初二数学四边形专题学习

初二数学  平行四边形

一、考点、热点回顾

考点1：平行四边形的性质和判定

考点讲解：

   平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．

   1．平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

   四边形的边角按位置关系可分为两类：

对边（没有公共端点的两条边）

   邻边（有一个公共端点的两条边）

   对角（没有公共边的两个角）

   邻角（有一条公共边的两个角）

   对角线：不相邻的两个顶点连成的线段．

   2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

   3．平行四边形的性质：

   文字表达：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．

   图形如图1－4－1

   符号语言表达：

   四边形ABCD是平行四边形

   4．平行四边形的判定：

   文字表达：

   两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

   两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

   一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

   两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

   对角线互相平分的四边形是平行四边形．

   图形如图l－4－2：

   符号语言表达：

   AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形

   AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．

   AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．

   OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．

   ∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB边形ABCD是平行四边形．

【例1】（2010 成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（     ）

（A）6种             （B）5种         （C）4种           （D）3种

考点2：矩形、菱形、正方形的性质 和判定

  考点讲解：

  l．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．

  2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

  3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

  4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

  5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

  6．正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

  7．平行四边形与特殊平行四边形的关系

【例2】（2010年盐城市中考题）如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（    ）

A．5               B．6               C．8              D．10

注：任意多边形的外角和都为360°，一个n边形从一个顶点出发有条对角线。所有对角线的条数。

【例3】（2010年福建德化）下列多边形中，不能铺满地面的是（  ）

A、正三边形     B、正四边形   C、正五边形   D、正六边形

【例4】（2010 成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（     ）

（A）6种             （B）5种         （C）4种           （D）3种

【例5】（2010年浙江金华中考题）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， 对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD

的面积为（    ）

    A． cm2    B．6 cm2    

    C． cm2    D．12 cm2

2、典型例题

1、基础强化

（1）、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。

（2）、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。

（3）、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。

（4）、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。

（5）、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。

（6）、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。

（7）、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。

（8）、如果矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿。

（9）、（2010安徽芜湖）下列命题中是真命题的是（）-

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形    B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．两条对角线相等的平行四边形是矩形        D．两边相等的平行四边形是菱形

（10）、（2010 天津）下列命题中正确的是（      ）

（A）对角线相等的四边形是菱形  （B）对角线互相垂直的四边形是菱形

（C）对角线相等的平行四边形是菱形（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（11）、（2010 北京） 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 

(A) 20         (B) 16      (C) 12       (D) 10。

（12）、（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

A．90°      B．60°       C．45°      D．30°

（13）、（2010 江苏淮安）若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是( ).

     A．3            B．4          C．5               D．6

2、拓展变式

【例1】如图，□ABCD中，AC.BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（     ）．

 A．3    B．6    C．12      D．24

【例2】如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）

A．2        B．3        C．        D．

【例3】（2010 青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是           cm2．

【例4】（2010安徽芜湖）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是__________．

【例5】（2010 株洲）已知一个边形的内角和是，则           ．

【例6】（2010 哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为          度．

【例7】（2010 浙江舟山）如图, 在中,是边上的一点,是的中点, 过点作的平行线交的延长线于点, 且, 连接.

(1) 求证:是的中点;

(2) 如果, 试判断四边形的形状, 并证明你的结论.

。

【例8】（2010 株洲）（本题满分6分）如图，已知平行四                               边形，是的角平分线，交于点．   

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

【例9】（2010 益阳）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°, =4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1) 求∠ABD 的度数；

        (2)求线段的长．

【例10】（2010 沈阳） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF。求证：四边形AEOF是菱形。

3、巩固训练

【例1】（2010 中山）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

（1）试证明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

4、思维与能力提升

【例3】（2010年重庆潼南）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.

（1）证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

3、习题练习

一、选择题

1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（    ）

A.1∶2∶3∶4                                B.1∶2∶2∶1

C.1∶1∶2∶2                                D.2∶1∶2∶1

2.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（    ）

A.2                    B.4                    C.6                    D.8

3.在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（    ）

A.60°                B.80°                C.100°                D.120°

4.□ABCD的周长为36 cm，AB=BC，则较长边的长为（    ）

A.15 cm                B.7.5 cm                C.21 cm                D.10.5 cm

二、填空题

6.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠C=______，∠D=______.

7.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.

8.平行四边形的周长等于56 cm，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.

9.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.

三、解答题

11.平行四边形的周长为36 cm，一组邻边之差为4 cm，求平行四边形各边的长.

12.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.

补充练习

一、选择题

1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（    ）

A.一组对角相等

B.两条对角线互相垂直且相等

C.两组对边分别相等

D.一组对边平行

2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A.AB=CD，AD∥BC                        B.AB=CD，AB∥CD

C.AB∥CD，AD∥BC                        D.AB=CD，AD=BC

3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（    ）

A.88°，108°，88°                        B.88°，104°，108°

C.88°，92°，92°                        D.88°，92°，88°

4.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（    ）

A.∠A+∠C=180°                            B.∠B+∠D=180°

C.∠A+∠B=180°                            D.∠A+∠D=180°

5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）

A.1个                B.2个                C.3个                D.4个

二、填空题

6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_______.

7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______.

8.四边形ABCD中，AD=BC，BD为对角线，∠ADB=∠CBD，则AB与CD的关系是_______.

9.□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是_______.

三、解答题

1、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

2、（2010 长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

四、课后反馈

教学进度：                                                                     

学生掌握情况：                                                                 

存在问题及改进措施：