江苏省清江中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理 苏教版

高二数学试卷（理科）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地方。

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。

时间：120分钟                满分：160分                     

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．

1．计算：=     ▲     ．（用数字作答）

2．二项式(3x)8的展开式中第7项的二项式系数为     ▲     （用数字作答）

3．在矩阵变换下，点A（2，1）将会转换成       ▲       

4．已知向量，若，则t=     ▲     　．

5．在极坐标系中，圆()的圆心的极坐标为    ▲      ．

6．已知矩阵M=，则M的特征值为    ▲     ． 

7．从1，2，3，4，5，6中选出3个不同的数组成3位数，并将这些三位数由小到大打排 

   列，则第100个数是    ▲     

8．将参数方程化为普通方程，结果为    ▲     

9．已知随机变量X的概率分布如下表所示，且其数学期望E（X）=2，

10．某小组有4名男生，3名女生．若从男，女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻，共有      ▲      种不同的排法？

11．除以8余数是      ▲      

12．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量X,则       ▲       （只需列式，不需计算结果）． 

13．已知直线与直线相交于点，又点，

则      ▲      

14．已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=     ▲     

二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．

15．已知直线的参数方程：（为参数）和曲线C的极坐标方程：。

（1）证明：判定曲线C的形状，并证明直线和C相交；

（2）设直线与C交于A、B两点，P(0,1)，求。

16．在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）组成三位数“abc”，若满足ac的三位数叫做凸数，这样的凸三位数有多少个？

（2）设X为所取3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列及数学期望．

17．在棱长为的正方体中,分别为的中点.

（1）求

（2）求直线与所成角的余弦值;

（3）求二面角的余弦值.

18．已知数列满足，且=10,

求、、；

猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

是否存在常数c，使数列成等差数列？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由。

19． 已知．

（1）求的值；

（2）求展开式中系数最大的项；

（3）求的值．

20．已知二阶矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为。

（1）求矩阵M；

（2）求直线l：y=2x-1在M作用下得到的新的直线l/方程；

（3）已知向量，求

高二期中考试数学（理科）答题纸

一．填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分）.

1．________;2．________;3．____________;4．_______________;5．_____________;

6．________;7．___________;8．______________________;9．_______;10．________;

11．______;12．_____________________________;13．_________;14．____________;

二．解答题：(本大题共6小题，共计90分)．

江苏省清江中学2014—2015学年度第二学期期中考试

高二数学参（理科）

一、填空题: 

1．84；    2． 28；   3．（2，5）；        4．0或2；      5． ； 

6．-1或6；  7．5； 8． (x的范围为x>p，-2≤p≤2均可以)； 

9．1  ；   10． 216； 11． 6  ；  12． ；  13． ；14． 。

二、解答题: 

15．解：（1）曲线C的极坐标方程化为普通方程x2+y2-2x-2y=0即(x-1)2+(y-1)2=2，

所以C是以(1,1)为圆心，半径为的圆………………………………2分

由直线的参数方程消去参数t得直线的普通方程为y=2x+1；………………4分

设圆心到直线的距离为d，则d=,(或用判别式法) ……6分

所以直线与曲线C相交。………………………………………………7分

（2）联立与C的方程得方程组

解得或

即A(,)，B(,)…………………………………10分

所以=(,),=(,)…………………………12分

所以=(,)·(,)= = -1………14分

又解：（用参数方程直接求）将直线参数方程直接代入圆C的普通方程得

t2+(2t+1)2-2t-2(2t+1)=0，化简得：5t2-2t-1=0，所以t1t2=…………………………10分

所以==5t1t2= -1（或者用直线参数方程的标准形式）…………14分

或者：过圆心C作AB的垂线交AB于H，则H平分AB，

所以===

            ====  -1

16．解：（1）从9个自然数中，任取3个不同的数，共有=84种等可能的结果……2分

由条件得最大的在中间，其它两个排两边，有2种排法，……………………4分

所以这样的三位数共有个。…………………………6分

（2）由题意得X的取值范围为0，1，2，3，………………………………7分

P（X=0）=，P（X=1）=，

P（X=2）=，P（X=3）=，

∴随机变量X的分布列为：

 X    0     1     2      3

 P               …………11分 

（算对1个给1分，不列表格或只列表格照样给分）

EX=…………………………………………13分

答：（1）略；（2）略。   ……………………………………………………………14分

17．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.则

, ,,

，…………2分

所以…………4分

（2）所以…………6分

故直线与所成角的余弦值为.…………………… 8分

(如果把向量的夹角当成直线的夹角，扣1分)

（3）平面的一个法向量为………………………9分

 设平面的一个法向量为,

因为, ，所以 

令,则 ,………………………………10分

则  …………………………12分

由图知二面角为锐二面角, 其余弦值为. …………… 14分

(如果把向量的夹角当成二面角的平面角，扣2分)

18．解：（1）∵，将n=1代入已知等式得，

             同法可得， 。         …………………………3分

      （2）∵，，，，

∴由此猜想 。…………………………………………5分

           下面用数学归纳法证明。

       ① 当n=1和2时猜想成立；   

       ②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，即，

        那么，当n=k+1时，因为，

        所以=(k+1)(2k+3)

        这就是说当n=k+1时猜想也成立。因此成立………………9分

      （3）假设存在常数c使数列成等差数列，则有

       ……………………………11分

          把，，代入得 。

         当时，数列即为{2n+1}是公差为2的等差数列；…………13分

         当时，数列即为{2n}是公差为2的等差数列。……………15分

 ∴存在常数使数列成等差数列。  ………………16分

(求出c值后一定要代入检验，说明是等差数列，否则只给2分；

当然也可用定义求解，相应给分)

19．解：（1）

，

则．  …………………… ……………………4分

（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为

，，，

，，

，故展开式中系数最大的项为．    ………………………10分

（3）对两边同时求导得

，………………………12分

令，得， 

所以

20．解：（1）设,则, 

∴     ∴………………………………4分

（2）设P(x0,y0)是l上任意一点，它在M作用下的对应点P/(x/,y/)，则有

即………………………………6分

所以得解得………………………………8分

因为P(x0,y0)在l上，所以y0=2x0-1即化简得：3x/-4y/+3=0

所以所求直线l/的方程为3x-4y+3=0………………………………10分

（3）设特征值=-1时，对应特征向量，=3时，对应特征向量

设即解得解得s=1,t=3, 所以……12分

            …………………………16分

……………16分