2016年全国初中数赛(初三组)初赛试卷参及评分细则

（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、C．    2、C．    3、D．    4、C．    5、B．    6、A．

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

7、．    8、18．        9、3．        10、．

三、（本大题满分20分）

11、解：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，

得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，    （5分）

配方得(3a-c)2+(2a-b)2+(3b-2c)2=0，    （10分）

所以3a-c=0，2a-b=0，3b-2c=0，

即c=3a，b=2a．    （15分）

代入得

==．    （20分）

解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，

得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0，    （5分）

5[c2-2()c+()2]+13a2+10b2-4ab-=0，

5(c-)2+a2+b2-ab=0，

所以5(c-)2+(2a-b)2=0，    （10分）

由此得，c-=0，2a-b=0，

解得b=2a，c=3a．    （15分）

代入得

==．    （20分）

四、（本大题满分25分）

12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，

所以∆=[2(m+1)]2+4(m+3)= 4m2+12m+16=(2m+3)2+3＞0，

可知m是任意实数．    （5分）

又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．

所以方程，-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负，

所以- (m+3)＜0，解得m＞-3．

所以所求m的取值范围是m＞-3．    （10分）

（2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0，

则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，

解得m=0．

函数解析式为y=-x2+2x+3．    （15分）

所以A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)。

由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。

作B关于OC的对称点B′，则B′(1，0)，

设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则

，解得。

即PC是一次函数y=-3x+3的图象。

把y=-3x+3代入y=-x2+2x+3，

得-3x+3=-x2+2x+3，    （20分）

解得x=0，x=5，

当x=0时，y=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去；

当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．

故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12)，使得∠PCO=∠BCO．

    （25分）

解法二：设点A(a,0)，B(b,0)，a＞0，b＜0，

则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，

解得m=0．

函数解析式为y=-x2+2x+3．    （15分）

所以A(3,0)，B(-1,0)，C(0,3)。

设P点的坐标为(c,-c2+2c+3)（c＞1）．

当1＜c≤2时，∠PCO≥90°＞∠BCO．

当c＞2时，tan∠PCO=，

又tan∠BCO=，由∠PCO=∠BCO得tan∠PCO=tan∠BCO．

即=，    （20分）

解得c=5．

当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．

故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得∠PCO=∠BCO．

    （25分）

五、（本大题满分25分）

13、证明：

（1）过P作PH平行于AC交直线BC于点H，连结PH，BH。

则∠PHB=∠ACB=∠ABC=∠PBH，

所以HP=BP=CQ。    （5分）

又∠HLP=∠CLQ，∠PHL=∠QCL，

所以△HLP≌△CLQ．

所以PL=LQ．    （10分）

法二：过Q作QX∥BC交AB于点X，

所以∠AQX=∠ACB=∠ABC=∠AXQ，

所以AX=AQ。

故BX=CQ=BP。    （5分）

又因为QX∥LB，

所以PL=LQ．    （10分）

（2）设直线QR交直线DE于点S，交直线BC于点T，

则=，=，

由DR=CQ，RB=QE，

所以=，即=，

又=，=，

所以=，因此=，

即=。

由CD=BE得CM=EN．    （20分）

取DB，EB中点F，G，连结FG，分别交BE、CD、QR于U、V、K，

因为FR=GQ，由（1）的结论知RK=QK。

设BE与CD交于点O，则△OUV为等腰三角形。

由CM=EN得NU=MV．

由（1）的结论知NK=MK。

所以MQ=NR。    （25分）