第三章飞行器的运动方程(0901)

3.1 刚体动力学方程的推导

1.刚体飞行器运动的假设

1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；

2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标；

3）忽略地面曲率，视地面为平面；

4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；

5）假设机体坐标系的平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积

2.旋转坐标系中向量的导数

设活动坐标系具有角速度（见图3.1-1）。向量在此坐标系中的分量为，即

   （3.1-1） 

其中、、是、、轴的单位向量。

                      图3.1-1

设有一个可变的向量，它在此坐标系中的分量为，即

               （3.1-2）

由上式求向量对时间的导数：

   （3.1-3）

从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度旋转时，刚体上任何一点P的速度为

   （3.1-4）

其中是从O点到P点的向径。

现在，把单位向量看作是活动坐标系中一点P的向径，于是可得：

   （3.1-5）

同理可得：

    （3.1-6）

      （3.1-7）

将式（3.1-5）、（3.1-6）及（3.1-7）代入式（3.1-3）中，可得：

  （3.1-8）

或写为：

     （3.1-9）

其中

称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量的变化率。而则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系中的观察者所看到的向量的变化率。例如，若是某点的向径，则代表该点的相对速度（相对于动坐标系），而则代表该点的绝对速度。

3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程

由牛顿第二定律得：

   （3.1-10）

式中：——外力

——物体的质量

——物体的速度

——表示相对于惯性坐标系

在图3.1-2中，考察飞机上的一个质量元。

           图3.1-2 飞机上的质量元

列出牛顿第二定律方程

  （3.1-11）

式中：——作用在质量元上的外力

——质量元相对惯性坐标系的速度

作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即

   （3.1-12）

质量元的速度为

    （3.1-13）

式中：——飞机的质心的速度；

     ——微元相对于质心的速度。

      将式（3.1-13）代入式（3.1-11），两边求和得：

      （3.1-14）

假设飞机的质量是常数，式（3.1-14）可改写为

    （3.1-15）

或

       （3.1-16）

由于是从质心度量，所以和式。式（3.1-16）简化为

       （3.1-17）

这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。

由式（3.1-9）得

    （3.1-18）

用机体坐标系上的分量表示为

    （3.1-19）

          （3.1-20）

        （3.1-21）

则有：

       （3.1-22）

这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。

4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。

由牛顿第二定律得：

   （3.1-23）

式中：——外力矩

——物体的动量矩（角动量）

——表示相对于惯性坐标系

用类似方法。对于质量微元，力矩方程可以写为

   （3.1-24）

质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即

   （3.1-25）

总的动量矩可以写作

    （3.1-26）

速度对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即

   （3.1-27）

式（3.1-27）中的第一项为0，因为，前面已经解释过。

设

    （3.1-28）

将式（3.1-20）和（3.1-28）代入（3.1-27），得

     （3.1-29）

如果定义

，   （3.1-30）

，     （3.1-31）

则有

     （3.1-33）

由式（3-9）得

    （3.1-34）

设

  （3.1-35）

将式（3-20）、（3-35）代入式（3-34），则有

    （3.1-36）

因为假设平面是飞机的对称平面，所以

    （3.1-37）

将式（3.1-33）、（3.1-37）代入（3.1-36），得

    （3.1-37）

3.2 飞行器的运动学方程

3.2.1 飞行器的线运动方程

1）由地面坐标系绕轴转动偏航角到过渡坐标系，转换关系为

   （3.2-1）

2）由过渡坐标系绕轴转动到过渡坐标系，转换关系为

      （3.2-2）

3）由过渡坐标系绕轴转动滚转角到机体坐标系，转换关系为

   （3.2-3）

由地面坐标系到机体坐标系，转换关系为

                     （3.2-4）

由机体坐标系到地面坐标系，转换关系为

                       （3.2-5）

对式（3.2-5）两边对求导得：

           （3.2-6）

或

          （3.2-7）

由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系间的转换关系：

          （3.2-8）

由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系：

   （3.2-9）

式（3.2-9）中的转换矩阵右乘（3.2-4）的转换矩阵也表示从地轴系向速度轴系的转换，与式（3.2-8）中转换矩阵相等，由此可得下列几何关系式。

                （3.2-10）

3.2.2 飞行器的角运动方程

角速度分量（）与姿态角变化率（）之间的几何关系如图3.2-1所示。

图3.2-1 角速度分量（）与姿态角变化率（）之间的几何关系

飞机三个姿态角变化率的方位如下：

——沿轴的向量，向下为正。

——在水平面内与轴在水平面内投影线相垂直，向右为正。

——沿轴的向量，向前为正。

为了得到姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系，将三个姿态角变化率向机体轴上投影，得

     （3.2-11）

或

  （3.2-12）

从式（3.2-12）可以解出姿态角变化率

   （3.2-13）

积分这个方程可以求出欧拉角（姿态角）

应当指出，，和在一般情况下并不是互相垂直的正交向量，但却互相垂直的正交，并有

   （3.2-14）

3.3重力和推力

重力通过质心作用在飞机上,由于机体坐标系固定在质心上所以重力不产生力矩。它作为外力作用在飞机上，并沿机体坐标轴产生分量。

重力沿机体坐标轴的分量为

     （3.3-1）

推进系统产生的推力可能沿体坐标轴的各方向产生分量。此外，如果推力不通过质心，也可能产生力矩。图3.3-1表示推进系统可能产生的力矩的例子。

图3.3-1 推力系统产生的力和力矩

作用在机体坐标系的推力和力矩为

，  （3.3-2）

现将飞行器的动力学方程和运动学方程总结如下：

力方程：

    （3.3-3）

力矩方程：

    （3.3-4）

绕质心转动的运动学方程

机体角速度用欧拉角和欧拉角速度表示：

       （3.3-5）

欧拉角速度用欧拉角和机体角速度表示：

     （3.3-6）

飞行器质心运动的运动学方程

                       （3.3-7）

3.4 小扰动原理

3.1节导出的方程可以通过小扰动原理进行线性化。在小扰动原理中，需假定飞机的运动只在稳定飞行条件附近具有小的偏离。很明显，这个原理不能用于大幅度运动的问题。但是在很多情况下，小扰动原理对于实际工程能得到足够的精度。

动力学方程中的所有变量用一个基准值加上一个偏差或扰动代替，即

（3.4-1）

作为一个例子，考虑方向力方程，即

     （3.4-2）

把小扰动变量代入上面方程，得

             （3.4-3）

如果忽略扰动量的乘积，并假定

  （3.4-4）

则有

    （3.4-5）

因为

假设比较小，可以认为

所以式（3.4-6）可化为

  （3.4-7）

如果假定上式中的扰动量为0，得到基准飞行条件为

    （3.4-8） 

用上式代入（3.4-7），得

  （3.4-8）

其中是方向的空气动力和推力，可以用台劳级数展开。

如果假定只是的函数，则可以表示为

  （3.4-9）

其中、、、为稳定性导数，在基准飞行条件下计算。、分别为升降舵角度和油门位置的变化。

将式（3.4-9）代入式（3.4-8），得

   （3.4-10）

整理后得

  （3.4-11）

两边除以质量，得到更为方便的形式，即

（3.4-12）

其中，等，都是空气动力导数除以飞机的质量。

下面列出空气动力和力矩的台老级数展开式。

（3.4-13）

（3.4-14）

空气动力和力矩可以表示为所有运动变量的函数，但是在上面的方程中只把那些有显著影响的项包含进来。

同理可以得到其它线性化方程。下面归纳如下：

纵向通道

                （3.4-15）

横侧向通道

（3.4-16）