北京2023年高考数学试卷

本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.

已知集合{20},{10}M x

x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）

A .

{21}x

x -≤<∣ B.{21}x x -<≤∣C.{2}x

x ≥-∣ D.{1}x

x <∣

2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（）

A.1+

B.1-

C.1-+

D.

1-

3.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （

）

A.2

- B.1

- C.0 D.1

4.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1

()2x

f x =

C.1()f x x

=-

D.|1|

()3x f x -=5.5

12x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中x 的系数为（）．

A.80

- B.40

- C.40 D.80

6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）

A.7

B.6

C.5

D.4

7.在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）

A.

π6

B.

π3

C.2π3

D.5π6

8.若0xy ≠，则“0x y +=”是“

2y x

x y

+=-”的（）

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若

25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正

切值均为

14

5

，则该五面体的所有棱长之和为（）

A.102m

B.

112m

C.117m

D.125m

10.已知数列{}n a 满足()3

1166(1,2,3,)4

n n a a n +=

-+= ，则（）

A.当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立

B.当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立

C.当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立

D.当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知函数2()4log x

f x x =+，则12f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)

，则C 的方程为____________．

13.已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．

14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．

15.设0a >

，函数2,,(),1,.

x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤⎪>⎪⎩，给出下列四个结论：

①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111

222,,,M x f x x

a N x f x x a ≤>，则||1MN >；

④设()

()()()()()333444

,,,P x f x x

a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤

⎥⎝⎦

．其中所有正确结论的序号是____________．

三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC

，1PA AB BC PC ====

，

（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．

17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛

⎫=+><

⎪⎝

⎭

．（1

）若(0)2

f =-

，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-

⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．

条件①：π3f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

；

条件②：

π13f ⎛⎫

-=- ⎪⎝⎭

；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤

-

-⎢⎥⎣

⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0

+

+

---+

+

+

+

---+

-+

用频率估计概率．

（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；

（2）假设该农产品每天的价格变化是相互的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为

5

3

，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．（1）求E 的方程；

（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．

20.设函数3()e ax b f x x x +=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+．（1）求,a b 的值；

（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．

21.已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，

并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}

max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M

表示数集M 中最大的数.

（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；

（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．

数学

本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】B

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

【11题答案】

【答案】1

【12题答案】

【答案】22

122

x y -=【13题答案】

【答案】①.9π4②.π3

【14题答案】

【答案】①.48②.384

【15题答案】

【答案】②③

三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

【16题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）π3

【17题答案】【答案】（1）π3ϕ=-

.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6

ϕ=-

.【18题答案】

【答案】（1）0.4

（2）0.168

（3）不变

【19题答案】【答案】（1）22

194

x y +=（2）证明见解析

【20题答案】

【答案】（1）1,1

a b =-=（2）答案见解析

（3）3个【21题答案】

【答案】（1）00r =，11r =，22r =，33

r =（2）,n r n n =∈N