吉林省实验中学2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2014届高三年级第一次模拟

数学（理）试题

命题人：张晓冬           审题人： 黄海燕

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合若,则为.(    )  

A．       B．          C．         D． 

2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（    ）

A．              B．                C．1            D．3

3. 设为平面，为直线，则的一个充分条件是（    ）

A．        Ｂ． 

Ｃ．           Ｄ． 

4．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（    ）

    A．           B．1

    C．          D．2

5．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是（    ）

A．等腰三角形      B．直角三角形   

C．等边三角形      D．等腰直角三角形

6.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（      ）

A．　　　　B．        C．　　　　D．

7．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（　　）

A.               B.       

C.     D. 

8．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，

则该棱锥的体积等于（    ）

A．10 cm3                   B．20 cm3

C．30 cm3                   D．40 cm3             

9. 若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、

M且与相切的圆共有（    ）            

    A．0个              B．1个           C．2个            D．4个

10.，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（    ）                                                     

A．               Ｂ．         Ｃ．             Ｄ． 

11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两

点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（    ）

A．    Ｂ．    Ｃ．           Ｄ． 

12．把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（    ）

A．1      Ｂ． 2     Ｃ．3           Ｄ．4

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的展开式的常数项为         ．

14．设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，

则m的最小值为                 ．

15.如图，已知球是棱长为的正方体

的内切球，则平面截球的截面面积为           .

16. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且

f(x+k)>f(x) 恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”。已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，，若f(x)为R上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是______.

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中

  （1）求的通项公式；

  （2）令求的前20项和。

18．(本题满分12分) 

前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．

19．(本题满分12分) 

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=，点M在线段EC上且不与E、C重合。

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M—BDE的体积.

20．(本题满分12分) 

已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为.

(1)求椭圆C的方程；

l

y

 (2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.                       

P

M

B

O

F

x

A

21．(本题满分12分) 

已知定义在上的函数总有导函数,定义.

一是自然对数的底数.

(1)若,且,试分别判断函数和的单调性:

(2)若.

①当时,求函数的最小值；

②设,是否存在,使得?若存在,请求出一组的值:若不存在,请说明理由。

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲: 

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

  （I）求证：DE是⊙O的切线；

  （II）若的值.

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程   

    在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

    （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

    （Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲

    已知函数。

（1）若的解集为，求实数的值。

（2）当且时，解关于的不等式。

参

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

13．15    14．   15．       16． 

三．解答题（本大题共6小题，共计70分）

18. 解：（1）众数：8.6；    中位数：8.75 ；……………………………2分

（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ；   …………………6分

（3）的可能取值为0，1，2，3.                    

     ；；

；……..……………..10分

所以的分布列为：

另解：的可能取值为0，1，2，3.则，. 

 所以=．   

19．解：（1）以分别为轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，。即………………………..4分

（2）依题意设，

设面的法向量

则， 

令，则，面的法向量

，解得………………10分

为EC的中点，，到面的距离

…………………………………………………………12分

另解：用传统方法证明相应给分。

20．解：（1）由点在椭圆上得，  ①  ②

由 ①②得，故椭圆的方程为……………………..4分

（2）假设存在常数，使得.

由题意可设   ③

代入椭圆方程并整理得

设，则有   ④ ……………6分

在方程③中，令得，，从而

.又因为共线，则有，

即有

所以 

= ⑤

将④代入⑤得，又，

所以

故存在常数符合题意……………………………………………………………12分

21. 

 22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC  …………………2分

∴OD//AE   又AE⊥DE                  …………………………………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径   

∴DE是的⊙O切线       ………………………5分

   （II）解：过D作DH⊥AB于H， 

则有∠DOH=∠CAB 

  …………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x  ……………8分

又由△AEF∽△DOF  可得

       ……………………………………………………10分