长沙县一中2011届高三年级第五次月考理科数学试卷

时量：120分钟    分值： 150 分（2011年2月18日）

命题人：陈海林       审题人：陶双喜

注意：本卷不收，请将答案填在答卷的指定位置上

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知复数=2+i，=3 – i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（    ）

A．0                B．                C．1                D.  2

2．A = “x∈A”是“x∈B”的（     ）

A．充分非必要条件                     B．必要非充分条件

C．充分必要条件                         D．既非充分也非必要条件

    A．(A1，B2，C1)    

B．(A2，B1，C2)    

    C．(A2，B1，C1)      

D．(A2，B2，C2)

4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积（单位：cm3）是                                       （    ）

A．4                B．5                C．6                D．7

5．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y = x2图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（    ）

    A．                B．            C．            D． 

6． AB是某平面上一定线段，点P是该平面内的一动点，满足=2，||=，则点P的轨迹是  （    ）

      A．圆        B．双曲线的一支           C．椭圆的一部分           D．抛物线

7．若函数的值域为[1，9]，则a2 + b2 – 2a的取值范围是（     ）

A．[8，12]    B．    C．[4，12]         D．[2，2]    

8．已知函数R．规定：给定一个实数x0，赋值，若，则继续赋值以此类推，若，则，否则停止赋值，如果得到xn称为赋值了n次（n∈N*）．已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是 （    ）

      A．                            B．    

C．                   D．

二、填空题（每小题5分，共35分）

9．直线l过点及圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为            ． 

10．已知是方程的两根，，则      ．

11．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别分层抽样，则不同的抽取方法种数为       ．

12．已知直线l的极坐标方程是，若直线l与双曲线的一条渐近线平行，则实数a =  ．    ．

13．如图，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC = 2，PA = 8，则CD的长为          ，cos∠ACB =           ．（用数字表示）

14．设函数有两个极值点，其中一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2）内，则的取值范围是         ．

15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)， (2，4，6)， (3，8，11)， (4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．

    （1）请写出cn的一个表达式，cn =         ；

（2）若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10 =             ．（用数字作答）   

      三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）    

16.已知向量．

         （1）求函数的最大值；

   （2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3， a的值． 

17. （本小题满分12分）某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互，学生各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为．

（Ⅰ）求学生被录取的概率；

（Ⅱ）求学生测试合格的项数的分布列和数学期望．

18. （本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC =，M为BC的中点．

    （1）证明AM⊥PM；

（2）并求二面角P—AM—D的大小；

    （3）求点D到平面AMP的距离．

19．（本小题满分13分）已知数列中，，，其前项和满足，令.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：（）；

20．（本小题满分13分）某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．

    （1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；

（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

21.（本小题满分13分）已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；

（3）设直线l与圆相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．

长沙县一中2011届高三年级第五次月考理科数学试卷答案

时量：120分钟    分值： 150 分（2011年2月18日）

命题人：陈海林       审题人：陶双喜

注意：本卷不收，请将答案填在答卷的指定位置上

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知复数=2+i，=3 – i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ C  ）

A．0                B．                C．1                D.  2

2．A = “x∈A”是“x∈B”的（  B  ）

A．充分非必要条件                     B．必要非充分条件

C．充分必要条件                         D．既非充分也非必要条件

    A．(A1，B2，C1)    

B．(A2，B1，C2)    

    C．(A2，B1，C1)      

D．(A2，B2，C2)

4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积（单位：cm3）是                                       （ A  ）

A．4                B．5                C．6                D．7

5．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y = x2图像下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（  C ）

    A．                B．            C．            D． 

6． AB是某平面上一定线段，点P是该平面内的一动点，满足=2，||=，则点P的轨迹是  （ B  ）

      A．圆        B．双曲线的一支           C．椭圆的一部分           D．抛物线

7．若函数的值域为[1，9]，则a2 + b2 – 2a的取值范围是（  C  ）

A．[8，12]    B．    C．[4，12]         D．[2，2]    

8．已知函数R．规定：给定一个实数x0，赋值，若，则继续赋值以此类推，若，则，否则停止赋值，如果得到xn称为赋值了n次（n∈N*）．已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是 （ C  ）

      A．                            B．    

C．                   D．

二、填空题（每小题5分，共35分）

9．直线l过点及圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为     120°      ． 

10．已知是方程的两根，，则      ．

11．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别分层抽样，则不同的抽取方法种数为  420     ．

12．已知直线l的极坐标方程是，若直线l与双曲线的一条渐近线平行，则实数a =  ．    ．

13．如图，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC = 2，PA = 8，则CD的长为    2      ，cos∠ACB =           ．（用数字表示）

14．设函数有两个极值点，其中一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2）内，则的取值范围是   （1，5）      ．

15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)， (2，4，6)， (3，8，11)， (4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．

    （1）请写出cn的一个表达式，cn =   n + 2n       ；

（2）若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10 =      2101        ．（用数字作答）   

      三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）    

16.已知向量．

         （1）求函数的最大值；

   （2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3， a的值． 

.【解析】（1）

            …………4分            …………5分

   （2）由（I）可得

因为…………7分

    ……9分     又

                            …………12分

17. （本小题满分12分）某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互，学生各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为．

（Ⅰ）求学生被录取的概率；

    （Ⅱ）求学生测试合格的项数的分布列和数学期望．

解  记学生通过这三个项目的测试的事件分别为，，，由题设可设，，．    ……分

由题意得，，解得，或（舍去，不合题意）．

所以，，．    ……分

（Ⅰ）由于事件，，相互，所以学生被录取的概率为

．    ……分

（Ⅱ）由题设知，学生测试合格的项数的取值为，，，．则

；

；

         ；

．    ……分

故的分布列是

18. （本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC =，M为BC的中点．

    （1）证明AM⊥PM；

（2）并求二面角P—AM—D的大小；

    （3）求点D到平面AMP的距离．

【解析】（1）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD    

∴PE⊥AM                                （3分）

    ∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得

    （4分）

    ∴AM⊥平面PME，∴PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P—AM—D的平面角，        （6分）

    PE = PDsin60°=，  ∴

∴二面角P—AM—D为45°．                                        （8分）

    （2）设点D到平面PAM的距离为d，连接DM，则VP—ADM = VD—PAM，

在Rt△PEM中，由勾股定理可求得，

即点D到平面PAM的距离为            （12分）

另解（1）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的这空间直角坐标系D—xyz，依题意，得D (0，0，0)，P (0，1，)，C (0，2，0)，A (2，0，0)，M(，2，0)        （2分）

            （4分）

设n = (x，y，z)，且n⊥平面PAM，则

取y = 1，                    （7分）

取P = (0，0，1)，∵P⊥平面ABCD，

∴cos=

结合图形可知，二面角P—AM—D为45°                            （9分）

（2）设点D到平面PAM的距离为d，由（1）可知，与平面PAM垂直，则d =                            （12分）

19．（本小题满分13分）已知数列中，，，其前项和满足，令.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证：（）；

20．（本小题满分13分）某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．

    （1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；

    （2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

．【解析】（1）设投放B型电视机的金额的x万元，则投放A型电视机的金额为（10 – x ）万元，农民得到的总补贴 

………………5分（没有指明x范围的扣1分）

    （2），令y′=0得x=10m –1……7分

1°若10m–1≤1即0＜m≤，则f（x）在[1，9]为减函数，当x=1时，f（x）有最大值；

    2°若1＜10m–1＜9即，则f（x）在[1，10m–1]是增函数在[10m–1，9]是减函数，当x=10m–1时，f（x）有最大值；    3°若10m–1≥9即m≥1，则f (x)在[1，9]是增函数，当x=9时，f（x）有最大值．

………………12分

因此，当0＜m≤时，投放B型电视机1万元；当时，投放B型电视机（10m–1）万元，当m≥1时，投放B型电视机9万元．农民得到的总补贴最大。…………13分

21.（本小题满分13分）已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；

（3）设直线l与圆相切于A1，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1，当R为何值时，|A1B1|取最大值？并求最大值．

【解析】（1）设P (x，y)，F1 (–c，0)，F2（c，0），其中

则

看作线段AD上的点P (x，y)到原点距离的平方，

∴P在A点，x2 + y2最大，∴a2 – c2 = 1，

又．………………………………4分

（2）由（1）知椭圆方程为，

①设圆心在原点的圆的一条切线为y = kx + t，．

解方程组……………5分

要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使

即，………………………………6分

要使

所以5t2 – 4k2 – 4 = 0，即5t2 = 4k2 + 4且t2＜4k2 + 1，即4k2 + 4＜20k2 + 5恒成立．

又因为直线y = kx + t为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为r =……………7分

②当切线的斜率不存在时，切线为满足．

综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．

                                                    ………………………………8分

（3）设直线l的方程为y = mx + n，因为直线l与圆C：x2 + y2 = R2 (1＜R＜2)相切于A1，

由（2）知  ①，    因为l与椭圆只有一个公共点B1，

由（2）知有唯一解，

则即4m2 – n2 + 1 = 0，   ②

由①②得此时A，B重合为B1 (x1，y1)点，由x1 = x2，所以B1 (x1，y1)点在椭圆上，所以

，在直角三角形OA1B1中，|A1B1|2 = |OB1|2 – |OA1|2 = 

5

因为时取等号，所以

即当时|A1B1|取得最大值，最大值为1．………………………………13分