最新人教版六年级数学上册第五单元圆(知识梳理+课本例题+练习)

一、知识梳理

1、圆心：圆中心一点叫做圆心.用字母“O ”来表示.

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,用字母“r ”来表示. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母“d ”表示.

2、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.

3、在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半.用字母表示为：r d 2= d r 2

1= 4、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长.

5、圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母π表示.圆周率是一个无限不循环小数.在计算时,取14.3π≈.世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.

6、圆的周长公式：πd C = 或πr 2C =

7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积.

8、把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,因为长方形面积=长×宽,所以圆的面积2πr r ×r ×π==

9、圆的面积公式：22)÷π(d S = 或者2πr S = 或者22)÷π÷π(C S =

10、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长.圆的面积和正方形面积的比是π：4.

在一个圆里画一个最大正方形的,圆的直径的长度等于正方形的对角线的长度,正方形的面积=对角线×对角线÷2=直径×直径÷2 .

11、在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的短边.

12、一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是22πr πR S -=或 )r π(R S 22-=（其中R ＝r ＋环的宽度．）

13、环形的周长＝外圆周长＋内圆周长

14、半圆的周长等于圆的周长的一半加直径.

半圆周长公式：2r πr C += 或 d 2÷πd C +=

15、半圆面积＝圆面积÷2 公式为：2÷πr S 2=

16、在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数.而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍.

例如：在同一个圆里,半径扩大４倍,那么直径和周长就都扩大４倍,而面积扩大16倍.

17、两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方.

例如：两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9.

18、当一个圆的半径增加ａ厘米时,它的周长就增加）

（πa 2厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时,它的周长就增加）

（πa 厘米. 19、在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．

20、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小； 当长方形,正方形,圆的面积相等时,长方形的周长最大,圆的周长最小.

21、扇形弧长公式： Ｌ＝2360n n r d ππ⨯⨯ 或 360

扇形的面积公式： S=360n ⨯πｒ² （n 为扇形的圆心角度数,r 为扇形所

在圆的半径）

22、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.

23、有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆.

有2条对称轴的图形是：长方形

有3条对称轴的图形是：等边三角形

有4条对称轴的图形是：正方形

有无数条对称轴的图形是：圆、圆环.

24、直径所在的直线是圆的对称轴.

25、π倍表

二、课本例题

知识点一：圆的认识和用圆规画圆的方法

生活中,圆形的物体随处可见.你能说说自己所见过的圆吗？你能想办法在纸上画一个圆吗？

归纳总结：

1.一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时,它的另一端就会画出一条封闭的曲线,这条封闭的曲线叫圆.

2. 用圆规画圆的方法：

定好两脚间的距离

把带有针尖的脚固定在一点上

把装有铅笔的脚旋转一周,就画出一个圆.

知识点二：圆的各部分名称

1、认识圆心

2、认识半径

3、认识直径

4、认识等圆

5、认识同心圆

知识点三：半径、直径的特征及关系

归纳总结：

1、圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴

2、一个圆有无数条半径,有无数条直径

3、在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径都相等

4、在同圆或等圆中：r d 2=或d r 2

1=

知识点四：圆的对称轴的画法

归纳总结：

1、圆的对称轴的画法：经过圆心画一条直线,使它穿过整个圆,这条直线就是圆的对称轴

2、圆的对称轴通常画成虚线

知识点五：用圆规和直尺设计图案的方法

归纳总结：

1、圆规和直尺的用途:圆规用来画圆或半圆,直尺用来画直的线条或测量长度.

2、用圆规和直尺画圆的步骤和方法：观察图形的特点；用圆规和直尺一步一步地画图；擦去多余的线条并涂色.

知识点六：圆的周长的意义及测量方法

1、圆的周长的意义

2、圆的周长的测量方法：（1）滚动法；（2）绕绳法；（3）直接测量法

归纳总结：

1、围成圆的曲线的长叫圆的周长.

2、测量圆的周长的方法很多,如滚动法、绕绳法、直接测量法等,但这些方法都有一定的局限性,测得的数据也有一定的误差,因此需要寻找一种常规的方法来求圆的周长.

知识点七：圆周率的意义

圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值,这个比值是一个固定的数,用字母π表示.它是一个无线不循环小数,π≈3.1415926535……,但在实际应用中常常只取它的近似值,即π≈3.14

知识点八：圆的周长计算公式

圆的周长公式：πd

C=或πr

C=

2

知识点九：圆的周长计算公式的应用

应用一：已知圆的半径,求圆的周长.

一辆自行车轮子的半径大约是33cm,这辆自行车轮子转一圈,大约可以走多远？（结果保留整米数）小明家离学校1km,轮子大约转了多少圈？

应用二：已知圆的直径,求圆的周长.

一个圆形花坛的直径是20m,它的周长是多少米？

应用三：已知圆的周长,求圆的直径和半径.

一个圆的周长是15.7dm,求它的直径和半径分别是多少

知识点十：圆的面积的意义

归纳总结：

1、圆所占平面的大小叫做圆的面积

2、圆的面积的大小与半径的长短有关

知识点十一：推导圆的面积计算公式

知识点十二：圆的面积计算公式的应用

应用一：已知圆的半径,求圆的面积

一个圆形花坛的半径是3m,它的面积是多少平方米？

应用二：已知圆的直径,求圆的面积

圆形草坪的直径是20m,每平方米草皮8元,铺满草皮需要多少钱？

应用三：已知圆的周长,求圆的面积

一个圆形蓄水池的周长是25.12m,这个蓄水池的占地面积是多少？

知识点十三：圆环的意义及圆环面积的计算方法

1、圆环的认识

2、了解圆环的各部分名称：外圆、内圆、环宽,对称轴

归纳总结：

1、半径不相等的两个同心圆之间的部分叫做圆环,也叫做环形

2、用R 表示外圆半径,用r 表示内圆半径,用S 表示圆环的面积.圆环的面积计算公式是22πr πR S -=或 )r π(R S 22-=

知识点十四：圆环的面积计算公式的应用

应用一：已知外圆半径和内圆半径,求圆环面积

光盘的银色部分是一个圆环,内圆半径是2cm.外圆半径是6cm,圆环的面积是多少？

应用二：已知环宽和内圆半径,求圆环面积

一个环形铁片,内圆半径是6cm,环宽是4cm,求这个环形铁片的面积.

知识点十五：有关“外圆内方”和“内圆外方”的实际问题的解法

中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计.下图中的两个圆半径都是1m,你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？

知识点十六：扇形的意义

1、弧的认识

2、扇形

3、圆心角

4、特殊的扇形

5、扇形面积的计算方法

6、扇形的画法

归纳总结：

1、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.

2、画扇形的方法：

（1）先画一个指定半径的圆,在圆中任意画一条半径

（2）以圆心为顶点,以画好的半径为边画一个指定度数的角,使角的另一条边与圆相交于一点.

这两条半径与指定度数的圆心角所在的弧所围成的图形便是要画的扇形.

三、练习

练习一：求下图中阴影部分的面积.（单位：dm ）

解答：2÷2=1（dm ）

（1×1－4

1×3.14×1²）×4 ＝（1－4

14.3）×4 ＝4－3.14

＝0.86（dm ²）

答：图中阴影部分的面积是0.86dm ².

练习二：一张彩纸长10cm,宽5cm,最多能剪多少个半径是1cm 的圆？（不错位剪） 解答：半径是1cm,直径就是2cm,10÷2＝5（个）,所以长能剪5个圆； 5÷2＝2（个）……1（cm ）,所以宽能剪2个圆,最多能剪10个圆.

解答：6÷2÷2＝1.5（cm）

练习四：已知AB=120m,BC=60m,如右图,从A到C有2 条不同的路

线可以走,请你判断走哪条路线最短.

解答：路线①的长度：

3.14×（120＋60）÷2

＝3.14×180÷2

＝282.6（m）

路线②的长度：

3.14×120÷2＋3.14×60÷2

＝188.4＋94.2

＝282.6（m）

282.6m＝282.6m

答：两条路线一样长.

练习五：直径均为1dm的4根管子被一根金属带仅仅地捆在一起,如右图.试求金属带的长度.

解答：

3.14×1＋1×4

＝3.14＋4

＝7.14（dm）

答：金属带的长度是7.14dm.

练习六：如下图,OA,OB分别为小半圆的直径,且OA=OB=6cm,∠BOA=90°,则阴影

部分的面积是多少平方厘米？

解答：

阴影部分面积＝4

1大圆的面积－三角形AOB 的面积 2

1×6×1×6×14.32 ＝28.26－18

＝10.26（cm ²）

答：阴影部分的面积是10.26cm ².

练习七：求下图中阴影部分的面积.

解答：12×12＝144（㎡）

答：阴影部分的面积是144㎡.

练习八：图中阴影部分的面积是100平方厘米,求圆环的面积.

解答：3.14×100＝314（cm ²）

答：圆环的面积是314cm ².

练习九：如右图,正方形的边长是8cm,求阴影部分的面积.

解答：

方法一：

空白部分面积的一半：8×8－3.14×（8÷2）²

＝－3.14×16

＝13.76（cm ²）

阴影部分的面积：8×8－13.76×2＝36.48（cm ²）

方法二：

[3.14×（8÷2）²×

41×2－（8÷2）²]×4 ＝[3.14×16×

41×2－16]×4 ＝9.12×4

＝36.48（cm ²）

答：阴影部分的面积是36.48cm ².

练习十：在一个面积是5平方厘米的正方形内画一个最大的圆,这个圆的面积是多少？

解答：

观察上图可知,每个小正方形的面积正好等于半径的平方.半径的平方已知,根据圆的面积计算公式即可求出圆的面积.

3.14×（5÷4）＝3.925（cm ²）

答：这个圆的面积是3.925cm ².

练习十一：已知圆的半径是5cm,求右图中扇形的周长（得数保留整数） 解答：弧长：2×3.14×5×

360

140≈12（cm ） 扇形的周长：12＋5×2＝22（cm ）

答：扇形的周长大约是22cm.