p-p=0，所以p(y-p)=0．当p≠0时，则yp=C1y即y’=C1yp=0，那么y=C，方程通解为y=C2

9． 曲线y=x2(x-3)的拐点坐标是_______．

正确答案：(1，-2)           

解析：y=x2(x-3)=x3-3x2y”=6x-6当y”=6x-6=0时x=1，y=-2．

10． 设z=ln(x+|(1，0)=_______．

正确答案：1           

解析：z=ln(x+)则所以|(1，0)=1．

11． -1)xn的收敛区间是_______．

正确答案：[-1，1)           

解析：R==1，当x=1时，-1)条件收敛，所以其收敛域为[-1，1)．

12． 设y=C2e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_______．

正确答案：y”-5y’+6y=0           

解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3x，可知特征根为λ1=，λ2=3，对应特征方程为：(λ-2)(λ-3)=0，即λ2-5λ+6=0，所以对应微分方程为y”-5y’+6y=0．

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

13． f(x)=若f(x)在x=0处连续，求a，b，c．

正确答案：f(0-0)==1，f(0+0)==ce-4，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0-0)=f(0+0)=f(0)，得：b=ce-4=1所以c=e4  b=1，a为任意实数．   

14． 求不定积分∫x2e-xdx．

正确答案：∫x2e-xdx=-∫x2d(e-x)=-x2e-x+2∫xe2e-x-2∫xd(e-x)=-x2e-x-2xe-x-2e-x+C   

15． 求∫01ln(x+)dx．

正确答案：∫01ln(x++1．   

16． 求函数y=(x＞0)哪一点上的切线与直线y=x成60°角?

正确答案：设切线斜率为k2＜0，y=xk1=1   

17． u=f(x+y，x2，ysinx)，求

正确答案：=f’1+f’22x+f’3ycosx，=f”11+f”13sinx+2x(f”21+f”21sinx)+cosx．f’3+ycosx(f”31+f”33sinx)．   

18． 求微分方程xy’-y=x2ex的通解．

正确答案：原方程化为：y’-y=xex，y=dx+C)=x(∫exdx+C)=x(ex+C)=xex+Cx．   

19． 求级数的和数．

正确答案：∵ex=，x∈(-∞，+∞)，∴对上式两边求导得：ex=xn-1．∴xex=xn．对上式两边再次求导，得：(x+1)ex=xn-1x∈(-∞，+∞)，于是，对上式两边取x=1，得=2e．   

20． 当k为何值时，广义积分∫2+∞收敛?当k为何值时，这个广义积分发散?又当k为何值时，广义积分取得最小值?

正确答案：当k≠1时，当k=1时，∫2+∞|2+∞=+∞发散，即，当k＞1时，广义积分∫2+∞收敛；当k≤1时，广义积分发散．设f(x)=(k＞1)，则令f’(k)=0，得驻点k0=1-．但当k＜k0时，f’(k)＜0；当k＞k0时，f’(k)＞0，所以，当k=k0=1-时，广义积分取极小值，也就是最小值．   

综合题

21． 求曲线x=，z=t2过点(1／2，2，1)的切线方程及法平面方程．

正确答案：x’t=，z’t=2t，该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为S={1／4，-1，2}，所求切线方程为：法平面方程为：)-(y-2)+2(z-1)=0．即：2x-8y+16z-1=0．   

从(0，0)作抛物线y=1+x2的切线，求：

22． 由切线、抛物线所围成区域的面积；

正确答案：设切点为(x0，1+x02)，k=y’=2x0，则切线方程y=2x0x，那么1+x02=2x02，所以x0=±1，即切线方程为y=±2x，S=2∫01(1+x2-2x)dx=   

23． 上述图形绕y轴旋转所得的旋转体积．

正确答案：V=π∫02(   

24． 甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，用线最短?

正确答案：设变压器所在地C距A处x公里，两村输电线总长为y，则移项，平方，整理得1．25x2+6x-9=0．解得x=1．2，由于驻点唯一(负值舍去)．故变压器放在距A地1．2km处，所需电线最短．   

证明题

25． 设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点亭ξ使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．

正确答案：设F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)g2(   )ξ+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．