2021年中考数学《圆综合压轴题》模拟训练题集(四)

1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．

（1）求证：△AMB为等腰直角三角形：

（2）求证：OE＝OF；

（3）连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

2．（1）初步思考：

如图1，在△PCD中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN＝PC

（2）问题提出：

如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值．

（3）推广运用：

如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD﹣PC的最大值．

3．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．

（1）求证：AF为⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；

（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．

4．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；

（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．

5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．

（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．

①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是　   　；

②若BE＝BQ＝3，求BP的长；

（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．

①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；

②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．

6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB＝6，BC＝，

（1）求证：F是DC的中点．

（2）求证：AE＝4CE．

（3）求图中阴影部分的面积．

7．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．

（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为　   　，最小值为　   　．

（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；

（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．

8．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．

（1）求证：DE与⊙O相切：

（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；

（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．

9．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．

（1）如图①，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；

（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求AC的长；

（3）如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是BC中点．连接AG．作BD⊥AG，垂足为F，△ABD的外接圆⊙O交BC于点E，连接AE．

（1）求证：AB＝AE；

（2）过点D作圆O的切线，交BC于点M．若，求tan∠ABC的值；

（3）在（2）的条件下，当DF＝1时，求BG的长．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D点，点F在边AC的延长线上，且∠CBF＝∠BAC．

（1）试说明FB是⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥AF，垂足为C．若CF＝4，BG＝3，求⊙O的半径；

（3）连接DE，设△CDE的面积为S1，△ABC的面积为S2，若＝，AB＝10，求BC的长．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求证：EF＝FC；

（3）若EF＝1，AE＝3，求BC的长．

13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．

（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；

（2）若点P的运动时间t秒．

①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；

②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．

14．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时PA•PB＝PC•PD

（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由．

（2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．

（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC＝，PA＝1时，阴影部分的面积．

15．已知AB为⊙O的直径．

（1）如图a，点D为的中点，当弦BD＝AC时，求∠A．

（2）如图b，点D为的中点，当AB＝6，点E为BD的中点时，求OE的长．

（3）如图c，点D为上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．

16．如图，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为劣弧的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．

（1）求证：CG是⊙O的切线；

（2）连接BC，若BC∥OF，如图2．

①求CE的长；

②图中阴影部分的面积等于　   　．

17．等腰△ABC中，AB＝AC，作△ABC的外接圆⊙O．

（1）如图1，点D为上一点（不与A，B重合），连接AD，CD，AO，记CD与AB的交点为E．

①设∠BAD＝x，∠OAC＝y，若∠ABC+∠DCB＝n，请用含n与x的式子表示y；

②当AB⊥CD时，若AO＝3，AC＝4，求AD的长；

（2）如图2，点P为上一点（不与B，C重合），当BC＝AB，AP＝8时，设S△BPC+S△ABP，BP为何值时，S有最大值？并请直接写出此时⊙O的半径．

18．如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P．连接AD、BC．OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N．连接PM、PN．

（1）求证：△ADP∽△CBP；

（2）当AB⊥CD时，探究∠PMO与∠PNO的数量关系，并说明理由；

（3）当AB⊥CD时，如图2，AD＝8，BC＝6，∠MON＝120°，求四边形PMON的面积．

19．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线．

（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．

①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；

②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．

20．如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．

（1）求证：△ABM∽△ECA．

（2）当CM＝4OM时，求BM的长；

（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．

21．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．

（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：＝；

（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；

（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．

22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径．

（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．

23．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，AC＝BC，D、E是⊙O上两点，连接AD、DE、AE．

（1）如图1，求证：∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如图2，若DE⊥AB于点H，过点D作DG⊥AC于点G，过点E作EK⊥AD于点K，交AC于点F，求证：AF＝2DG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半径．

24．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．

（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；

（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；

（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．

25．如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）证明：∠CAD＝∠CDF；

（3）若∠F＝30°，AD＝，求⊙O的面积．

26．已知：△ACD内接于⊙O，AC＝AD，直径AB交弦CD于点H．

（1）如图1，求证：AB⊥CD；

（2）如图2，连接CO并延长交AD于点E，弦MN经过点E，交AC于点F，若MF＝EN，求证：AE＝CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，点P为线段CH上一点，连接AP，PF，∠FPC＝∠APD，AP交CE于点G，连接GH，GH＝7，EF＝25，求线段OG的长．

27．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD

（1）如图1，求证：CA平分∠BCD；

（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝；

（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG＝2，tan∠GAD＝，求DE的长

．

28．如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．

（1）当时，

①若＝130°，求∠C的度数；

②求证AB＝AP；

（2）当AB＝15，BC＝20时

①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；

②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则CP的取值范围为　   　．（直接写出结果）

29．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．

（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；

（2）求证：AH是⊙O的切线；

（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为　   　．

30．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AC＝，求劣弧BD与弦BD所围图形的面积．

（3）若AC＝4，BD＝6，求AE的长．

31．如图1，△ABC的AB边为圆O的弦，AC、BC分别交圆O于D、E，弧AD＝弧BE，∠C＝60°．

（1）求证：△ABC为等边三角形；

（2）如图2，F为弧AD上一点，连接FE并延长至G，连接BG，若∠AFB＝∠G，求∠FBG的正弦值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接FC并延长交BG延长线于H，若CF＝CH，AF＝7，HG＝12，求线段AB的长度．

32．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．

（1）若点E在线段CA的延长线上，设BP＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）连接PA，若S△APE＝S△ABC，求BP的长．

33．已知：四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，AB＝AC．

（1）如图1，求证：2∠ACB+∠BDC＝180°；

（2）如图2，连接BO并延长交⊙O于点H，若AC⊥BD，求证：AH＝CD；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接HE，若BE：DE＝9：4；AB＝30，求HE长．

34．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝5，cos∠BED＝．

（1）求证：△DEB∽△DAE；

（2）求DA，DE的长；

（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．

35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OA平分∠BAD．

（1）如图①，求证：AB＝AD；

（2）如图②，＝，弦AE交CD于点F，若CF﹣CB＝DF，求证：AE⊥CD；

（3）如图③，在（2）的条件下，点G是AE上一点，连接BG，∠AGB+∠DAE＝90°，若BG＝4，DF＝，求线段AG的长度．

36．如图1，四边形ABGC内接于⊙O，GA平分∠BGC．

（1）求证：AB＝AC；

（2）如图2，过点A作AD∥BG交CG于点D，连接BD交线段AG于点W，若∠BAG+∠CAD＝∠AWB，求证：BD＝BG；

（3）在（2）的条件下，若CD＝5，BD＝16，求WG的长．

37．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求证：FC是⊙O的切线；

（2）当点E是的中点时，

①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若＝，且AB＝20，求OP的长．

38．如图1，△ABC内接于⊙O，弦AB＝5，点P是上的一点（不与点A，C重合），BP⊥AC于点D，过点C作射线AP的垂线，交BP延长线于点M，垂足为点Q．

（1）若的度数为40°，则∠CAP＝　   　．

（2）当PC＝PM时，

①求证：∠BPQ+∠ABC＝180°；

②若CM＝2，求四边形ABCP的面积；

（3）如图2，延长CO交AB于点N，当四边形ANCQ有一组对边平行时，设∠CPQ＝y，∠CBP＝x，请直接写出y于x之间的函数关系．

39．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）线段AC的长度是　   　．

（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　   　．

40．如图，△ACB内接于⊙O，点D在⊙O上，连接AD，点N在CD的延长线上，AD平分∠BDN

（1）如图1，求证：AB＝AC

（2）如图2，过点A作AH⊥BD于H，求证：BD﹣CD＝2DH

（3）如图3，在（2）的条件下，若BD为⊙O的直径，BD与AC交于点R，过点D作DE⊥AC于点E交AB于点F，若DH＝，AF：BF＝1：3，在CD的延长线上取点M，连接AM，使AD平分∠CAM，求DM的长．

41．如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）求证：CD2＝CA•CB；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若CD＝8，，求BE的长．

42．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．

（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；

（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；

（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝，BC＝，求AC的长．

43．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE＝1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G．

（1）证明∠EFG＝90°．

（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积．

（3）在点F整个运动过程中，

①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长．

②连接EG，若＝时，求⊙O的半径（请直接写出答案）．

44．如图，已知点E为△ABC的外接圆⊙O上一点，OE⊥BC于点D，连接AE并延长至点F，使∠FBC＝∠BAC．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D为OE的中点，过点B作BG⊥AF于点G，连接DG，⊙O的半径为，AC＝5．

①求∠BAC的度数；

②求线段DG的长．

45．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB⊥CD于E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为F．

（1）如图，连接AC、AG，求证：AC＝AG；

（2）连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG＝4，圆O的半径为，求tanD和AH的长．

46．如图1，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC与⊙O交于点D，点F是直径AB下方半圆上一点（不与A，B重合），连接DF，交AB于点E．

（1）求证：∠C＝∠F；

（2）如图2，若DF＝DB，连接AF．

①求证：∠FAE＝2∠AFE；

②作BH⊥FD于点G，与AF交于点H．若AH＝2HF，CD＝1，求BG的长．

47．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点H，点C为的中点，AE分别交CD、CB于点F、G．

（1）如图1，求证：＝；

（2）如图2，连接BD，若EG＝AF，求证：△BDC为等边三角形；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长交BD于点K，若CG＝1，求线段OK的长．

48．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．

（1）求证：∠ABD＝∠BCD；

（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；

（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．

49．已知，在△PAB中，PA＝PB，经过A、B作⊙O．

（1）如图1，连接PO，求证：PO平分∠APB；

（2）如图2，点P在⊙O上，PA：AB＝：2，E是⊙O上一点，连接AE、BE．求tan∠AEB的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FG⊥BE于点G，EF+BG＝14，求线段OF的长度．

50．如图①，A、B、C、D四点在⊙O上，过点C的切线CE∥BD，交AB的延长线于点E．

（1）求证：∠BAC＝∠CAD；

（2）如图②，若AB为⊙O的直径，AD＝6，AB＝10，求CE的长；

（3）在（2）的条件下，连接BC，求tan∠BAC的值．