初中数学-二次函数4

A、　　　　　　　　　　B、

C、　　　　　　　　　　D、

2、（浙江省2005）根据下列表格的对应值：

A、3＜x＜3.23 　　　　　　  B、3.23＜x＜3.24 

C、3.24＜x＜3.25 　　　　　 D、3.25 ＜x＜3.26  

※3、（浙江省2005）如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．

 (1) 当t＝时，求直线DE的函数表达式；

(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

(3) 当OD2＋DE 2的算术平方根取最小值时，

求点E的坐标．

解：(1)易知△CDO∽△BED，

所以，即，得BE=，则点E

的坐标为E(1，)．

设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D(，1)和E(1，)，代入y=kx+b得，，故所求直线DE的函数表达式为y=．

　　　　(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分)

 (2) 存在S的最大值．求最大值：易知△COD∽△BDE，所以，即，BE=t－t2， ×1×(1＋t－t2)．故当t=时，S有最大值． 

　　　(3) 在Rt△OED中，OD2＋DE 2＝OE2，OD2＋DE 2的算术平方根取最小值，也就是斜边OE取最小值．当斜边OE取最小值且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，于是△OEA的面积达到最小值，此时，梯形COEB的面积达到最大值．由(2)知，当t=时，梯形COEB的面积达到最大值，故所求点E的坐标是

(1，)．

注：(3)小题的另一种解法：＝，猜想当t＝时，取最小值(其值为)．运用计算器可以验证猜想是正确的，此时点E的坐标是(1，)．

※4、（2005年嘉兴）有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B、D两点的距离变大，从而顶起汽车。若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1。设BD=a，AC=h，

（1）当a=40 时，求h 值；

（2）从a=40开始，设螺旋装置顺时针方向旋转x圈，求h关于x的函数解析式；

（3）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高s1，第2圈使“千斤顶”增高s2，试判定s1与s2的大小，并说明理由。若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何？为什么？

解：（1）连AC交BD于O，

∵ABCD为菱形，∴∠AOB=90°，OA=，OB=20       

  在Rt△AOB中，∵AO2+BO2=AB2，

∴                

（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则BC=40-x 

∴   

（3）结论：s1>s2 .在中，

令x=0得，

令x=1得，；

令x=2得，

∴    也可以如下比较s1  、s2的大小：

∵

=   

=

而79>77，   若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s1>s2仍成立。

∵，

  而   

5、（2005泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.

（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论. 

（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围. 

（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由. 

（1）BE=AD 

    证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形

∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD 

∴∠BCE=∠ACD  ∴△BCE≌△ACD 

    ∴ BE=AD 

（也可用旋转方法证明BE=AD）

（2）    如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60°

    ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ

    ∴QT=QC=x

    ∴ RT=3－x  

∵∠RTS＋∠R=90°    ∴∠RST=90°

∴y=×32 －(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3) 

（不证明∠RST=90°扣2分，不写自变量取值范围扣1分）

（3）C′N·E′M的值不变 

证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°

    ∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ 

    ∵∠E′=∠C′   ∴△E′MC∽△C′CN

    ∴  ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=

6、（2005泰州）右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．

（1）求抛物线的解析式.（6分）

（2）求两盏景观灯之间的水平距离.（4分）

解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）…2分

设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5  

    把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－ 

∴y=－(x－5)2＋5（0≤x≤10）

（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4 

    ∴4=－(x－5)2＋5  ∴ (x－5)2=1 ∴x1=  x2= 

∴ 两景观灯间的距离为5米． 

7、（2005泰州）一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为s =10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为C

A．72 m     B．36 m     C．36 m     D．18 m

8、（2005年青岛模拟） 第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作轴，垂足为B，连AO，已知的面积为4。（1）求反比例函数的解析式；

 （2）若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于P，且与相似，求所有符合条件的点P的坐标。

 （3）在（2）的条件下，过点P、O、A的抛物线是否可由抛物线平移得到？若是，请说明由抛物线如何平移得到；若不是，请说明理由。

 解：（1）设反比例函数的解析式为，点A的坐标为（x，y）

    （2）由题意得A（2，4），B（2，0）

    点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）

    与相似有两种情况：

      当时

    有P（4，0）

      当时，有

    即    

    （10，0）或P（-6，0）

    符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（-6，0）

    （3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下

    不能由的图象平移得到

    当点P坐标是（-6，0）时，设抛物线解析式为

   抛物线过点A（2，4）

    该抛物线可以由向左平移3个单位，向下平移个单位平移得到

9、（2005年青岛） 如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0 （1）求面积S与时间t的关系式；

 （2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。

       解：（1）过点P作

            ……8分

10、(2005年河南省)已知一个二次函数的图象进如图所示的三个点。

   （1）求抛物线的对称轴；

   （2）平行于轴的直线的解析式为，抛物线与轴交于、两点，在抛物线的对称轴上找点，使的长等于直线与轴间的距离。求点的坐标。

11、（湖州市2005）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。

    （1）填空：0C=________，k=________；

    （2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。

12、（湖州市2005）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中正确的判断是（   D  ）

    A、①②③④    B、④    

    C、①②③    D、①④

※13、(2005年潍坊)抛物线交轴于、两点，

交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、

两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说

明理由；

（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，

若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．

解：（1）将代入，

得 ．

将，代入，

得 ．……….(1)

∵是对称轴，

∴．          (2)将（2）代入（1）得

，    ．

所以，二次函数得解析式是． 

（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．

∵点的坐标为，点的坐标为，

∴ 直线的解析式是，

又对称轴为，

∴ 点的坐标．      

（3）设、，所求圆的半径为r，

则 ，

     ∵ 对称轴为，

∴  ．        

由（1）、（2）得：． 

将代入解析式，

得  ，

整理得： ．由于 r=±y，

当时，，

解得， ，  （舍去），

当时，，

解得，  ，  （舍去）．

所以圆的半径是或． 

14、(2005年潍坊)某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产件，每件利润元，每提高一个档次，利润每件增加元．

（1）每件利润为元时，此产品质量在第几档次？

（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少件．若生产第档的产品一天的总利润为元（其中为正整数，且≤≤）,求出关于的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为元，该工厂生产的是第几档次的产品？

解：（1）每件利润是16元时，此产品的质量档次是在第四档次．（2）设生产产品的质量档次是在第档次时，一天的利润是（元），

        根据题意得：

            整理得：      

当利润是1080时，即

解得： （不符合题意，舍去）

15、(2005年潍坊)某电视台在每天晚上的黄金时段的3分钟内插播长度为20秒和40秒的两种广告，20秒广告每次收费6000元，40秒广告每次收费10000元．若要求每种广告播放不少于2次，且电视台选择收益最大的播放方式，则在这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是50000_________元．

16、(2005年吉林)如图①，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。抛物线y=ax2经过A、O、D三点，图②和图③是把一些这样的小正方形及其内部抛物线部分经过拼组得到的。

  (1)求a的值；

  (2)求图②中矩形EFGH的面积；

  (3)求图③中正方形PQRS的面积。

16、(2005年吉林)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(―l，0)。点C(0，5)，D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。

  (1)求抛物线的解析式；

  (2)求△MCB的面积。

17、(2005年南通)已知抛物线的部分图象如图所示，若y＜0，则x的

取值范围是B

A．－1＜x＜4              B．－1＜x＜3  

C．x＜－1或 x＞4          D．x＜－1或 x＞3

※18、(徐州2005)有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.

(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________.

(2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；

 (3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).

19、(徐州2005)如果反比例函数的图象如图4所示，那么二次函数y = kx2－k2x－1的图象大致为(     B )

20、(2005黑龙江)已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1，2)与(-l，4)，则a+c的值是  3      ；

21、（江西省2005）已知抛物线与轴的交点为A、B（B在A的右边），与轴的交点为C.

(1)写出时与抛物线有关的三个正确结论;

(2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形?若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；

（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）.

22、（2005年杭州）用列表法画二次函数图象时先列一个表，当表中对自变量的值以相等间隔的值增加时，函数所对应的值依次为：20,56,110,182,274,380,506,650。其中有一个值不正确，这个不正确的值是（　C　　）

（A）506　　（B）380　　　（C）274　　　（D）182