2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

数学一试题及答案解析

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1、已知极限，其中为常数，且，则（  ）

（A）      （B）

（C）      （D）

【答案】（D）

【详解】方法1： 

.因此，选（D）.

方法2：用洛必达法则.

因此，，.

2、曲面在点的切平面方程为（  ）

（A）      （B）

（C）     （D）

【答案】（A）

【详解】设，则

所以该曲面在点处的切平面方程为即，故选（A）.

3、设，，令，则（  ）

（A）      （B）      （C）      （D）

【答案】（C）

【详解】

将作奇延拓，得周期函数，周期

则在处连续，从而.故选（C）.

4、设，，，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则（  ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】（B）

【详解】记，，则

用表示所围区域的面积，则有，，，.又因为被积函数，所以.故选（B）.

5、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（  ）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

【答案】（B）

【详解】将矩阵、按列分块，， 

由于，故

即

即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.

6、矩阵与相似的充分必要条件是（  ）

（A）

（B）为任意常数

（C）

（D）为任意常数

【答案】（B）

【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.

由的特征值为2，，0可知，矩阵的特征值也是2，，0.

因此， 

将代入可知，矩阵的特征值为2，，0.

此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.

7、设是随机变量，且~， ~， ~，，则（  ）

（A）      （B）

（C）      （D）

【答案】（A）

【详解】，

， 

， 

.故选（A）.

8、设随机变量，，给定，常数满足，则（  ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】（C）

【详解】，则

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9、设函数由方程确定，则      .

【答案】1

【详解】由，当时，.

方程两边求导得 

将，代入计算得

10、已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为      .

【答案】，为任意常数.

【详解】，是对应齐次微分方程的解.

由分析知，是非齐次微分方程的特解.

故原方程的通解为，为任意常数.

11、设（为参数），则      .

【答案】

【详解】

12、      .

【答案】

【详解】

13、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若

，则      .

【答案】-1

【详解】

等式两边取行列式得或

当时，（与已知矛盾）

所以.

14、设随机变量服从参数为1的指数分布，为常数且大于零，则      .

【答案】

【详解】由题意可知， 

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

计算，其中.

【详解】

其中

所以，原式=

16、（本题满分10分）

设数列满足条件，，，是幂级数的和函数.

（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的表达式.

【详解】（Ⅰ）证明：，，

因为，，所以

所以

（Ⅱ）为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为，从而

于是微分方程的通解为

由，，得

所以

17、（本题满分10分）

求函数的极值.

【详解】先求驻点，令

或

再求驻点处的二阶偏导数

，

，

，

由于在点处，

，， 

，，所以点不是极值点.

同样在点处，

，， 

，，所以点是极小值点，极小值为.

18、（本题满分10分）

设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：

（Ⅰ）存在，使得；

（Ⅱ）存在，使得.

【详解】（Ⅰ）由于在上为奇函数，故

令，则在上连续，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即.

（Ⅱ）考虑

令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，，.由罗尔定理可知，存在，使得，即.

19、（本题满分10分）

设直线过，两点，将绕轴旋转一周得到曲面，与平面，所围成的立体为.

（Ⅰ）求曲面的方程；（Ⅱ）求的形心坐标.

【详解】（Ⅰ）直线L过A、B两点，，所以直线L的方程为

所以其绕z轴旋转一周的曲面方程为

（Ⅱ）设形心坐标为，关于，对称，.

所以，的形心坐标为.

20、（本题满分11分）

设，，当为何值时，存在矩阵C使得，并求所有矩阵C.

【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设.由可得

整理后可得方程组  ①

由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：

方程组有解，故，，即，.

当，时，增广矩阵变为

为自由变量，令，代入相应齐次方程组，得

令，代入相应齐次方程组，得

故，，令，得特解

方程组的通解为（为任意常数）

所以.

21、（本题满分11分）

设二次型，记， 

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为；

（Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为    

【详解】（Ⅰ）证明：

，其中

所以二次型f对应的矩阵为.

（Ⅱ）由于正交，故

因均为单位向量，故，即.同理

由于，故A有特征值.

，由于，故A有特征值

又因为，

所以，故.

三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为.

22、（本题满分11分）

设随机变量的概率密度为，令随机变量

（Ⅰ）求的分布函数；（Ⅱ）求概率.

【详解】（Ⅰ）依题意有，即

Y的分布函数 

由Y的概率分布知，当时，；

当时，；

当时， 

所以的分布函数为

（Ⅱ），，

.

23、（本题满分11分）

设总体的概率密度为，其中为未知参数且大于零，

为来自总体的简单随机样本.

（Ⅰ）求的矩估计量；（Ⅱ）求的最大似然估计量.

【详解】（Ⅰ）

令，则，即，其中.

（Ⅱ）对于总体的样本值，似然函数为

   （），

，

令，得

的最大似然估计量.