人教版初中数学八年级上册第十五章：分式（全章教案）

第十五章分式

本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程．

本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用．

【本章重点】

利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】

分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．

【本章思想方法】

1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．

2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程．

3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解．

15．1分式2课时

15．2分式的运算5课时

15．3分式方程2课时

15．1分式

15．1.1从分数到分式(第1课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．

2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件．

3．能用分式表示现实情境中的数量关系．

【过程与方法】

经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值．

【情感态度与价值观】

类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式．

二、重难点目标

【教学重点】

分式的概念及分式有意义、无意义的条件．

【教学难点】

利用分式有意义的条件求未知数的值．

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】 一、分式的概念

1．式子S a 、V S 以及引言中的9030＋v ，60

30－v ，有什么特点？

(1)它们与分数的相同点：形式相同都有分子和分母； (2)不同点：分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母.

2．一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A

B 叫做分式，其中

A 叫做分子，

B 叫做分母.

3．下列各式中，是分式的有①②④⑦.

①2bs ；②3000300a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦45bc ；⑧－5. 二、分式A

B

的相关知识

1．当B ＝0时，分式A

B 无意义．

2．当B ≠0时，分式A

B

有意义．

3．当A ＝0且B ≠0时，分式A

B 的值为零．

4．当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)3

x ＋2；(2)x ＋53－2x

.

解：(1)x ≠－2. (2)x ≠3

2.

环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？

(1)x ＋1x －1； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x

. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.

【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.

值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0即x ＝±1.

值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1； 无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1； 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.

【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．

活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式中，是分式的是( C ) A ．3x 2＋x －1 B ．x －23

C.2x －3x －1

D ．1

4

(2x －1)

2．分式x

x 2＋1有意义，则x 的取值范围为( D )

A ．x ≠1

B ．x ≠－1

C ．x ≠1或x ≠－1

D ．全体实数

3．若分式x

x 2－16的值为0，则x 的值为0.

环节3 课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

15．1.2分式的基本性质(第2课时)

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解和掌握分式的基本性质．

2．能运用分式的基本性质约分、通分．

【过程与方法】

经历观察、对比、猜想的过程，归纳出分式的基本性质，在理解分式基本性质的基础上对分式进行约分和通分，从中了解最简分式和最简公分母．

【情感态度与价值观】

通过对比归纳分式的基本性质的过程，养成对比的习惯，通过对分式进行约分和通分，加深对分式基本性质的理解．

二、重难点目标

【教学重点】

分式的基本性质，最简分式．

【教学难点】

运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P129～P132的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】

1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷C

B ÷C

(C ≠0)，其中A 、B 、C 是整式．

2．分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

3．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

4．最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.

环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空： (1)x y ＝x 2y ( )； (2)x 2－y 2xy 2＋y 3＝x －y ( )； (3)x －1y ＝( )xy

2.

【互动探索】(引发学生思考)根据分式的基本性质，当分式的分子(分母)乘或除以一个

不等于0的整式时，分母(分子)该怎么变化？

【分析】(1)因为x

y 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本

性质，分母也需乘xy ，即x y ＝x ·xy y ·xy ＝x 2y

xy 2

.

(2)因为x 2－y 2

xy ＋y 3

的分子x 2－y 2除以x ＋y 才能化为x －y ，为保证分式的值不变，根据分式

的基本性质，分母也需除以x ＋y ，即x 2－y 2xy 2＋y 3＝(x 2－y 2)÷(x ＋y )(xy 2＋y 3)÷(x ＋y )

＝x －y

y 2.

(3)因为x －1

y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，

分子也需乘xy ，即x －1y ＝(x －1)·xy y ·xy ＝x 2y －xy

xy 2

.

【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y －xy

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时，注意分子、分母乘(除以)同一个不等于0的整式．

【例2】约分：

(1)2bc

ac ； (2)(x ＋y )y xy 2； (3)x 2＋xy (x ＋y )2

. 【互动探索】(引发学生思考)分式的约分步骤→找出分子分母的公因式→化简为最简分式．

【解答】(1)2bc ac ＝2bc ÷c ac ÷c ＝2b a .

(2)(x ＋y )y xy 2＝(x ＋y )y ÷y xy 2÷y ＝x ＋y

xy .

(3)x 2＋xy (x ＋y )2＝x (x ＋y )(x ＋y )2＝x x ＋y

. 【互动总结】(学生总结，老师点评)如果分子或分母是多项式，先分解因式再约分，约分的结果是最简分式或整式．

【例3】通分：

(1)x ac 与y bc ； (2)2x x 2－9与x 2x ＋6

. 【互动探索】(引发学生思考)分式的通分步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式．

【解答】(1)最简公分母是abc . x ac ＝x ·b ac ·b ＝bx abc . y bc ＝y ·a bc ·a ＝ay abc

.

(2)最简公分母是2(x ＋3)(x －3)． 2x

x 2－9＝2x ·2

2(x ＋3)(x －3)＝4x

2x 2－18. x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3)＝x 2－3x 2x 2－18

. 【互动总结】(学生总结，老师点评)确定公分母时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．

活动2 巩固练习(学生独学)

1．分式3a

a 2－

b 2的分母经过通分后变成2(a －b )2·(a ＋b )，那么分子应变为( C )

A ．6a (a －b )2(a ＋b )

B ．2(a －b )

C ．6a (a －b )

D ．6a (a ＋b )

2．约分：

(1)2－a a 2－4； (2)9－a 2－a 2－3a ； (3)m 2－7m 49－m 2. 解：(1)－1a ＋2.

(2)a －3a .

(3)－

m m ＋7

. 3．通分： (1)12x 与1y ； (2)a

2a ＋6与a －1a 2－9； (3)a －1a 2＋2a －3与1－a 2－4a ＋2a 2. 解：(1)12x ＝y 2xy ，1y ＝2x

2xy

.

(2)a

2a ＋6＝a (a －3)2(a ＋3)(a －3)＝a 2－3a 2a 2－18，a －1a 2－9＝2(a －1)2(a ＋3)(a －3)＝2a －22a 2－18. (3)

a －1a 2＋2a －3＝2(a －1)2(a ＋3)(a －1)＝2a －22a 2＋4a －6，1－a 2－4a ＋2a 2＝1－a 2(a －1)2＝－1

2(a －1)

＝

－(a ＋3)2(a ＋3)(a －1)＝－a ＋3

2a 2＋4a －6

.

环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

15．2分式的运算

15.2.1分式的乘除

第1课时分式的乘除

一、基本目标

【知识与技能】

理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算．

【过程与方法】

经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．

【情感态度与价值观】

通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．

二、重难点目标

【教学重点】

分式的乘除法法则．

【教学难点】

运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】

1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d

.

2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d

b ·c

.

3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：

(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y

7x ÷

－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？ 【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2

abc ＝abc .

(2)原式＝y 7x ·－x 2＝－xy 14x ＝－y 14

. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．

活动2 巩固练习(学生独学)

1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1

a ，结果正确的是( D )

A.12 B ．a ＋1a ＋2

C ．a ＋1a

D ．

a a ＋1

2．计算： (1)x 2y x 3·－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；

(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.

解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1

x

.

(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b

3b .

(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x

4－x

.

(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 2

35(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.

活动3 拓展延伸(学生对学) 【例

2】已知(a ＋b －2)2＋

||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2

a 的值．

【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．

【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，

∴ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得

a ＝1，

b ＝1.

4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝2

4a －b

. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝2

3

.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．

环节3 课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第2课时分式的乘方及乘除混合运算

一、基本目标

【知识与技能】

理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序．

【过程与方法】

经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．

【情感态度与价值观】

通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．

二、重难点目标

【教学重点】

分式的乘方法则和混合运算顺序．

【教学难点】

运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．

环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】

1．教材第138页“思考”：a b 2＝a 2

b 2；a b 3＝a 3

b 3；a b 10＝a

10

b 10.

2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：a b n ＝a n

b n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】计算：2x －－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x

.

【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算． 【解答】原式＝2x －－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)

3－x

＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x

＝

2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)

－(x －3)

＝－2x －2

【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．

【例2】计算：

(1)－2b 2a 33； (2)c 3a 2b 2÷c 4

a 3

b 2·

c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？

【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.

(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4

a 4

＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a

2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．

活动2 巩固练习(学生独学)

1．已知x 3

y 22÷－x y 32

＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．3

2．计算：

(1)3ab 22x 3y ·－8xy 9a 2b ÷3x

(－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)c 3

a 2

b 2÷

c 4a 3b 2÷a c 4； (4)a －b ab 2·? －a b －a 3·(a 2－b 2)． 解：(1)16b 29ax 3.

(2)(x －y )43.

(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2

.

活动3 拓展延伸(学生对学)

【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1

x ＋2

的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余

的．你认为小明的发现是否正确？

【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系． 【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1

x ＋2

＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2

＝1.

∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．

故小明的发现是正确的．

【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．

环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)