数学建模论文(1)

承  诺  书

我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：                       .

报名序号是(没有或不清楚可不填):________________.

参赛队员(打印并签名) ：               所属院系（请填写完整的全名）： 

1._______________签名:_________________院系: __________________________

2._______________签名:_________________院系: __________________________

3._______________签名:_________________院系: __________________________

                                           日期：        年    月   日

A题：超市收银员合理排班

一：摘要

在超市购物完准备结账时我们经常会看到收银台处排着长长的队伍，枯燥的等待使得顾客怨声载道，如果顾客有急事或者受不了长时间的等待那么他也许就会放弃这次购物从而减少了超市的收益，因此在不同的时间段不同的日子收银员的人数必然是不同的，如何做到合理的分配就是这次要解决的问题

    在超市收银员合理排班问题中，由于每个时间段来超市购物的人数是不同的，对应的收银员人数就可以发生相应的调整。最佳状态时，顾客不会因为等待时间过长而放弃购物，同时超市收银员能够得到合理的利用，使得超市的收益达到最大。

    首先经过分析发现，这个过程属于多通道等待制排队问题，进一步通过数据研究发现，这个模型属于S队列-S服务台的并联运行问题。在输入过程里，顾客总体数近似无限的，到达方式为单个到达，顾客流的概率分布属于泊松分布；在服务规则上属于先到先服务，顾客等待时间是有限的，同时收银员服务时间也有限。对于服务台来说，多队多服务台，单个服务，对每个顾客服务时间为随机变量。总结起来就是M/M/S/∞/∞/FCFS模式。

    然后是数学模型的建立，通过分析数据表格发现每个时间段的人数基本不同，但是经过对比发现周一至周五的每天总人数相差不大，然后周一至周五每个时间段相差人数也不大，周六周日则相差不大。因此简化模型可以分为周一至周五，周六至周日来讨论，建立数学模型。

    最后是模型的求解，通过分析数据，借助MATALB软件求解，求得平均对长，平均服务率，服务强度状态概率等运行指标。对照表格的数据检查发现对收银员分配不合理，利用软件排列出合适的收银员分配

关键词：收银员    多通道等待   合理分配

目录

一.摘要    

二.问题的提出    4

三.问题的分析    4

四.建模过程    5

1）问题一    5

1.模型假设    5

2.定义符号说明    5

3.模型建立    6

4.模型求解    6

2）问题二    9

1.基本假设    9

2.定义符号说明    9

3.模型建立    9

4.模型求解    11

3）问题三    11

1.基本假设    11

2.定义符号说明    12

3.模型建立    12

4.模型求解    13

5.模型检验与分析    14

6.效用评价函数    14

7.方案    15

4).问题四    16

1.基本假设    16

2.定义符号说明    17

3.模型建立    17

4.动态分布图    18

5.评价方案    19

五.模型的评价与改进    19

六.参考文献    20

二：问题的提出

随着超市的推广,购物已然是一种潮流.然而在购物中必然要遇到许多问题.对于顾客来说，超市收银台越多越方便,因为这样能够节省顾客很多时间在排队结账上面；而就超市经营者来说，增加收银台就意味着增加投资，所以增加了成本。收银台过多会产生闲置浪费，过少会影响服务质量，甚至造成客源流失。所以应该合理规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。要做好收银台的优化设计，其实也不难，只要收集完整的统计资料（单位时间内平均到达的顾客数和一个顾客的平均服务时间），便可由在上一节所介绍的公式计算出顾客排队等待的平均时间，或者是根据顾客所能接受的排队等待时间计算出超市需要设置多少收银台。因此可对超市收银台进行管理和优化设计。

三．问题的分析

超市中存在着这样一个问题，收银台的设置与成本成正比，但是在实际过程中，顾客的数量是变化的，如何设置收银台的数量以达到最小的成本。

调查后我们发现，超市顾客的数量，在一周内变化有规律性，在一天内变化也后周期性，所以我们要研究这个特性以安排出最佳方案。

建立S个M/M/S的排队系统的数学模型，通过拟合手段，计算出最佳方案。

 这个模型属于多通道等待制排队问题，而且是属于多通道多服务台并联运行的问题。其中要考虑顾客总体数为有限或者无限，到达方式为单个到达或者成批到达，顾客流的分布和为泊松分布，服务规则为混合制，顾客等待时间和服务台服务时间有限，属于先到先服务等待制度。

四.建模过程

1）问题一

模型假设：

1、顾客都是单个到达。

2、在购物的这些时间不会经历一些特殊的节日，如中秋，春节，五一等。

3、商场没有搞大型促销、打折等活动。

4、各收银台服务时间基本一致，不考虑各窗口工作人员自身原因引起的服的改变。

5、顾客中没有插队现象的发生。

6、顾客一旦进入队伍中就不会中途离开。

7、收银台进行服务时，排除因为意外情况的发生而影响到的服务时间。

2.定义符号说明：

(1)主要数量指标

L1——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数   的期望值；

Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；

W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；

——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

(2)其他数量指标

 s——系统中并联服务台的数目；

 λ——平均到达率；

1／λ——平均到达间隔；

 μ——平均服务率；

1/μ——平均服务时间；

N――稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；

U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；

Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间

3.模型建立：

顾客的到达服从参数为的泊松分布；顾客的服务时间服从参数为的指数分布；有s个服务台（窗口），顾客按到达的先后次序接受服务。通过查阅概率论的知识可知：

泊松分布：

  (为常数，k=0,1,2,……)

即在时间T内有s位客服的到达的概率为：

其中是在时间内顾客到达的平均顾客数，平均到达率。

负指数分布：

其中为大于0的常数，代表单位时间内的平均服务率。

服务强度：=/；

平均对长:   

平均队列长：

假定顾客到达均匀分布于s个小队，该问题可归结为s个的M/M/1/排队系统，当服务强度< 1时：

顾客的平均等待时间为：=

每对顾客的平均队列长为：=

表1：收银员与排队顾客数据表

通过分析发现周一至周五的各个时间段来购物的人数相差不大，因此可以算出各个时间段的平均值，周六和周日两天的相差不大，可以算出周六周日两天的各个时间段的人数平均值，然后再按照平均值的数据进行下一步计算。通过整理，做出如下表格

 表2：各个时间段平均人数

通过表2的数据计算出λ的值：

 λ=（8.8+25.4+27.8+…+11.8）/（15*60）=0.258

λ＇=（8.5+44+42+…+17）/（15*60）=0.398

计算出负指数分布中的值：

=（0.8+5）/2=0.345

对于M/M/1型系统，考虑实际情况我们可以假设服务时间是服从（3,6）均匀分布，根据概率论知识，当顾客到达量服从泊松分布时顾客到达时间间隔服从负指数分布。现用模拟，人数n取30，得到的仿真结果如表4，并计算出负指数分布中的值：

表3：服务时间仿真结果