一.选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项
1.在数轴上,点所表示的实数为2,点所表示的实数为,的半径为3,若点在外,则的值可能是
A. B.0 C.5 D.6
2.下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的为
A. B.
C. D.
3.在中,,,则的最大面积为
A.32 B.24 C.16 D.12
4.如图,的顶点在网格中,现将绕格点顺时针旋转角,使旋转后所得三角形的顶点也在格点上,则当旋转前后的图形形成轴对称图形时,符合条件的角的度有
A.1个 B.3个 C.6个 D.8个
5.如图,将线段绕点顺时针旋转得到线段,那么的对应点的坐标是
A. B. C. D.
6.如图,内接于圆,是上一点,将沿翻折,点正好落在圆点处,若,则的度数是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
7.已知的直径是4,直线与相切,则点到直线的距离为 .
8.在平面直角坐标系中,点关于原点对称点的坐标是 .
9.如图,正五边形内接于,是弧的中点,则的度数为 .
10.将正方形绕点顺时针旋转至,若点落在如图所示的正方形的对称轴上,则旋转的角度为 .
11.小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:,请你帮小华算出圆盘的半径是 .
12.已知的半径为2,是的弦,点在上,.若点到直线的距离为1,则的度数为 .
三、(本大题共6小题,每小题3分,共30分)
13.如图,为的内接三角形,为的直径,点在上,,求的度数.
14.如图,在中,,,将绕点按照顺时针方向旋转度后得到,点刚好落在边上,求的值.
15.如图,在中,弦半径,,求的度数.
16.在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为,,.
(1)把平移后,其中点移到点,画出平移后得到的△;
(2)把△绕点按逆时针方向旋转,画出旋转后的△.
17.如图,内接于,,是弧的中点,在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出中边上的中线;
(2)在图2中,画出中边上的中线.
18.如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为2,正方形的边长为5,点的坐标为,点的坐标为,与均在轴上.
(1),两点的坐标分别为 , .
(2)将正方形绕点顺时针旋转得到正方形,求点的坐标和的长.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
19.如图,是的直径,,点是的中点,过点的直线与交于、两点.若,求弦的长.
20.如图,已知,垂足为,,,将线段绕点按逆时针方向旋转,得到线段,连接,.
(1)线段 ;
(2)求线段的长度.
21.如图1是荡秋千的图片,起始状态下秋千顶点与座板的距离为(此时垂直于地面)如图2,现一人荡秋千时,座板到达点不弯曲)
(1)当时,求弧线的长度(保留
(2)当从点荡至点,且与地面平行,时,若点离地面,求点到地面的距离(保留根号).
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
22.如图,是半圆的直径,点圆外一点,垂直于弦,垂足为点,交于点,连接,.
(1)判断与的位置关系,并证明你的结论;
(2)是否存在平分的情況?如果存在,求此时的度数;如果不存在,说明理由.
23.(1)如图1,点是正方形内的一点,把绕点顺时针方向旋转,使点与点重合,点的对应点是.若,,,求的度数.
(2)点是等边三角形内的一点,若,,,求的度数.
六、(本大题共12分)
24.如图,,线段在射线上运动,.
(1)如图1,已知,,,点在内.
①求证:以点为圆心,的半径的圆与射线相切(切点记为点;
②的大小为 .
(2)如图2,若射线上存在点,使得度,试利用图2,求,两点之间距离的取值范围.
2019-2020学年江西省南昌市九年级(上)期中数学试卷
参与试题解析
一.选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项
1.在数轴上,点所表示的实数为2,点所表示的实数为,的半径为3,若点在外,则的值可能是
A. B.0 C.5 D.6
【解答】解:由题意,观察图形可知,,
故选:.
2.下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的为
A. B.
C. D.
【解答】解:、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;
、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意.
故选:.
3.在中,,,则的最大面积为
A.32 B.24 C.16 D.12
【解答】解:在中,,
是的直径,
设边上的高为,
,
当最大时,的面积最大,
当时,三角形的面积最大,
的最大面积为,
故选:.
4.如图,的顶点在网格中,现将绕格点顺时针旋转角,使旋转后所得三角形的顶点也在格点上,则当旋转前后的图形形成轴对称图形时,符合条件的角的度有
A.1个 B.3个 C.6个 D.8个
【解答】解:观察图象可知,满足条件的的值为或或,
故选:.
5.如图,将线段绕点顺时针旋转得到线段,那么的对应点的坐标是
A. B. C. D.
【解答】解:作轴于点,作轴于点,
则△,
,
,,
,,
点的坐标为,
故选:.
6.如图,内接于圆,是上一点,将沿翻折,点正好落在圆点处,若,则的度数是
A. B. C. D.
【解答】解:连接,如图所示:
由折叠的性质可得:,
,
,
.
故选:.
二、填空题(本大题共6小题,共18分)
7.已知的直径是4,直线与相切,则点到直线的距离为 2 .
【解答】解:的直径是4,
的半径是2,
经过上一点的直线与相切,
点到直线的距离等于圆的半径,是2.
故答案为:2.
8.在平面直角坐标系中,点关于原点对称点的坐标是 .
【解答】解:点关于原点对称的点的坐标是.
故答案为:.
9.如图,正五边形内接于,是弧的中点,则的度数为 .
【解答】解:设圆心为,连接,,,
五边形为正五边形,
,
,
是的中点,
,
故答案为:.
10.将正方形绕点顺时针旋转至,若点落在如图所示的正方形的对称轴上,则旋转的角度为 .
【解答】解:如图,
由题意,在中,,
,
,
,
,
旋转的角度为.
故答案为.
11.小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:,请你帮小华算出圆盘的半径是 10 .
【解答】解:如图,
记圆的圆心为,连接,交于,
,,
由图知,,,
,设圆的半径为,则,,
在中,根据勾股定理得,,
,
,
故答案为10.
12.已知的半径为2,是的弦,点在上,.若点到直线的距离为1,则的度数为 或或 .
【解答】解:如图作交于交于,过点作直线交于,.
,,,,
,
,
直线与直线之间的结论距离为1,
,,是满足条件的点,
,
,可得,,,
,,
,
故答案为:或或.
三、(本大题共6小题,每小题3分,共30分)
13.如图,为的内接三角形,为的直径,点在上,,求的度数.
【解答】解:为的直径,
,
14.如图,在中,,,将绕点按照顺时针方向旋转度后得到,点刚好落在边上,求的值.
【解答】解:,,
;;
由题意得:,
为等边三角形,
,
.
15.如图,在中,弦半径,,求的度数.
【解答】解:,,
,
,
,
,
.
16.在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为,,.
(1)把平移后,其中点移到点,画出平移后得到的△;
(2)把△绕点按逆时针方向旋转,画出旋转后的△.
【解答】解:(1)如图,△即为所求;
(2)如图,△即为所求.
17.如图,内接于,,是弧的中点,在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中,画出中边上的中线;
(2)在图2中,画出中边上的中线.
【解答】解:(1)如图1所示,即为所求;
(2)如图2所示,即为所求.
18.如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为2,正方形的边长为5,点的坐标为,点的坐标为,与均在轴上.
(1),两点的坐标分别为 , .
(2)将正方形绕点顺时针旋转得到正方形,求点的坐标和的长.
【解答】解:(1)正方形的边长为2,正方形的边长为5,点的坐标为,点的坐标为,
点,,点,,
点坐标,点
故答案为:,;
(2)如图,将正方形绕点顺时针旋转得到正方形,此时点与点重合,
点,
,,
.
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
19.如图,是的直径,,点是的中点,过点的直线与交于、两点.若,求弦的长.
【解答】解:连接,作于,如图所示:
则,
是的直径,,点是的中点,
,,
,
是等腰直角三角形,
,
在中,由勾股定理得:,
.
20.如图,已知,垂足为,,,将线段绕点按逆时针方向旋转,得到线段,连接,.
(1)线段 4 ;
(2)求线段的长度.
【解答】解:(1),,
是等边三角形,
.
故答案是:4;
(2)作于点.
是等边三角形,
,
又,
,
中,,
,
.
中,.
21.如图1是荡秋千的图片,起始状态下秋千顶点与座板的距离为(此时垂直于地面)如图2,现一人荡秋千时,座板到达点不弯曲)
(1)当时,求弧线的长度(保留
(2)当从点荡至点,且与地面平行,时,若点离地面,求点到地面的距离(保留根号).
【解答】解:(1)弧线的长度;
(2),,
,
在中,,
,
点到地面的距离,
答:点到地面的距离为.
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
22.如图,是半圆的直径,点圆外一点,垂直于弦,垂足为点,交于点,连接,.
(1)判断与的位置关系,并证明你的结论;
(2)是否存在平分的情況?如果存在,求此时的度数;如果不存在,说明理由.
【解答】解:(1)与相切.
理由:,
.
又,
.
,
与相切.
(2)存在.,
,
,,
,
,
,
.
23.(1)如图1,点是正方形内的一点,把绕点顺时针方向旋转,使点与点重合,点的对应点是.若,,,求的度数.
(2)点是等边三角形内的一点,若,,,求的度数.
【解答】解:(1)连接.
由旋转可知:,.
又是正方形,
绕点顺时针方向旋转了,才使点与重合,
即,
,.
则在中,,,,
.
即.
故.
(2)将此时点的对应点是点.
由旋转知,△,即,,.
又是正三角形,
绕点顺时针方向旋转,才使点与重合,
得,
又,
也是正三角形,即,.
因此,在△中,,,,
.
即.
故.
六、(本大题共12分)
24.如图,,线段在射线上运动,.
(1)如图1,已知,,,点在内.
①求证:以点为圆心,的半径的圆与射线相切(切点记为点;
②的大小为 .
(2)如图2,若射线上存在点,使得度,试利用图2,求,两点之间距离的取值范围.
【解答】(1)①证明:如图1中,作于,于.
,,
,,
,
,,
四边形是平行四边形,
,
四边形是矩形,
,,,
,
,
四边形是正方形,
,
是的切线.
②解:如图2中,连接.
由①可知四边形是正方形,
,
,
,
,,共线,
.
(2)解:如图3中,以为边向上作等边,以为圆心为半径作,当与射线有交点时,射线上存在点,使得.
当与射线相切于点时,作交于,作于,则四边形是矩形,
,
,,
,
,
是等边三角形,,
,,
,
,
,
,
,
观察图形可知,满足条件的的取值范围为:.