线路逐桩坐标计算原理

高等级公路、铁路的测设通常要用全站仪应用极坐标法测设中线，利用极坐标法测设中线就必须知道线路中线的点位坐标。下面就有关计算原理进行说明。

直线段逐桩坐标计算原理

直线是线路中最基本的线形。直线以最短的距离连接两目的地，具有线路短捷，汽车行车方向明确，驾驶操作简单，视距良好等特点，同时直线线形简单也容易计算。其计算方法和导线类似，知道一个已知点坐标，直线的方位角和距离（即历程差）就能计算未知点里程桩坐标。

如图2-1，例如已知直线A点坐标和直线方位角以及直线AB之间的距离推算B点坐标：

图2-1直线线路

                   （2-1）

圆曲线逐桩坐标计算原理

铁路与公路线路的平面通常由直线和曲线构成，这是因为在线路的定线中，由于受地形、地物或其他因素,需要改变方向。在改变方向处，相邻两直线间要求用曲线连结起来,以保证行车顺畅安全。这种曲线称平面曲线。

由于受地形等条件，路线总是不断从一个方向转到另一个方向。这时为了工程能 安全运营，必须用曲线来连接。其中，圆曲线是最基本线路曲线之一，它是有一定曲率的圆弧。下面介绍圆曲线的理论计算。

如图2-2所示，直线与圆曲线的连接点称为直圆点（ZY）；圆曲线的中点称为曲线中点（QZ）；圆曲线与直线的连接点称为圆直点（YZ）。圆曲线要素有线路转向角，圆曲线半径R，圆曲线长L，外矢距E及切曲差。其中转向角（单位：度、分、秒）和半径R是已知数据，其余要素如切线长T，曲线长L, 外矢距E, 切曲差可以按下列关系式计算得出：

图2-2圆曲线

                          （2-2）

1)曲线要素计算

由交点里程、切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程：

ZY里程 = JD里程 - 切线长T

QZ里程 = ZH里程 + L/2

YZ里程 = ZY里程 + 曲线长L

2) ZY点与YZ点坐标计算

由已知条件和计算出的曲线要素用极坐标法求出ZY和YZ点坐标。

① ZY点坐标计算：

                 （2-3）

② YZ点坐标计算：

                 （2-4）

3) 圆心O点坐标计算

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1； 

           （2-5）

4）计算全曲线上任意未知里程点

里程差：

里程差所对应的圆心角：

计算点坐标：

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1； 

              （2-6）

缓和曲线逐桩坐标计算原理

车辆在圆曲线上行驶会产生离心力，为平衡离心力，可以通过升高道路外侧（称为超高）使车辆倾斜，而车辆在直线上行驶，道路外侧并没有超高。因此，从直线到圆曲线之间插入缓和曲线。缓和曲线的半径由渐变为圆曲线半径R，超高由0渐变为圆曲线设计的超高。缓和曲线可用螺旋线、三次抛物线等空间曲线来设置。我国采用螺旋线作为缓和曲线。

如图2-3所示，直线与缓和曲线的连接点称为直缓点（ZH）；缓和曲线与圆曲线的连接点称为缓圆点（HY）；曲线的中点称为曲中点（QZ）；圆曲线与缓和曲线的连接点称为圆缓点（YH）；缓和曲线与直线的连接点称为缓直点（HZ）。有缓和曲线的圆曲线要素有线路转向角，圆曲线半径R，缓和曲线长度，曲线的切线长T，曲线长L，外矢距E及切曲差q。

图2-3缓和曲线

根据设计文件所给的已知条件计算出缓和曲线要素和逐桩坐标。

设计文件所给已知条件：交点坐标及里程，曲线半径R，缓和曲线长，转向角。

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径，缓和曲线长计算曲线要素。

                （2-7）

由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程：

ZH里程 = JD里程 - 切线长T

HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长

QZ里程 = ZH里程 + 

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L- 缓和曲线长

HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L

图2-4缓和曲线

2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素用极坐标法求出ZH和HZ点坐标。

① ZH点坐标计算：

由的坐标反算的坐标方位角；

                   （2-8）

② 曲线要素、HZ点坐标计算：

由的坐标反算的坐标方位角；

                 （2-9）

坐标反算示例：

假设坐标（2000，2000），坐标（1000，1000）

那么到的坐标方位角为：

              （2-10）

3) 未知里程点在ZH-HY上的坐标，方位角的计算：

图2-

5缓和曲线段

                   （2-11）

为过点做直线的垂线距离，为ZH到直线所对应的垂足的距离。

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-1”； 

求点坐标：

           （2-12）

计算点切线方位角：

4）未知里程点在HY-YH圆曲线上的坐标，方位角计算：

图2-6圆曲线段

如图1-3，为ZH到C点的距离；为到点的距离；为ZH到点的距离；为到点的距离；的角度值等于角的角度值。所以依据图2-7可知：

 图2-7圆曲线段

                     （2-13）

为过点做直线的垂线距离，为ZH到直线所对应的垂足的距离。

注：曲线右偏时取“+”；曲线左偏时取“-”。

求点坐标：

             （2- 14）

   求点切线方位角：

             （2-15）

5）未知里程点在YH-HZ缓和曲线上的坐标，方位角的计算：

图2-8缓和曲线段

由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，曲线右偏时取“-”；曲线左偏时取“+”；

                 （2-16）

计算点坐标方位角：

                                           （2-17）

缓和曲线线路逐桩坐标计算实例

在线路计算中一缓和曲线最为典型，下面叙述一下其逐桩坐标计算实例：

例：已知，,转向角。线路为左偏，交点坐标JD（1000，1000）交点里程，求曲线的逐桩坐标及方位角。

由题意可画出曲线的草图2-9：

图2-9缓和曲线

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径，缓和曲线长计算曲线要素。

T——切线长；

L——曲线长(包括圆曲线长及两倍缓和曲线长)；

                 （2-18）

由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程：

ZH里程 = JD里程 - 切线长T = 974.883

HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长= 1104.883

QZ里程 = ZH里程 +  = 1110.860

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L - 缓和曲线长= 1116.837

HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L = 1246.837

2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素用极坐标法求出ZH和HZ点坐标。

① ZH点坐标计算：

由的坐标反算的坐标方位角；

            （2-19）

② 曲线要素点坐标计算：

由的坐标反算的坐标方位角；

           （2-20）

3) 计算点在ZH—HY上的坐标，方位角：

假设点的里程为1000.000则：

  （2-21）

因为本例是左偏，所以点坐标：

                          （2-22）

计算点切线方位角：

4）计算点在HY—YH圆曲线上的坐标，方位角 ：

假设点里程为1110.000m则：

                                     （2-23）

因为曲线为左偏所以点坐标：

                        （2-24）

  求点切线方位角：

                          （2-25）

5）计算点在YH—HZ缓和曲线上的坐标，方位角

  由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，可以看成是曲线右偏。计算方法如下：

首先计算出HZ到JD的坐标方位角

                           （2-26）

假设点的里程为1230.000，则：

     （2-27）

点坐标为：

                       （2-28）

计算点坐标方位角：

                               （2-29）

卵形曲线点位坐标理论计算原理

如图2-10所示，此曲线是用一个回旋曲线连接两个同向圆曲线的线型，称之为卵型曲线。为了只用一个回旋曲线连成卵型，要求圆曲线延长后，大的圆曲线能完全包着小的圆曲线，并且两个，圆曲线不同圆心。回旋曲线不能从原点开始使用，只能使用曲率半径为R1—R2这一段曲线。通过仔细观察卵形曲线图我们会发现关键在于计算出YH1-YH2段的坐标，即求出此段未显示出的缓和曲线段和′起点ZH′然后再按计算缓和曲线方法计算。下面叙述如何计算YH1-YH2段坐标，如图2-10：

图2-10卵形曲线

如图2-11，Y1H—HY2这段缓和曲线不完整，需要找到这段缓和曲线的起点ZH′即求

以曲线右偏且（R1 >R2）为例，设YH点半径为r1，HY2点半径为r2。注：(r1>r2)

由缓和曲线特性知：

图2-11卵形曲线段

求ZH′的切线方位角：

由图2-11 知圆缓点（YH）的切线与ZH′切线的交角为：

求ZH′点的坐标：

求YH点在坐标系下的坐标：

           （2-30）

求ZH′到YH点的距离及与ZH′切线间的夹角：

                   （2-31）

求YH→ZH′的方位角：

求ZH′点的坐标：

                （2-32）

卵形曲线上点的坐标：

求P点在坐标系下的坐标：

                     （2-33）

利用转轴公式求点在线路坐标系下的坐标：

坐标系下的坐标：

              （2-34）

YH点切线方位角的计算：

已知YH、HY点在下坐标：

              （2-35）

            （2-36）

坐标反算求YH→HY2点在线路坐标系和坐标系下的方位角

求HY切线与坐标系下的方位角：

求线路坐标系X轴与坐标系x轴夹角：

求YH点切线在线路坐标系下方位角：

               （2-37）