...数学真题解析76_等腰三角形的性质和判定(含答案)

等腰三角形的性质和判定

一、选择题

1. （2011•铜仁地区7,3分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（　　）

    A、等腰三角形两底角相等        

B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

    C、等腰三角形是中心对称图形        D、等腰三角形是轴对称图形

考点：等腰三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形。

分析：根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．

解答：解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；

B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；

C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；

D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．

故选C．

点评：此题考查了等腰三角形的性质．注意等边对等角，三线合一，以及其对称性的应用．

2. （2011内蒙古呼和浩特，7，3）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（　　）

A、9cm          B、12cm         C、15cm或12cm          D、15cm

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题：分类讨论．

分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．

解答：解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；

当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．

故选D．

点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

3.（2011辽宁沈阳，7，3）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

    A、2个        B、4个       C、6个        D、8个

考点：等腰三角形的判定；矩形的性质。

分析：本题需先根据矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．

解答：解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．

故选B．

点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，在解题时要把等腰三角形的判定与矩形的性质相结合是本题的关键．

4. （2011福建莆田，7，4分）等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（    ）

A.15          B.12          C.12或15      D.不能确定

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题：计算题．

分析：根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；

解答：解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；

∴腰长为6，

∴周长为6+6+3=15．

故选A．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，

三角形两边之差小于第三边．

5.（2011巴彦淖尔，2，3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）

       A、2.5秒        B、3秒            C、3.5秒        D、4秒

考点：等腰三角形的性质。

专题：动点型。

分析：设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．

解答：解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，即20﹣3x=2x，解得x=4．

故选D．

点评 ：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．

6. （2011湖北十堰，9，3分）如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（    ）

A．4个            B．6个           C．7个          D．9个

考点：等腰三角形的判定。

专题：应用题；网格型。

分析：根据题意进行分析可知：以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形即有6个，以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，从而得出结论．

解答：解：根据题意可知：以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，故3×2=6，同时，还可以以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，∴符合要求的新三角形有7个，

故选C．

点评：本题主要考查了等腰三角形的定义，同时需要认真分析，避免遗漏，难度适中．

7. （2011山西，11，2分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，则AC的长为（      ）

A．       B．          C．            D． 

考点：三角形中位线，相似三角形的相似比

专题：相似三角形

分析：由题意知DE是等腰△ABC的中位线，所以DE∥BC，DE＝BC， 因为DE＝2㎝，所以BC＝4㎝．又DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC，且相似比为．过点A作AM⊥BC于点M．则MC＝2㎝， 由点E是边AC的中点，EF∥AM，所以FC＝1㎝．在△EFC中， 因为正方形DEFG的边长是2㎝，所以根据勾股定理得EC＝，所以AC＝ ， 故选D．

解答：D

点评：此题是三角形中位线， 等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用．过点A作AM⊥BC于点M，构造等腰三角形的高学生不易想到．

8. （2011四川凉山，8，4分）如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（　　）

A．　　  B．    　　C．　　   D． 

    考点：全等三角形的性质；等腰三角形的性质．

    分析：可用面积相等求出DE的长，知道三边的长，可求出BC边上的高，连接AD，△ABC的面积是△ABD面积的2倍．

    解答：解：连接AD.

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝×10＝5

∴AD＝＝12．

∵△ABC的面积是△ABD面积的2倍．

∴2• AB•DE＝•BC•AD，       ∴ DE＝＝．

故选C．

    点评：本题考查等腰三角形的性质，以及等腰三角形的面积，可用面积大小关系来解决此题．

9. （2011•30，4分）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE．若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE的度数为何（　　）

    A、45        B、52.5   C、67.5        D、75

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理。

专题：计算题。

分析：根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=45°，然后即可求出∠BDE的度数．

解答：解；∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=（180﹣30）=75°，

∵以B为圆心，BC长为半径画弧，

∴BE=BD=BC，

∴∠BDC=∠ACB=75°，

∴∠CBD=180﹣75﹣75=30°，

∴∠DBC=75﹣30=45°，

∴∠BED=∠BDE=（180﹣45）=67.5°．

故选C．

点评：本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=45°，然后即可求得答案．

10. （2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（　　）

    A、BD平分∠ABC        B、△BCD的周长等于AB+BC

    C、AD=BD=BC        D、点D是线段AC的中点

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

分析：由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C==72°，

∵AB的垂直平分线是DE，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=36°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，

∴BD平分∠ABC，故A正确；

∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；

∵∠DBC=36°，∠C=72°，

∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∴AD=BD=BC，故C正确；

∵BD＞CD，

∴AD＞CD，

∴点D不是线段AC的中点，故D错误．

故选D．

点评：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．

11.（2011山东青岛，13，3分）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=．

考点：等腰直角三角形。

分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．

解答：解：设B1C=2x，

根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，

则B1C边上的高为x，

∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），

∴BB1=BC﹣B1C=．

故答案为．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长．

二、填空题

1. （2010福建泉州，12，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=　100°　．

考点等腰三角形的性质；三角形内角和定理

分析由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，再利用三角形的内角和为180°即可求出∠A．

解答解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°．故答案为：100°．

点评本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等；也考查了三角形的内角和定理．

2. （2011盐城，16，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为　    　．

考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质.

专题：几何图形问题.

分析：根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=10；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=10．

解答：解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，AB=AC，

∴AB=10；故答案为：10．

点评：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．此题是一道基础题，只要同学们在做题过程中多一份细心，就会多一份收获的．

3. （2011山东烟台，14，4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为                   .

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.

分析：已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．

解答：解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理，

当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．

4. （2010河南，8，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为　72°　．

考点：等腰三角形的性质

分析：由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．

解答：解：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°﹣36°）÷2=72°，∠DCB=36°．

∴∠BDC=72°．故答案为：72°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，本题根据三角形内角和等于180度，在△CDB中从而求得∠BDC的角度．

5. （2011黑龙江牡丹江，6，3分）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为　6或2或4．

考点：等腰三角形的性质；勾股定理。

专题：计算题。

分析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．

解答：解：①如图1

当AB=AC=5，AD=4，

则BD=CD=3，

∴底边长为6；

②如图2．

当AB=AC=5，CD=4时，

则AD=3，

∴BD=2，

∴BC==， 

∴此时底边长为；

③如图3：

当AB=AC=5，CD=4时，

则AD=3，

∴BD=8，

∴BC=4，

∴此时底边长为4．

故答案为：6或或4．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．

6 （2011邵阳，11，3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=　80°　．

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理.

专题：几何图形问题.

分析：根据等腰三角形的性质，∠B=∠C=50°，然后根据三角形内角和定理就可推出∠A的度数

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=50°∴∠C=50°∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°故答案为80°．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是找到等腰三角形的相等的两个底角．

7.（2011•湖南张家界，15，3）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=　     　．

考点：等腰三角形的性质。

专题：计算题。

分析：由已知条件，利用等边三角形三线合一的性质进行求解．

解答：解：∵AB=CA，

∴△ABC是等腰三角形，

∵D是BC边上的中点，

∴AD平分∠BAC，

∵∠BAD=20°．

∴∠C=90°﹣20°=70°．

故答案为：70°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．

8. （2011广东省茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．

考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质。

专题：应用题。

分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

∵DF=DE，

∴∠E=15°．

故答案为：15．

点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．

9. （2011浙江嘉兴，14，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD=　110　度．

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

专题：计算题．

分析：根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．

解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=70°，

∴∠BCD=∠A+∠B=40°+70°=110°，故答案为：110．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．

10.（2011•江西，14，3）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=　      　度．

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理。

专题：计算题。

分析：根据在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形内角和定理求出∠B=∠C=50°，再利用BE=BP，求出∠B，然后即可求得∠EPF，即可解题．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，

∴∠B=∠C=50°，

∵BE=BP，

∴∠B=∠EPB=65°，

同理，∠FPC=65°，

∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°．

故答案为：50°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．

11. （2011年四川省绵阳市，14，4分）如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A= 25°．

考点：平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

专题：计算题．

分析：根据AB∥CD，CP交AB于O，可得∠POB=∠C，再利用AO=PO，可得∠A=∠P，然后即可求得∠A的度数．

解答：解：∵AB∥CD，CP交AB于O，

∴∠POB=∠C，

∵∠C=50°，

∴∠POB=50°，

∵AO=PO，

∴∠A=∠P，

∴∠A=25°

故答案为25．

点评：此题主要考查学生对平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．要求学生应熟练掌握．

12. （2011，四川乐山，16,3分）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则（1）θ1=                  ；

（2）θn=            ．

考点：等腰三角形的性质。

专题：规律型。

分析：设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．

解答：解：（1）设∠A1B1O=x，

则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，

∴θ1=；

（2）设∠A2B2B1=y，

则θ2+y=180°，θ1+2y=180°，

∴θ2=；

…

θn=．

故答案为别为：θ1=；θn=．

点评：此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．

三、解答题

1. （2011江苏扬州，23，10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由。

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定。

分析：（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；

（2）首先连接AO并延长交BC于E，由AB=AC，OB=OC，即可证得AE是BC的垂直平分线，又由三线合一的性质，即可证得点O在∠BAC的角平分线上．

解答：解：（1）∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于E，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AE是BC的垂直平分线，

∴∠BAE=∠CAE，

∴点O在∠BAC的角平分线上．

点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．

2.（2011•株洲,20，）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

专题：计算题；几何图形问题。

分析：（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；

（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；

解答：解：（1）∵DE垂直平分AC，

∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，

∴BC=EC=5．

答：（1）∠ECD的度数是36°；

（2）BC长是5．

点评：本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

3. （2011江苏镇江常州，22，5分）已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．

专题：证明题．

分析：根据在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证△AED≌△ADC，然后利用等量代换即可求的结论．

解答：证明：∵AD平分∠EDC，

∴∠ADE=∠ADC，

∵DE=DC，

∴△AED≌△ADC，

∴∠C=∠E，

∵∠E=∠B．

∴∠C=∠B，

∴AB=AC．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定的理解和掌握，难度不大，属于基础题．

4. （2011•临沂，22，7分）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

考点：菱形的判定；等腰三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；

（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．

解答：证明：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠BCA，

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAD=∠B，

∴AD∥BC，

∴∠D=∠DCE，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=∠DCE，

∴∠D=∠ACD，

∴AC=AD；

证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC， 

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，

∴∠ACB=60°，

∠FAC=∠ACE=120°，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠B=∠D=60°，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．

5. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

考点：等腰三角形、直角三角形、勾设定理、分类思想、、设计类问题

专题：分类思想、勾股定理、设计类问题

分析：原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，如图1；二是延长BC至点D，使CD＝4，则BD＝AB＝10，得等腰三角形ABD，如图2；三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D，则DA＝DB，得等腰三角形ABD，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．

解答：分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m）．

（2）如图2，因为BC＝6m，CD＝4m，所以BD＝AB＝10m，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝4，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为4＋10＋10＝20＋4（m）．

（3）如图3，设△ABD中DA＝DB，再设CD＝xm，则DA＝(x＋6)m，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋6)2，解得x＝

∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x＋6)＝（m）．

点评：对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．

6.（2011吉林长春，20，6分）在正方形网格图①．图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B．C．D．E．F．G．H中选取，并且所画的两个三角形不全等．

考点：作图—应用与设计作图．

分析：可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形．

解答：解：

点评：本题主要考查了作图，正确理解等腰三角形的性质：顶角顶点在底边的中垂线上，是解决本题的关键．

7.（2011辽宁沈阳，19，10）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC＝AB．

考点：等腰三角形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）由AB＝AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B＝∠C＝30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC＝120°，而∠DAB＝45°，

则∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°；

（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，而由（1）得到∠DAC＝75°，再根据等腰三角形的判定可得DC＝AC，这样即可得到结论．

解答：（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，

∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°，

∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°；

（2）证明：∵∠DAB＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，

∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴DC＝AB．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．

8.（2011辽宁沈阳，19，10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB．

考点：等腰三角形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；

（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．

解答：（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵∠C+∠BAC+∠B=180°，

∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；

（2）证明：∵∠DAB=45°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，

∴∠DAC=∠ADC，

∴DC=AC，

∴DC=AB．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．