高等数学期中考试试卷

一 .填空题（每小题3分，共15分）

1.二元函数  的定义域是                 .

2. 曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程是                  。

3.                   。

4. 已知，则全微分                           。

5. 把二次积分转化为极坐标形式                . 

二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 直线与直线的夹角为（    ）

A.        B.       C.         D.

2. 若函数在点处连续，则在该点处函数(      )

A.有极限     B. 偏导数存在     C.可微    D. A,B,C都不正确。

3. 设点是函数的驻点，则函数在处（  ）

A. 必有极大值                B. 可能有极值，也可能无极值  

C. 必有极小值                D. 必无极值

4．设，，则的值为（   ）．

A．       B．      C．      D．

5．若连续，且，其中是由，和所围成的闭区域，则（  ）

A             B           C          D

三．计算题（每题10分，共50 分）

1. 已知平面过点和直线，求平面的方程。

2. 设，求

3. 设，具有二阶连续的偏导数，求

4．设具有连续的偏导数，函数与分别由方程和所确定，求

5. 计算二重积分，其中

四、设某工厂生产和两种产品同时在市场销售，售价分别为和，需求函数分别为

假设企业生产两种产品的成本为，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）

五、证明题. （共10分）设函数在上连续，证明：

期中考试题参

一、1.；  2. ；  3. ；

 ； 5.

二、1.    B；   2. D； 3. B；    4. A；  5. B.

三、1.【解】设平面的一般方程为，由题意知，过点，故有

                          （1）

在已知直线上选取两点，将其坐标代入平面方程，得

  （2）

  （3）

由（1）（2）（3）式解得

所以平面的方程为

2．【解】

3．【解】令，则，，，，。记

        ，，，，，

则由链式法则，有

         ，

又具有二阶连续偏导数，，故

4．【解】由于具有连续的偏导数，故可微，且

                                        （1）

又由，得，两边求微分，得

                  即              （2）

又由，得，两边求微分，得

                  即              （3）

将（2）（3）式代入（1）式，整理得

5. 【解】令，，则，于是

四、【解】总收入函数：

现在求二元函数的最大值。由极值的必要条件，解方程组

得唯一驻点，由问题的实际意义知，最大利润存在，故当时，厂家获得最大日利润，最大日利润为755.

五、【证明】交换积分顺序，得