因式分解教材分析

一、本节内容及地位、作用：

  本节内容是多项式因式分解中一部分较基本的知识和基本的方法.它包括因式分解的有关概念,因式分解的常用基本方法.因式分解在代数学习中具有基础作用.它在代数的恒等变换,分式的通分,约分以及解方程方面都起着重要作用.通过学习,可以培养学生的观察;分析;运算能力.这部分知识对学生后续学习将起到重要的基础作用.

2、教学要求

   1.新教材中的基本要求

    (1)了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系.

(2)会用提公因式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)对多项式进   行因式分解.

   2.中考要求.

(1)会用提公因式法,公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解.(指数是正整数);能用因式分解的知识进行代数式的变形,解决有关问题.

(2)利用十字相乘法分解因式.

   3.教学中的较高要求

针对教材内容,结构,要求的变化,建议可根据学生具体情况再适当补充如下内容:

  * (1)立方和(差)公式;

    (2)简单的分组分解法，以达到对基本方法的综合运用.

三.本节课时安排:3节,可依据实际情况补充2到3节.　

四、本节教学建议：

1.落实好两个基本概念.

(1)对因式分解的定义的理解

在复习巩固整式乘法的基础上,给出因式分解的定义.让学生体会到,因式分解是对一个整式进行恒等的变形,其书写形式与整式乘法恰好相反.

(2)对公因式定义的理解 

      a.类比公因数理解多项式中公因式的概念,它是学习提公因式法分   解因式的关键.

      b.教学时,应让学生认识到,一个多项式中各项都含有的公共的因式,才叫公因式.

      c.公因式找寻的方法可从:系数,相同字母,相同字母的指数最低值入手.

      d.公因式也可以是多项式因式.

        教学中注意对:与;与(为正整数)的认识.

    2.落实好两个基本的因式分解方法.

      (1)提公因式法分解因式.

       a.找准公因式

       b.能理解另一个因式的本质,为原多项式除以公因式所得的商.

例1.(1)把多项式分解因式，结果正确的是（       ）

      (2)下列变形是因式分解的是      (         )

例2.分解下列因式

     (1) 

      (2）

     （3）

     （4）

例3.（1）若，求的值 .

      (2)解方程

说明：借助实例,突出因式分解的意义,注意与多项式乘法相区别,力争防止学生出现进行因式分解过程中又返回去做整式的乘法的现象.

(2)利用平方差公式，完全平方公式法分解因式.

a.理解每个公式的含义,掌握每个公式的形式与特点.

   平方差公式: 

公式特点:

公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;

公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式;

公式右边分解的结果是两个数的和与它们的差的积;

公式中的字母可以表示为数字,单项式,多项式.

    完全平方公式: 

公式特点:

公式左边是一个二次三项式;

此二次三项式为两个数的完全平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍.

右边是这两数的和(或差)的完全平方式.

公式中的字母可以表示为数字,单项式,多项式.

此节是因式分解的核心内容,重点在于掌握公式的特点,牢记公式形式;难点在于灵活运用公式.教学时可以让学生通过较充分的基本类型的练习,记忆与运用公式.

例4.分解下列因式

(1)          (2) 

   （3）      （4）

   （5）

例5.求下列代数式的值

(1)若求的值.

(2)若,求的值.

3.掌握好十字相乘法,及简单的分组分解法

十字相乘法,在后续学习中应用非常广泛.虽然教材中仅在阅读部分出现,但是在教学中可把握好如下几个层次:

   (1)熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.

    (2).基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.

    (3).对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数;实数系数;字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 

对于四项的分组分解,可根据学生情况适当补充.

(1)四项分组分解主要类型有:1,3分组法;2,2分组法.

(2)补充的意义在于对前面基本方法的复习巩固,加深理解,综合运用.

例1.分解下列因式

    1.                4. 

    2.                  5. 

3.                  6. 

7.                  8. 

*9.          *10. 

例2.分解下列因式

    1.              6. 

2.              7. 

3.            8. 

4.              9. 

5.                10. 

例3.分解下列因式

1.           5. 

2.         6. 

3.             7. 

4.            8. 

4.落实好方法的综合运用.

      首先提取公因式，然后考虑用公式；

      两项平方或立方，三项完全或十字

      四项以上想分组，分组分得要合适；

      几种方法反复试，最后须是连乘式。

      因式分解要彻底，一次一次又一次。

5.落实好因式分解中的几点注意.

  首项有负常提负，

  各项有“公”先提“公”，

  某项提出莫漏1，

  括号里面分到“底”。

因式分解的学习,将有利于提高学生的观察能力,记忆能力,概括能力.在教学中掌控好难度,落实好基础.鼓励学生积极思维,努力探索,不断提高思维水平.同时,在教学中也应注意给学生留有一定的活动时间与空间.逐步完成从对数的认识到对式的认识过程.

例4.分解下列因式

1.                 5. 

    2.                      6.                       

3.             7. 

4.        8. 

例5.解答题

1.*已知，求证：.

2.某学校的长方形操场周长为440米,长和宽满足,求操场面积.

3.若是三角形的三边,试比较与的大小

例6.

1.请同学观察: 

写出表示一般规律的等式,根据所总结的规律计算

2. 已知

⑴对于正整数n，写出及

⑵对于正整数n,比较与