2018年成人高考专升本《高等数学(二)》试题及参(共三套)_百 ...

高等数学（二）

（模拟试题）

答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

（共三套及参）

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．当x→2时，下列函数中不是无穷小量的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

2．

A．-3

B．一1

C．0 

D．不存在

3．

A．

B．

C．

D．

4．

A．

B．

C．

D．

5．

A．0

B．2x3

C．6x2 

D．3x2

6．设ƒ(x)的一个原函数为Inx，则ƒ(x)等于（　　）．

A．

B．

C．

D．

7．

A．y=x+1

B．y=x-1

C．

D．

8．

A．0

B．e一1

C．2(e-1)

D．

9．

A.y4cos(xy2)

B.- y4cos(xy2)

C.y4sin(xy2)

D.- y4sin(xy2)

10．设100件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是（　　）．

A．“5件都是正品”

B．“5件都是次品”

C．“至少有1件是次品”

D．“至少有1件是正品”

第Ⅱ部分（非选择题，共110分）

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．

11．

12．

13．

14．

15．

16．

17．

18．

19．

20．

三、解答题：21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．

22．

23．

24．

25．(本题满分8分)设事件A与B相互，且P(A)=0．6，P(B)=0．7，求P(A+B).

26．

27．

28．(本题满分10分)求由曲线y=2-x2，)，=2x-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

模拟试题参

一、选择题

1．【答案】  应选C．

2．【答案】  应选D．

【解析】  本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算．分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后，再进行判定．

3．【答案】  应选A．

【提示】  本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式．只需注意e3是常数即可．

4．【答案】  应选D．

5．【答案】  应选C．

【解析】  本题考查的知识点是函数在任意一点x的导数定义．注意导数定义的结构式为

6．【答案】应选A．

【提示】  本题考查的知识点是原函数的概念，因此有所以选A．

7．【答案】  应选B．

【解析】  本题考查的知识点是：函数y=ƒ(x)在点(x，ƒ(x))处导数的几何意义是表示该函数对应曲线过点(x,ƒ(x)))的切线的斜率．由

可知，切线过点(1，0)，则切线方程为y=x-1，所以选B．

8．【答案】  应选C．

【解析】  本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算．

注意到被积函数是偶函数的特性，可知

所以选C．

  9．【答案】  应选D．

  【提示】  z对x求偏导时应将y视为常数，则有

所以选D．

10．【答案】  应选B．

【解析】  本题考查的知识点是不可能事件的概念．不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件．由于只有4件次品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以选B．

二、填空题

11．【答案】  应填2．

12．

13．【答案】应填一2sin 2x．

【提示】  用复合函数求导公式计算即可．

14．【答案】应填4．

15．【答案】  应填1．

16．

【提示】  凑微分后用积分公式．

17．【答案】  应填2In 2．

【解析】  本题考查的知识点是定积分的换元积分法．换元时，积分的上、下限一定要一起换．

18．

19．【答案】

20．【答案】  应填0．

【解析】  本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法．

三、解答题

21．

【解析】

型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解．

解法１

解法2洛必达法则．

22．本题考查的知识点是函数乘积的导数计算．

23．本题考查的知识点是凑微分积分法．

24．本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法．

【解析】  本题的关键是用凑微分法将ƒ(x)dx写成udυ的形式，然后再分部积分．

25．本题考查事件相互的概念及加法公式．

【解析】  若事件A与B相互，则P(AB)=P(A)P(B)．

P(A+B)=P(A)+P(B)-p(AB)=P(A)+P(B)-p(A)P(日)=0．6+0．7-0．6×0．7=0．88．

26．本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式．编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力．

【解析】  (1)

(2)因为

由上面三式解得α=2，b=-9，c=12．

27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．

利用公式法求导的关键是需构造辅助函数

然后将等式两边分别对x(或y或z)求导．读者一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．

求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出出，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握．

解法1等式两边对x求导得

解法2

解法3

28．本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算．

【解析】  本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S．求面积的关键是确定对x积分还是对Y积分．

确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．

确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示．本题如改为对y积分，则有

计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．

在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是戈轴还是y轴．

由于本题在x轴下面的图形绕x轴旋转成的体积与x轴上面的图形绕x轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算x轴上面的图形绕戈轴旋转的旋转体体积即可．如果将旋转体的体积写成

上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意．

解  由已知曲线画出平面图形为如图2—1—2所示的阴影区域．

2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（二）

答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．

A．10/3

B．5/3 

C．1/3

D．2/15

2．

A．-2

B．2

C．4 

D．5

3．

A．

B．

C．

D．

4．设ƒ(x)具有任意阶导数，且，ƒˊ(x)=2f(x)，则ƒ″ˊ(x)等于（　　）．

A．2ƒ(x)

B．4ƒ(x)

C．8ƒ(x)

D．12ƒ(x)

5．已知ƒ(x)=aretanx2，则ƒˊ(1)等于（　　）．

A．一1

B．0

C．1

D．2

6．设函数y=f(x)的导函数yˊ= ƒˊ(x)的图像如图2-4—1所示，则下列结论肯定正确的是（　　）．

A．x=-1是驻点，但不是极值点

B．名=-1不是驻点

C．x=-1为极小值点

D．x=-1为极大值点

7．下列定积分的值等于0的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

8．

A．

B．

C．

D．

9．

A．0

B．

C．

D．

10．

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ部分（非选择题，共110分）

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．

11．

12．

13．设y=arCCOSx，则yˊ__________ ．

14．

15．

16．若ƒˊ(x)=sin x+x+1，则ƒ(x)__________．

17．已知ƒˊ(sinx)=cos2x，则ƒ(x)__________．

18．

19．二元函数ƒ(x，y)=2+y2+xy+x+y的驻点是__________．

20．五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率P=__________．

三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．

22．

23．

24．

25．(本题满分8分)袋中有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中一次任取两个球，试求：取出的两个球上的数字之和大于8的概率．

26．

27．(本题满分10分)求曲线y2=x及直线x=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图

形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

28．

模拟试题参

一、选择题

1．【答案】应选A．

2．【答案】应选B．

【解析】本题考查的知识点是分段函数的极限计算．

分段函数求极限一定要注意不同区问的函数表达式．

3．【答案】应选D．

【解析】本题考查的知识点是复合函数的求导公式．

根据复合函数求导公式，可知D正确．

需要注意的是：选项A错误的原因是ƒ是x的复合函数，所以必须通过对中间变量求导后才能对x求导．

4．【答案】应选C．

5．【答案】应选C．

【解析】先求出ƒˊ(x)，再将x=1代人．

6．【答案】应选C．

【解析】本题主要考查极值的充分条件及驻点的概念．由ƒˊ(x)的图像可知，在x=-1时，ƒˊ(-1)=0，所以X=-1为驻点，排除B．而当x<-1时，ƒˊ(x)<0；x>-1时，ƒˊ(x)>0．根据导数符号由负变正，可知x=-1为函数的极小值点，所以选C．

对于这种由函数导数的图像来分析和研究函数特性的方法，建议考生多做练习，熟练掌握．

如果本题换一种提法则可以得到另外两个选择题．

(1)设函数y=f(x)的导函数yˊ= ƒˊ(x)的图像如图2-4-1所示，则函数y= ƒ(x)的单调递增区间为

A．

B．

C．

D．

(C)

(2)设函数y= ƒ(x)的导函数yˊ=ƒˊ(x)的图像如图2-4-1所示，则下列结论肯定正确的是

A．

B．

C．

D．

(B)

7．【答案】应选A．

【解析】本题考查的知识点是奇函数在对称区间上的定积分等于零．

8．【答案】应选D．

【解析】本题考查的知识点是不定积分的凑微分计算法．

9．【答案】应选C．

【解析】本题考查的知识点是定积分的换元积分法．

如果审题不认真，很容易选A或B．由于函数ƒ(x)的奇偶性不知道，所以选A或B都是错误的．

10．【答案】应选B．

【解析】本题考查的知识点是二元复合函数的偏导数的计算．

二、填空题

11．【答案】应填一4．

12．

【解析】  本题考查的知识点是导数的概念、复合函数导数的求法及函数在某点导数值的求法．

本题的关键之处是函数在某点的导数定义，由于导数的定义是高等数学中最基本、最重要的概念之一，所以也是历年试题中的重点之一，正确掌握导数定义的结构式是非常必要的．函数y=ƒ(x)在点x0处导数定义的结构式为

13．

【提示】  用求导公式计算即可得答案．

14．【答案】应填(2，1)．

【解析】  本题考查的知识点是拐点的定义及求法．

15．【答案】应填0．

【解析】  本题考查的知识点是函数在一点间断的概念．

16．

【解析】  本题考查的知识点是不定积分公式．

17．

【解析】  本题考查的知识点是导数的概念及积分变量的概念．

求解本题的关键是正确理解ƒˊ(sinx)的概念．

18．【答案】  应填4．

【解析】  本题考查的知识点是变上限定积分的求导．首先应用变上限的导数求出ƒ(x)，然后求出ƒ(2)的值．对x求导得ƒ(x)=2x，即ƒ(2)=4．

19．【答案】应填x=-1/3，y=-1/3．

【解析】  本题考查的知识点是多元函数驻点的概念和求法．

20．【答案】应填2/5．

三、解答题

21．本题考查的知识点是函数在点x0处连续的充要条件f(x0-0)=f(x0+O)=f(x0)．

22．本题考查的知识点是隐函数的求导．

【解析】  隐函数求导的常用方法是直接求导法和公式法，建议考生能熟练掌握．对于微分运算比较熟悉的考生来说，微分法也是一种十分简捷而有效的办法．

解法1等式两边对x求导，得

解法2等式两边对x求微分：

解法3用隐函数求偏导的公式．

23．本题考查的知识点是分部积分法．

24．本题考查的知识点是分段函数的定积分计算方法及用换元法去根号计算定积分．分段函数在不同区间内的函数表达式是不同的，应按不同区间内的表达式计算．

25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．

【解析】  古典概型的概率计算，其关键是计算：基本事件总数及有利于所求事件的基本事件数．

解设A={两个球上的数字之和大于8}．

基本事件总数为：6个球中一次取两个的不同取法为C26；有利于A的基本事件数为：

26．本题考查的知识点是利用导数求解实际问题的最值．

【解析】  这类题目的关键是根据题意列出函数关系式并正确求出yˊ和y″(如果需要求y″时)．如果yˊ与y″算错，则所有结果无一正确．

27．本题考查的知识点是利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积．

28．本题考查的知识点是偏导数的计算及复合函数的求导．

2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试

高等数学（二）

答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．下列等式不成立的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

2．函数y=ƒ(x)在点x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的（　　）．

A．必要条件

B．充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分条件，也非必要条件

3．

A.0

B．1/3

C．1/2  

D.3

4．若ƒˊ(x)<0(a0，则在(α，b)内必有（　　）．

A．ƒ(x)>0

B．ƒ(x)<0

C．ƒ(x)=0 

D．ƒ(x)可正可负

5．

A．-2

B．-1

C．1/2

D．1

6．

A．极大值1/2

B．极大值-1/2

C．极小值1/2

D．极小值-1/2

7．设ƒ(x)的一个原函数是xln x，则ƒ(x)的导函数是（　　）．

A．1+1nx

B．-1/x

C．1/x

D．1/x2

8．图2-5—1所示的ƒ(x)在区间[α，b]上连续，则由曲线y=ƒ(x)，直线x=α，x=b及x轴所围成的平面图形的面积s等于（　　）．

A．

B．

C．

D．

9．

A．1/2

B.1

C．3/2

D.2

10．

A．2(x-y)

B．2(x+y)

C．4 

D．2

第Ⅱ部分（非选择题，共110分）

二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．

11．

12．

13．

14．

15．

16．

17．

18．

19．

20．

三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．

22．(本题满分8分)设y=In[COS(2x+1)]，求dy．

23．(本题满分8分)设函数ƒ(x)=x-Inx，求ƒ(x)的单调区间和极值．

24．

25．

26．

27．

模拟试题参

一、选择题

1．【答案】  应选C．

【提示】  利用重要极限Ⅱ的结构式，可知选项C不成立．

2．【答案】  应选C．

【提示】  根据极限存在定理可知选C．

3．【答案】  应选B．

4．【答案】  应选A．

【提示】  利用函数单调的定义．

因为ƒˊ(x)<0(a ƒ(b)>0，故选A．

5．【答案】  应选B．

6．【答案】  应选D．

【解析】  本题主要考查极限的充分条件．

7．【答案】  应选C．

【解析】  根据原函数的定义及导函数的概念，则有

8．【答案】  应选C．

如果分段积分，也可以写成：

9．【答案】  应选B．

【解析】  本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法．

10．【答案】  应选B．

二、填空题

11．【答案】应填1/7．

12．

【解析】  用复合函数求导公式计算．

13．

14．【答案】  应填2xex2．

15．

16．

【懈析】  用凑微分法积分可得答案．

17．【答案】应填1/4．

18．【答案】  应填1．

【解析】  利用反常积分计算，再确定a值．

19．【答案】应填ln|x+1|-ln|x+2|+C．

【解析】  本题考查的知识点是有理分式的积分法．

简单有理函数的积分，经常将其写成一个整式与一个分式之和，或写成两个分式之和(如本题)，再进行积分．

20．【答案】应填0．

【解析】  用对数函数的性质化简得z=ln x+ln y，再求偏导得

三、解答题

21．本题考查的知识点是“∞一∞”型不定式极限的计算．

22．用复合函数求导公式求出yˊ，再写出dy．

所以dy=-2tan(2x+1)dx．

23．本题考查的知识点是利用导数判定函数的单调性并求其极值．

【解析】 函数的定义域为{x|x>O}．

所以当x>1时ƒˊ(x)>0，函数f(x)的单调增加区间为(1，+∞)；当024．本题考查的知识点是分部积分法和原函数的概念．

25．本题考查的知识点有定积分的变量代换和常见的证明方法．

【解析】  注意到等式两边的积分限一样，只是被积函数的变量不一样，所以对等式右端考虑用变量代换t=α+b-x即可得到证明．这里一定要注意积分的上、下限应跟着一起换，而且定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即

请考生注意：如果取α和b为某一定值，本题可以衍生出很多证明题：

(1)

(2)取α=0，b=1，则有：

(i)

(ii)

(3)

这种举一反三的学习方法不仅能开拓考生的思路，而且能极大地提高考生的解题能力．

26．本题主要考查对隐函数偏导数的求解方法和对全微分概念的理解．

【解析】  求隐函数偏导数的方法有以下三种．

解法2直接求微分法．

将等式两边求微分得

解法2显然比解法1简捷，但要求考生对微分运算很熟练．

解法3隐函数求导法．

将等式两边对X求导，此时的z=(X，Y)，则有

27．本题的关键是求出切线与坐标轴的交点．

28．本题考查的知识点是随机变量X的分布列的概念及数学期望的计算．

【解析】  一次取3个球的最大号码只能是3，4，5．当X取3时其样本点数为1(只能是1，2，