含牵引负荷的电力系统三相不对称谐波潮流计算

摘　要　以国产SS4型电力机车的数学模型为基础，将谐波源作为受控电流源，提出了含牵引负荷的电力系统三相不对称谐波潮流新算法。其中，基波计算部分采用PQ分解法，并采用稀疏矩阵和对称矩阵处理技术，利用三相因子表求解，在很大程度上节省了内存，减少了计算量；谐波计算部分采用节点电压方程，利用高斯消去法直接求解，不存在收敛性问题。基波和谐波潮流进行分离相关迭代，最终求出各节点的基波和谐波电压以及各支路的基波功率和谐波电流。算例表明，该算法能有效地节省内存，且收敛性较好。

关键词　谐波潮流　不对称　牵引负荷　电力机车

分类号　TM 711

CALCULATION OF THREE-PHASE ASYMMETRICAL HARMONIC POWER FLOW

IN POWER SYSTEMS WITH TRACTION LOADS

Li Gengyin

North China Electric Power University, 071003, Baoding, China

Xu Chunxia

Zhongshan South Electric Power Automation Equipment Co. Ltd., 528400, Zhongshan, China

Wang Yong, Xiao Limin, Hao Jianxin

Hebei Electric Power Bureau, 050021, Shijiazhuang, China

Abstract　The mathematical model of SS4 electric locomotive, made in China, is first introduced. Then considering the harmonic source as a controlled current source, a new algorithm for calculating three-phase asymmetrical harmonic power flow in power systems with traction loads is presented. In this algorithm, the three-phase fundamental power flow is solved by the PQ decoupled method in which the sparse and symmetrical matrix handling technology and three-phase factor table are used, thus memory is saved and computing quantity is decreased. The three-phase harmonic power flow is directly solved by Gaussian elimination method with linear nodal voltage equation, thus there exists no convergence problem. The fundamental and harmonic nodal voltage and branch current are solved by decoupled iteration of fundamental and harmonic power flow. The calculation results of some typical examples show that this algorithm can effectively save memory and has good convergence.

Keywords　harmonic power flow　asymmetry　traction load　electric locomotive

0　引言

铁路电气化牵引以其高速、重载、节约一次能源和环境污染轻等优点而被越来越广泛地应用在现代铁路运输中。但是，电力牵引负荷是一种波动性很大的大功率单相整流负荷，它对电力系统的影响具有以下特点：①不对称性，在电力系统中产生负序分量；②非线性，在电力系统中产生高次谐波；③波动性，使电力系统电压波动；④功率大、分布广，对电力系统影响严重。

谐波潮流计算是谐波分析和管理的一项重要基础工作。已有文献根据一般整流负荷的数学模型，对基于牛顿—拉夫逊法的谐波潮流算法进行了研究［1～3］。本文针对电力牵引负荷的上述特点，在文献［4］提出的国产SS4型电力机车数学模型的基础上，将谐波源作为受控电流源，提出了一种含牵引负荷的电力系统三相不对称谐波潮流新算法，并编写了相应的计算程序，进行了实例计算。结果表明，该算法能有效地节省内存，且收敛性较好。

1　电力机车的谐波模型

进行谐波潮流计算，首先要分析谐波源的特性。本文以国产SS4型电力机车为研究对象，作者在文献［4］中扼要介绍了该型机车主电路的工作原理，并根据其实际运行工况及整流电路的换相过程分析，规范地建立了主电路数学模型，导出了机车取用电流完整、准确的数学表达式，并利用快速傅里叶变换计算出机车注入接触网的基波及各次谐波电流。

电力机车产生的谐波电流经接触网和牵引变压器送入电力系统。接触网的阻抗和牵引变压器的接线方式对注入系统的电流具有很大影响。本文在实际计算中，考虑了接触网和YN,d11以及YN,V等常用接线方式的牵引变压器数学模型［5］。

2　电网元件的三相谐波模型

2.1　输电线路模型

输电线路采用三相π形等值电路模型。当谐波次数较高且线路较长时，应考虑线路参数的分布特性。对此，本文采用双曲函数来计算。三相输电线路中，单位长度串联阻抗和并联导纳都是3×3阶的方阵，其传播常数也是一个矩阵。由于没有计算矩阵双曲函数的直接方法，需借助模量分析法进行求解［6］。

2.2　变压器模型

在三相潮流计算中，变压器可近似看作对称元件，对于大型变压器还可忽略其励磁支路。在谐波作用下，变压器的等效电感近似认为不变，其谐波电抗与谐波次数成正比。而绕组的集肤效应和铁心的涡流损耗等在谐波作用下会有所增大，一些统计资料表明［7］，变压器谐波等值电阻大致与谐波次数的平方根成正比。则变压器的k次谐波阻抗可表示为：

(1)

式中　k为谐波次数；RT1,XT1分别为变压器的基波电阻和电抗。

需特别注意变压器接线方式对各序分量会引起不同的转角。本文首先从序分量出发，再进行序—相变换，最后得到变压器支路的三相导纳子矩阵。

2.3　发电机模型

谐波网络中发电机是以谐波负载形式出现的，可以用一个接地阻抗来表示。当k次谐波电流流入发电机定子绕组时，其正、负序谐波在定子中产生的磁场与转子作k±1倍同步速的相对运动。这时，发电机的谐波电抗可近似认为是基波负序电抗的k倍。发电机一般经YN，d变压器与系统相连，零序电流不能流入，此时零序谐波阻抗为无穷大。当需计及发电机的电阻和损耗时，可按阻抗角为85°来估计其谐波电阻。

2.4　负荷模型

在谐波网络中，非线性负荷作为注入电流源考虑，其他类型的负荷可用接地等值阻抗来模拟。本文采用电阻和电抗的混合支路来表示负荷模型［7］。

2.5　三相网络的节点导纳矩阵

得到网络各元件的三相等值模型后，即可形成n节点网络的三相节点导纳矩阵YB，其中每个元素都是3×3阶的子矩阵。

可以看出，当节点导纳矩阵中的每个元素都以3×3阶的子矩阵来表示时，其稀疏性与对称系统中的一样。为节省内存，可以在存储时只存其上三角元素。当节点i、节点j之间为具有复变比的变压器支路时，尽管Yij≠Yji，但有Yij=，只需加以注明即可。

3　三相基波潮流计算

谐波潮流和基波潮流的计算密切相关。从能量平衡的角度来看，谐波源只是将从系统中吸收的部分基波功率转化为谐波功率，网络中的谐波功率损耗应在基波功率计算中得到平衡；同时，谐波源的注入电流与该节点的基波及各次谐波电压都有关，在计算中应该考虑到它们的这种关系。

3.1　三相基波潮流计算中谐波源节点的处理

基波潮流计算中，谐波源为负荷节点，计算时对它的负荷功率可按如下方法考虑。

谐波源节点的有功功率为：

(2)

式中　与分别为节点i的k次谐波电压和谐波注入电流。

谐波源节点的视在功率为：

(3)

式中　Ui和Ii分别为节点电压和电流的有效值。

谐波源节点的总无功功率为：

(4)

3.2　三相网络的节点功率方程

形成三相导纳矩阵后，可以写出节点的注入功率方程。对于PQ节点，直接建立功率平衡方程：

(5)

(6)

式中　,分别为节点i的各相功率给定值；β，γ为A，B，C。

对于PV节点，需要作一些特殊处理［8］。在三相潮流计算中，可认为PV节点是维持该节点A相电压为给定值，而B相和C相电压均为待求量。为此，可补充发电机内电势节点到网络中，如图1所示。

图1　补充内电势节点后的网络图

Fig.1　Network diagram

with added generator's inner potential node

　　当补充内电势节点gi后，节点i就可以当作普通PQ节点来考虑，其节点注入功率给定值为零。由于发电机电势是三相平衡的，实际只增加了两个未知量。这样，PV节点的待求量共有7个:节点i的三相电压相角及B,C两相电压幅值，节点gi(A相)的电压幅值和相角。可建立7个方程式:节点i有6个有功、无功平衡方程式；另外，将原来给定的PV节点总有功功率P s i作为节点gi总的有功功率给定值，则有功功率平衡方程式为：

(7)

　　对于平衡节点，可将其A相电压幅值和相角设为给定值，另两相电压作为待求量。同PV节点的处理方法类似，也增加1个发电机内电势节点，则可以对原平衡节点建立6个功率平衡方程，节点的有功和无功给定值均为零。未知量除了平衡节点的B，C两相电压幅值和相角以外，还有内电势节点(A相)的电压幅值和相角。由于电压相角实际上是个相对量，为了便于计算，本文在实际计算中假设平衡节点A相电压相角为未知量，令内电势节点的A相电压相角为给定值来进行求解。

3.3　三相基波潮流计算

与对称系统的潮流计算一样，在三相潮流计算的迭代过程中，亦可将有功和无功分开，采用PQ分解法迭代。对于有功迭代，可以写出修正方程式：

(8)

式中　n为系统中总的节点个数；l为PV节点个数；H，N，J，L为相应的雅可比矩阵子矩阵，由于发电机内电势节点只与相应机端节点相关联，在子矩阵N和J中只有少数非零元素，L为对角子矩阵。

为减少计算量和节省内存，本文采取了以下假设(设α≠β且i≠j)：

　　a.≈0°，近似取值±120°。

b.如果节点i，j之间是输电线路，令≈0°，近似取值±120°；若节点i，j之间存在YN，d接线的变压器时，则还需要考虑变压器两侧的转角。

c.由于三相线路之间的耦合主要是互感，可以认为互电阻为0。

d.。

按上述条件简化后雅可比矩阵成为对称阵，且各元素均为常量，形成因子表时可只存上三角元素。

无功迭代的修正方程为：

ΔQ/U=R ΔU/U(9)

式中　R为雅可比矩阵。

若节点i为PQ节点，则

(10)

T(11)

　　若节点i为PV节点或平衡节点，则

(12)

(13)

　　由于未知量中包括内电势节点的电压，子矩阵R不对称。为计算方便，首先假定内电势节点电压为某一定值，不参与迭代。在无功功率平衡方程中，划去相应的PV和平衡节点A相方程，余下的雅可比矩阵就成为一个对称矩阵，且与有功迭代的雅可比矩阵有相同的表达式，故可同样利用因子表求解。每次迭代结束后，对内电势节点电压作以下修正：

(14)

　　三相基波潮流计算的主要步骤概括如下：

a.形成三相基波导纳矩阵，并形成因子表；

b.设定节点电压初值；

c.计算有功偏差ΔP和ΔPg，进而求出ΔP/U及ΔPg/Ug；

d.解修正方程式(8)，求各节点电压相角的修正量，并对节点电压的相角进行修正；

e.计算无功偏差ΔQ，进而求出ΔQ/U及ΔU/U；

f.解修正方程式(9)，求各节点电压幅值的修正量，并对节点电压的幅值进行修正；

g.求各内电势节点电压的幅值；

h.判断收敛性，若不收敛，则返回步骤c，进行下一次迭代；

i.计算支路潮流及平衡节点功率。

4　含牵引负荷的三相不对称谐波潮流计算

对于谐波潮流计算，采用节点电压方程：

k=Ykk(15)

式中　k为谐波次数；k为节点的k次谐波注入电流向量；k为节点的k次谐波电压向量；Yk为系统k次谐波导纳矩阵。

谐波源节点的注入电流可由谐波源模型求出；非谐波源节点的注入电流为零，等值为接地阻抗。

由于式(15)是线性方程，可利用高斯消去法直接求解，在计算中不存在迭代收敛性问题。将牵引负荷节点的谐波注入电流简记为：

sk=f(s1, s3, …, sh)(16)

式中　sk为牵引负荷注入系统的k次谐波电流；sj(j=1,3,…,h)为牵引负荷节点的各次谐波电压；h为所分析的谐波最高次数。

基波电压可以在基波潮流计算中得到，各次谐波电压则需将式(15)与式(16)联立求解得出。由于式(16)是个非线性方程，需要利用迭代的方法。Yk是个常数矩阵，本文将式(15)中的各量以直角坐标形式表示，形成复数因子表求解。

根据以上分析，含牵引负荷的三相谐波潮流计算的主要步骤概括如下：

a.形成各次谐波导纳矩阵，并形成因子表；

b.根据式(16)求出牵引负荷节点的各次谐波注入电流；

c.根据式(15)求解节点各次谐波电压；

d.判断是否满足精度要求，若满足，则迭代结束，否则，转入步骤b；

e.求各支路谐波电流。

5　实例计算与分析 算例1是一个5节点、5支路的简单系统，其等值电路如图2所示。图中参数为标幺值，单相基准容量为30 MVA。牵引站两臂分别接于+A相和-C相。

图2　算例1简单系统等值电路图

Fig.2　Equivalent circuit diagram

of a test system in example 1

　　情况1：牵引变压器为YN，d11接线，+A相供电臂带一台机车，电压和电流手柄分别控制在32和4级位；-C相供电臂带一台机车，电压和电流手柄分别控制在25和6级位。

情况2：牵引变压器为YN，V接线的阻抗匹配平衡变压器，两供电臂的运行情况与情况1相同。

表1与表2给出了这两种情况下，部分节点电压和支路电流的计算结果。

表1　各节点基波及谐波电压计算结果(算例1) Table 1　Computing results of nodal voltages (example 1)

节点		相别	情况1下节点基波及各次谐波电压				情况2下节点基波及各次谐波电压
			基波	3次/(%)	5次/(%)	7次/(%)	基波	3次/(%)	5次/(%)	7次/(%)
1		A	1.049	0.716	1.236	1.112	1.055	1.584	0.971	1.123
		B	1.059	1.563	0.456	0.774	1.055	1.375	0.874	0.812
		C	1.058	0.996	1.090	1.231	1.056	1.745	0.781	1.260
2		A	1.052	0.192	0.293	0.235	1.052	0.426	0.231	0.238
		B	1.052	0.423	0.409	0.165	1.052	0.370	0.208	0.172
		C	1.052	0.369	0.109	0.262	1.052	0.470	0.186	0.268
3		A	1.082	0.191	0.260	0.223	1.082	0.426	0.225	0.227
		B	1.083	0.422	0.285	0.157	1.082	0.369	0.202	0.1
		C	1.083	0.268	0.106	0.249	1.082	0.469	0.181	0.255
4		A	1.020	0.977	0.253	0.506	1.020	1.053	0.651	0.520
		B	1.020	0.690	0.582	0.269	1.020	0.603	0.340	0.281
		C	1.020	0.313	0.178	0.383	1.020	0.696	0.377	0.3
5		A	1.050	0.961	0.478	0.474	1.050	1.037	0.2	0.487
		B	1.050	0.679	0.559	0.252	1.050	0.594	0.326	0.2
		C	1.050	0.308	0.171	0.359	1.050	0.685	0.362	0.365
注：表中的谐波电压值为相对于基波的百分数。
	表2　各支路基波及谐波电流计算结果(算例1) Table 2　Computing results of branch currents (example 1)

支路	相别	情况1下支路基波及各次谐波电流				情况2下支路基波及各次谐波电流
		基波	3次/(%)	5次/(%)	7次/(%)	基波	3次/(%)	5次/(%)	7次/(%)
1-2	A	0.071	10.354	11.046	7.082	0.076	21.557	8.162	6.729
	B	0.057	28.300	5.096	6.167	0.072	19.760	7.758	5.139
	C	0.099	10.413	7.035	5.6	0.073	24.727	6.831	7.861
1-3	A	0.092	5.706	6.332	4.238	0.077	15.170	5.974	5.142
	B	0.072	16.165	3.027	3.825	0.077	13.147	5.368	3.713
	C	0.069	10.757	7.559	6.354	0.076	16.956	4.872	5.854
2-3	A	0.132	0.092	0.105	0.070	0.132	0.205	0.083	0.071
	B	0.132	0.204	0.039	0.049	0.132	0.178	0.074	0.051
	C	0.132	1.130	0.093	0.078	0.132	0.227	0.066	0.008
2-4	A	1.953	6.157	2.158	1.343	1.942	2.447	6.611	1.394
	B	1.914	6.168	2.253	1.392	1.939	2.462	6.636	1.409
	C	1.951	0.120	0.070	0.050	1.938	0.050	0.211	0.051
3-5	A	1.569	5.798	1.967	1.198	1.560	2.238	6.208	1.245
	B	1.541	5.763	2.067	1.246	1.558	2.256	6.232	1.262
	C	1.5	0.151	0.086	0.060	1.558	0.061	0.266	0.062
注：表中的谐波电流值为相对于基波的百分数。

　　本文还对一个实际电网进行了计算。该网络共有31个节点、44条支路，包含3个牵引变电站，分别由3条110 kV单回线路供电，各带2台、3台和4台机车。其中两个牵引站采用YN，V变压器，另一个采用YN，d11变压器。计算结果显示，各节点都含有不同程度谐波污染，牵引站节点3次谐波电压最大可达到1.422%；与牵引站直接相连的支路谐波电流含量也比较高，有的相别3次谐波电流可达到53.192%。

总的来说，系统中各节点电压都含有不同程度的谐波分量，临近牵引站的节点电压和支路电流谐波含量较高，且三相不对称。尽管发电机与YN，d11变压器相连，但仍有3次谐波电流流入，这是由于系统三相不对称、3次谐波不满足相序特性。另外，采用阻抗匹配平衡变压器可明显减轻不对称程度。

6　结语

本文提出一种含牵引负荷的三相不对称谐波潮流新算法。实例计算表明，该算法能有效地节省内存，且具有较好的收敛性。通过计算分析可以看出，当系统中投入电气化牵引负荷后，会产生三相不对称和谐波现象，负荷越重，造成的危害也越大。因此，对电气化牵引负荷采取有效的谐波管理和抑制措施很有必要。本文工作为分析电气化牵引对电力系统的影响及研究相应的治理措施提供了有力的工具。

作者简介：李庚银,男,19年生,博士,教授,现主要研究方向为电力系统谐波分析及治理、电网调度自动化等。

徐春侠,女,1973年生,硕士,主要研究方向为电力系统谐波分析、变电站自动化等。

王　勇,男,1968年生,高级工程师,主要从事电网调度运行及管理工作。

作者单位：李庚银（华北电力大学电力系　071003　河北保定）

徐春侠（中山南方电力自动化设备有限公司　528400　广东中山）

王勇　肖利民　郝剑欣（河北电力调度通信局　050021　石家庄）

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