无穷级数习题及解答w

1．判别下列级数的敛散性：

2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？

（1）；  （2）；  （3）。

3．求幂级数的收敛区间。

4．证明级数当时绝对收敛，当时发散。

5．在区间内求幂级数  的和函数

6．求级数的和。

7．把展开成  的幂级数，并求级数  的和

8．设  （）证明

1）存在； 2）级数收敛。

9．设，

1）求的值；                                              

2）试证：对任意的常数，级数收敛。

10．设正项数列单调减少，且发散，试问是否收敛？并说明理由。

11．已知，计算。

12．计算。

参：

1．解：（1），而收敛，由比较审敛法知收敛。

（2），而发散，

由比较审敛法的极限形式知发散。

（3），

，由比值审敛法知收敛。

（4），

，由根值审敛法知收敛。

2．解：（1）对于级数，

由，知级数绝对收敛，

易知条件收敛，故  条件收敛。

（2），由，知级数收敛，

故绝对收敛。

（3）记，，而发散，故发散，

令，，当时，，故在区间内单调增加，由此可知，又，故收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。

3．解：收敛半径为，

当时，得级数，发散；

当时，得交错级数，收敛。

所求收敛区间为。

4．证：收敛半径，

当时幂级数绝对收敛，当时幂级数发散，

当时，得级数，，，因单调增加，且，故，于是得，由此，故级数发散。

5．解：设（），，

    ，

    ，

     （）。

6．解：设（），则

          ，

其中，  （）。

    设，则，

于是       ，

从而       

                 （）。

因此 。

7．解：  （），

      （），

因在点处连续，而在点处收敛，

从而     （）。

于是  。

8．证：1）因，

，

故是单调减少有下界的数列，所以存在。

2）由（1）知，

记，因存在，故存在，所以收敛，由比较审敛法知收敛。

9．证：1） 因为  

            ，

            ，

所以     。

2） 因为  ，所以  ，

由知收敛，从而收敛。

10．解：级数收敛。

理由：由于正项数列单调减少有下界，故存在，记，则。

若，则由莱布尼兹定理知收敛，与题设矛盾，故。

    因为，由根值审敛法知级数收敛。

11．解：由   （），

得  

。

12．解：由   ，

得       ，

于是     ，

从而   。