高中数学 函数的对称性和周期性知识点精析 新人教B版必修1

1．周期函数的定义

周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得

恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，

则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.

2．函数的轴对称：

定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

定理2：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称. 

定理3：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

定理4：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

定理5：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.

3.函数的点对称：

定理1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

定理3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

定理4：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

定理5：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.

4．函数的对称性与周期性的联系

定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

    定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

    定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

5．几种特殊抽象函数的周期：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,

1，则是以为周期的周期函数；

  ②，则是以为周期的周期函数；

③，则是以为周期的周期函数；

  ④，则是以为周期的周期函数；    

⑤，则是以为周期的周期函数.

⑥，则是以为周期的周期函数.

⑦，则是以为周期的周期函数.

⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，

若为偶函数，则其周期为.

⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法

判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;

 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。