2021-2022学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河南省洛阳市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）.

1．拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，下列拼图组件是中心对称图形的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　）

A．150°    B．120°    C．60°    D．30°

3．二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，0）    B．（1，0）    C．（0，1）    D．（0，﹣1）

4．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y2＜y3＜y1    B．y1＜y2＜y3    C．y1＜y3＜y2    D．y3＜y2＜y1

5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

6．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（　　）

马匹等级	下等马	中等马	上等马
齐王	2	4	6
田忌	1	3	5

A．    B．    C．    D．

7．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A（﹣6，0），B两点，下列说法错误的是（　　）

A．a＜0    

B．图象的对称轴为直线x＝﹣2    

C．当x＜0时，y随x的增大而增大    

D．点B的坐标为（2，0）

8．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数，a2+3b﹣4，例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+3×（﹣5）﹣4＝﹣15．现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，则m的值为（　　）

A．﹣10    B．﹣1    C．10或﹣1    D．﹣10或1

9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（　　）

A．cm    B．1cm    C．cm    D．2cm

10．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，BC⊥y轴于点C、连结AC．若OC＝1，OD＝OE，AC＝AD，则k的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣    C．﹣4    D．﹣

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．写出以﹣1，2为根的一元二次方程　   　．

12．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a+0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	…
y＝ax2+bx+c	…	t	m	﹣2	﹣2	n	…

则该二次函数图象的对称轴为直线 　   　．

13．柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：

种子数n	30	75	130	210	480	856	1250	2300
发芽数m	28	72	125	200	457	814	1187	2185
发芽频率	0.9333	0.9600	0.9615	0.9524	0.9521	0.9509	0.9496	0.9500

依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该试验条件下发芽的概率约是　   　（结果精确到0.01）．

14．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝　   　度．

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　   　．

三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）

16．小明与小亮两位同学解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2的过程如下框：

小明：

两边同除以（2x﹣5），得

3＝2x﹣5．

则x＝4．

小亮： 移项，得3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0．提取公因式，得2x﹣5）（3﹣2x﹣5）＝0． 则2x﹣5＝0或﹣2x﹣5＝1 解得x1＝，x2＝﹣1．

任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√“；若错误请在括号内打“×”；

小明 　   　，小亮 　   　；

任务二：写出你的解答过程．

17．如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．

（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；

（2）直接写出旋转角α的度数．

18．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根．

（1）求m的取值范围．

（2）当m取最大整数时，求此方程的根．

19．2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有　   　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　   　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，8）．

（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；

（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比倒函数图象上，求m的值．

21．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．

（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　   　米（用含x的代数式表示）；

（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；

（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？

22．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a≠0）经过点（﹣1，﹣1）．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

（2）直线l交抛物线于点A（4，m），B（n，6），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．

23．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．

（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；

（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，

①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；

②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；

③请直接写出AC的长．

参

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，下列拼图组件是中心对称图形的为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．

解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

2．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　）

A．150°    B．120°    C．60°    D．30°

【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．

解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，

∴BC与B'C是对应边，

∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．

故选：A．

3．二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，0）    B．（1，0）    C．（0，1）    D．（0，﹣1）

【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

解：二次函数y＝2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．

故选：D．

4．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y2＜y3＜y1    B．y1＜y2＜y3    C．y1＜y3＜y2    D．y3＜y2＜y1

【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．

解：∵k＞0，

∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在一、三象限，

∴点A（﹣1，y1）在第三象限，

∴y1＜0，

∵3＞2＞0，

∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第一象限，

∴y2＞y3＞0，

∴y1，y2，y3的大小关系为y1＜y3＜y2．

故选：C．

5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三条角平分线的交点，然后利用基本作图对选项进行判断．

解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．

故选：B．

6．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（　　）

马匹等级	下等马	中等马	上等马
齐王	2	4	6
田忌	1	3	5

A．    B．    C．    D．

【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．

解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，

当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，

∴田忌能赢得比赛的概率为．

故选：B．

7．如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A（﹣6，0），B两点，下列说法错误的是（　　）

A．a＜0    

B．图象的对称轴为直线x＝﹣2    

C．当x＜0时，y随x的增大而增大    

D．点B的坐标为（2，0）

【分析】根据图象即可判断A、C；由解析式即可判断B；根据抛物线的对称性即可判断D．

解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向下，

∴a＜0，

故A正确，不合题意；

由图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，

故B正确，不合题意；

由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先增大后减小，

故C错误，符合题意；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，且过A（﹣6，0），

∴B点的坐标为（2，0），

故D正确，不合题意；

故选：C．

8．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数，a2+3b﹣4，例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+3×（﹣5）﹣4＝﹣15．现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，则m的值为（　　）

A．﹣10    B．﹣1    C．10或﹣1    D．﹣10或1

【分析】根据放入实数对得到a2+3b﹣3列式计算即可．

解：∵将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数6，

∴m2﹣9m﹣4＝6，

∴m2﹣9m﹣10＝0，

解得：m＝﹣1或10，

故选：C．

9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（　　）

A．cm    B．1cm    C．cm    D．2cm

【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为＝（6﹣x）cm，

依题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，

整理得：x2﹣11x+18＝0，

解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）．

故选：D．

10．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，BC⊥y轴于点C、连结AC．若OC＝1，OD＝OE，AC＝AD，则k的值为（　　）

A．﹣2    B．﹣    C．﹣4    D．﹣

【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得AC＝AD＝，OD＝CF＝﹣k，AF＝﹣1＝，然后根据勾股定理得到（）2＝（﹣k）2+（）2，解方程即可求得k的值．

解：∵AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，

∴四边形BEOC是矩形，

∴BE＝OC＝1，

把y＝1代入y＝（k＜0），求得x＝k，

∴B（k，1），

∴OE＝﹣k，

∵OD＝OE，

∴OD＝﹣k，

∵BC⊥y轴于点C，

把x＝k代入y＝得，y＝，

∴AC＝AD＝，

∵OD＝CF＝﹣k，AF＝﹣1＝，

在Rt△ACF中，AC2＝CF2+AF2，

∴（）2＝（﹣k）2+（）2，解得k＝±，

∵在第二象限，

∴k＝﹣，

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．写出以﹣1，2为根的一元二次方程　x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　．

【分析】先求出﹣1+2及（﹣1）×2的值，再根据一元二次方程根与系数的关系构造出方程即可．

解：∵﹣1+2＝1，（﹣1）×2＝﹣2，

∴以﹣1，2为根的一元二次方程可以是x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）．

故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）．

12．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a+0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	…
y＝ax2+bx+c	…	t	m	﹣2	﹣2	n	…

则该二次函数图象的对称轴为直线 　x＝﹣　．

【分析】由图表可知，x＝﹣1和0时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．

解：∵x＝﹣1、x＝0时的函数值都是﹣2相等，

∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣．

故答案为：x＝﹣．

13．柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：

种子数n	30	75	130	210	480	856	1250	2300
发芽数m	28	72	125	200	457	814	1187	2185
发芽频率	0.9333	0.9600	0.9615	0.9524	0.9521	0.9509	0.9496	0.9500

依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该试验条件下发芽的概率约是　0.95　（结果精确到0.01）．

【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．

解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率

∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．

故答案为：0.95

14．如图，⊙O与△OAB的边AB相切、切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝27°，则∠OCB＝　87　度．

【分析】连接OO′，根据切线的性质得到AB⊥OB，根据旋转变换的性质得到OB＝OO′，根据等边三角形的性质得到∠OBO′＝60°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．

解：连接OO′，

∵⊙O与△OAB的边AB相切，

∴AB⊥OB，

由旋转的性质可知，∠O'BA'＝∠OBA＝90°，BO＝BO′，

∵OB＝OO′，

∴OB＝O′B＝OO′，

∴△OBO′为等边三角形，

∴∠OBO′＝60°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝27°+60°＝87°，

故答案为：87．

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　﹣　．

【分析】依据轴对称的性质，即可得到AC＝A'C，进而得出点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧；再根据扇形面积的计算公式，即可得到线段A'P扫过的面积．

解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，

∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB＝，

如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'，

∴AC＝A'C，

∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧，

当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②，

∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°，

∴线段A'P扫过的面积为﹣＝﹣，

故答案为：﹣．

三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）

16．小明与小亮两位同学解方程3（2x﹣5）＝（2x﹣5）2的过程如下框：

小明：

两边同除以（2x﹣5），得

3＝2x﹣5．

则x＝4．

小亮： 移项，得3（2x﹣5）﹣（2x﹣5）2＝0．提取公因式，得2x﹣5）（3﹣2x﹣5）＝0． 则2x﹣5＝0或﹣2x﹣5＝1 解得x1＝，x2＝﹣1．

任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√“；若错误请在括号内打“×”；

小明 　×　，小亮 　×　；

任务二：写出你的解答过程．

【分析】任务一：观察两人的解法，小明忽略2x﹣5＝0的情况，小亮提取公因式时没有添加括号出错；

任务二：按照小明的思路，写出解方程过程即可．

解：任务一：小明×，小亮×；

故答案为：×，×；

任务二：当2x﹣5＝0，即x＝时，方程成立；

当2x﹣5≠0，即x≠时，

两边同除以（2x﹣5），得3＝2x﹣5．

解得：x＝4，

则方程的解为x1＝，x2＝4．

17．如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点．

（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；

（2）直接写出旋转角α的度数．

【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；

（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1＝α＝90°．

解：（1）如图所示，点O即为所求；

（2）如图所示，∠COC1＝α＝90°．

18．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根．

（1）求m的取值范围．

（2）当m取最大整数时，求此方程的根．

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣5≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣5）×2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；

（2）在（1）中的范围内m最大整数值为4，此时方程化为﹣x2+2x+2＝0，然后利用公式法求解．

解：（1）由题意，得Δ＝22﹣4×（m﹣5）×2＝4﹣4×2（m﹣5）≥0且m﹣5≠0，

解得m≤5.5且m≠5．

∴m的取值范围是m≤5.5且m≠5；

（2）∵m≤5.5且m≠5，

∴m的最大整数值是4，

当m＝4时，原方程化为﹣x2+2x+2＝0，即x2﹣2x﹣2＝0，

a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，

Δ＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，

∴x＝＝1±，

∴x1＝1+，x2＝1﹣．

19．2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有　40　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　320　人．

（2）请补全条形统计图．

（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【分析】（1）用“不了解”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）用8800乘以样本中“比较了解”的学生所占的百分比即可；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式计算．

解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人）；

∵本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生有：40﹣14﹣6﹣4＝16（人），

∴估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800×＝320（人），

故答案为：40，320；

（2）补全条形统计图如图：

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，

∴恰好抽到2名男生的概率为＝．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，8）．

（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；

（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比倒函数图象上，求m的值．

【分析】（1）根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．

解：（1）过A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC＝5，BC＝8，点A（6，8）．

∴BD＝BC＝4，∠ADB＝90°，

∴AD＝3，

∴B（2，5），C（10，5），

若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则5＝，

解得，k＝10，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵点A（6，8），C（10，5），

将△ABC向下平移m个单位长度，

∴A（6，8﹣m），C（10，5﹣m），

∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，

∴6（8﹣m）＝10（5﹣m），

∴m＝．

21．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．

（1）苗圃ABCD的另一边BC长为 　24﹣3x　米（用含x的代数式表示）；

（2）若苗圃ABCD的面积为45m，求x的值；

（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？

【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC长为（24﹣3x）米；

（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，即可解得x的值；

（3）w＝x•（24﹣3x）＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质可得答案．

解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，

∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x，

故答案为：24﹣3x；

（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，

解得x＝3或x＝5，

∴x的值为3或5；

（3）设苗圃ABCD的面积为w，

则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，

∵﹣3＜0，

∴x＝4时，w最大为48，

答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．

22．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a≠0）经过点（﹣1，﹣1）．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

（2）直线l交抛物线于点A（4，m），B（n，6），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，然后化成顶点解析式即可求得顶点坐标；

（2）分别求出点A，B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．

解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣6（a≠0）经过点（﹣1，﹣1），

∴a+4a﹣6＝﹣1，

∴a＝1，

∴y＝x2﹣4x﹣6，

∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，

∴顶点为（2，﹣10）；

（2）把x＝4代入y＝x2﹣4x﹣6得y＝42﹣4×4﹣6＝﹣6，

∴m＝﹣6，

把y＝6代入函数解析式得6＝x2﹣4x﹣6，

解得n＝6或n＝﹣2，

∴点A坐标为（4，﹣6），点B坐标为（6，6）或（﹣2，6）．

∵抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣10），

∴抛物线顶点在AB下方，

∴﹣2＜xP＜4或4＜xP＜6，﹣10≤yP＜6或﹣6＜yP＜6．

23．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．

（1）如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；

（2）如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，

①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；

②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；

③请直接写出AC的长．

【分析】（1）可证△APQ是等边三角形，可得∠Q＝60°＝∠QAP，由圆的内接四边形的性质可得∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，由四边形内角和定理可证∠QAC≠∠QBC，可得结论；

（2）①如图②，连接BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，求得∠ABC≠∠ADC，于是得到结论；

②由等对角四边形定义可求∠BAD＝∠BCD＝90°，可得BD是直径，由勾股定理得到结论；

③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，可得AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，由勾股定理可求AC的长．

【解答】（1）证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠APQ＝60°，

∵PQ＝AP，

∴△APQ是等边三角形，

∴∠Q＝60°＝∠QAP，

∵四边形APBC是圆内接四边形，

∴∠QPA＝∠ACB＝60°，

∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，

∴∠QAC+∠QBC＝240°，

∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，

∴∠QBC＜120°，

∴∠QAC≠∠QBC，

∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，

∴四边形AQBC是等对角四边形；

（2）解：①如图②，∠BAD＝∠BCD，

理由：连接BD，

∵AB≠AD，BC＝DC，

∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，

∴∠ABC≠∠ADC，

∵四边形ABCD是准平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD；

②∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴BD是直径，

∴BD＝10，

∴BC＝CD＝BD＝5，AD＝＝＝8；

③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，

∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ADC+∠CDH＝180°，

∴点A，点D，点H三点共线，

∴AH＝AD+DH＝14，

∵AC2+CH2＝AH2，

∴2AC2＝196，

∴AC＝7，

故AC的长为7．