5 用导数证明函数不等式的四种常用方法

本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.

例1  证明不等式：.

证明   设，可得欲证结论即，所以只需证明函数是增函数.

而这用导数易证：

所以欲证结论成立.

注  欲证函数不等式(或)，只需证明(或).

设(或)，即证(或).

若，则即证(或).

接下来，若能证得函数是增函数即可，这往往用导数容易解决.

例2  证明不等式：.

证明   设，可得欲证结论即.

显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证的最小值是0，而这用导数易证：

    所以函数在上分别是减函数、增函数，进而可得

所以欲证结论成立.

注  欲证函数不等式是区间)，只需证明.

设，即证，也即证(若不存在，则须求函数的下确界)，而这用导数往往容易解决.

例3  (2014年高考课标全国卷I理科第21题)设函数，曲线在点处的切线为．

(1)求； 

(2)证明：．

解  (1)．

题设即，可求得．

(2)即证，而这用导数可证(请注意)：

设，得．

设，得．

注  i)欲证函数不等式是区间)，只需证明，而这用导数往往可以解决.

欲证函数不等式是区间)，只需证明，或证明且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.

ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：

已知函数．

(1)求函数在上的最小值；

(2)对一切恒成立，求实数的取值范围；

(3)证明：对一切，都有成立．

例4  (2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．

(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．

解  (1)(过程略)L的方程为y＝x－1.

(2)即证(当且仅当时取等号).

设，得g′(x)＝.

当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，得g(x)单调递增．

所以，得欲证结论成立.

(2)的另解  即证(当且仅当时取等号)，也即证(当且仅当时取等号).

设，可得.

进而可得，所以欲证结论成立.

(2)的再解  即证(当且仅当时取等号)，也即证(当且仅当时取等号).

如图1所示，可求得曲线与在公共点(1,0)处的切线是，所以接下来只需证明

(均当且仅当时取等号)

    前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.

图1

例5  (2013年高考新课标全国卷II理21(2)的等价问题)求证：．

分析  用前三种方法都不易解决本问题，下面介绍用导数证明函数不等式的第四种常用方法.

设，我们想办法寻找出一个函数，使得且两个等号不是同时取到.

当然，函数越简洁越好.

但不可能是常数(因为函数的值域是R)，所以我们可尝试能否为一次函数，当然应当考虑切线.

如图2所示，可求得函数在点处的切线是，进而可得；还可求得函数在点处的切线也是，进而可得.

图2

进而可用导数证得且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立.

当然，用例2的方法，也可给出该题的证明(设而不求)：

设，得.

可得是增函数(两个增函数之和是增函数)，且，所以函数存在唯一的零点(得)，再由均值不等式可得

(因为可证)

所以欲证结论成立.

例6  求证：.

证法1  (例5的证法)用导数可证得(当且仅当时取等号)， (当且仅当时取等号)，所以欲证结论成立.

证法2  (例2的证法)设，得.

可得是增函数且，所以函数存在唯一的零点(得)，再由均值不等式可得

(因为可证)

所以欲证结论成立.

注  欲证函数不等式是区间)，只需寻找一个函数(可以考虑曲线是函数的公切线)使得且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决.

下面再给出例5和例6的联系.

    对于两个常用不等式，笔者发现与互为反函数，与也互为反函数，进而得到了本文的几个结论.

定理  已知都是单调函数，它们的反函数分别是.

(1)若是增函数，恒成立，则恒成立；

(2)若是减函数，恒成立，则恒成立；

(3)若是增函数，恒成立，则恒成立；

(4)若是减函数，恒成立，则恒成立.

证明  下面只证明(1),(4)；(2),(3)同理可证.

(1)设不等式中s的取值范围是A，当时，的取值范围分别是，得不等式中t的取值范围是，所以.

由恒成立，得.

由是增函数，得也是增函数，所以，即.

得，即欲证结论成立.

(4)设不等式中s的取值范围是A，当时，的取值范围分别是，得不等式中t的取值范围是，所以.

由恒成立，得.

由是减函数，得也是减函数，所以，即.

得，即欲证结论成立.

推论1  已知都是单调函数，它们的反函数分别是.

(1)若都是增函数，则恒成立恒成立；

(2)若都是减函数，则恒成立恒成立.

证明  (1)由定理(1)知“”成立.下证“”：

因为是增函数，恒成立，的反函数分别是，所以由“”的结论得恒成立，即恒成立.

(2)同(1)可证.

推论2  把定理和推论1中的“”分别改为“”后，得到的结论均成立.

(证法也是把相应结论中的“”分别改为“”.)

在例5与例6这一对姊妹结论“”中与互为反函数，与也互为反函数，所以推论2中的结论“若都是增函数，则恒成立恒成立

”给出了它们的联系.