2019年福建省福州市中考数学试卷

数    学    试    卷

（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）

友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。

毕业学校                    姓名                     考生号                      

一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1． 5的相反数是

   A． 5           B．5             C．               D．  

【答案】B

2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为

  A．11 104        B．1.1 105        C．1.1 104          D．0.11 106

【答案】B

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是

   A．三棱柱        B．长方体        C．圆柱            D．圆锥

【答案】D

4．下列计算正确的是

   A．x4·x4 x16       B．(a3)2 a5       C．(ab2)3 ab6         D．a 2a 3a

【答案】D

5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是

   A．44              B．45            C．46              D．47

【答案】C

6．下列命题中，假命题是

   A．对顶角相等                       B．三角形两边的和小于第三边

C．菱形的四条边都相等               D．多边形的外角和等于360 

【答案】B

7．若(m 1)2       0，则m n的值是

   A． 1              B．0              C．1               D．2     

【答案】A

8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是

   A．                        B． 

C．                        D． 

【答案】A

9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为

   A．45               B．55            C．60             D．75 

【答案】C

10．如图，已知直线y  x 2分别与x轴， y轴交于A，B两点，与双曲线y 交于E，F两点，若AB 2EF，则k的值是 

   A． 1     B．1      C．       D． 

【答案】D

二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）

11．分解因式：ma mb              .

【答案】m(a b)

12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是           .

【答案】 

13．计算：（ 1）（ 1）             .

【答案】1

14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD 6，BE 2，则□ABCD的周长是       .

【答案】20

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90 ，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF BC .若AB 10，则EF的长是           .

【答案】5

三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

16．（每小题7分，共14分）

（1）计算： 0  | 1|.

【答案】解：原式 3 1 1 5.

（2）先化简，再求值：(x 2)2 x(2 x)，其中x . 

【答案】解：原式 x2 4x 4 2x x2

             6x 4.

            当x 时，

            原式 6  4 6.

17．（每小题7分，共14分）

（1）如图，点E，F在BC上，BE CF，AB DC，∠B ∠C.求证：∠A ∠D.

【答案】证明：∵BE CF，

        ∴BE EF CF EF

        即BF CE.

        又∵AB DC，∠B ∠C，

        ∴△ABF≌△DCE.

∴∠A ∠E.

（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.

     ①sinB的值是             ；

     ②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.

  【答案】①；

   ②如图所示.

   由轴对称的性质可得，AA1 2，BB1 8，高是4.

   ∴  (AA1 BB1) 4 20.

18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：

   （1）在这次调查中，一共抽取了          名学生，a         %；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为            度；

（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？

【答案】解：（1）50，24；

（2）如图所示；

（3）72；

（4）该校D级学生有：2000  160人. 

19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品共用了160元.

（1）求A，B两种商品每件多少元？

（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

【答案】解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.

依题意，得 

解得

答：A商口每件20元，B商品每件50元.

（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10 a)件.

依题意，得 

解得5≤a≤6.

根据题意，a的值应为整数，所以a 5或a 6.

方案一：当a 5时，购买费用为20 5 50 (10 5) 350元；

方案二：当a 6时，购买费用为20 6 50 (10 6) 320元.

∵350>320，

∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.

答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低. 

20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B 45 ，∠ACB 60 ，AB 3，点D为BA延长线上的一点，且∠D ∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.

（1）求BC的长；

（2）求⊙O的半径. 

【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.

∴∠AEB ∠AEC 90 .

在Rt△ABE中，∵sinB ，

∴AB AB·sinB 3·sin45   3· 3.

∵∠B 45 ，

∴∠BAE 45 .

∴BE AE 3.

在Rt△ACE中，∵tan∠ACB ，

∴EC .

∴BC BE EC 3 .

（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC 30 ，EC ，

∴AC 2.

解法一：连接AO并延长交⊙O于M，连接CM.

∵AM为直径，

∴∠ACM 90 .

在Rt△ACM中，∵∠M ∠D ∠ACB 60 ，sinM ，

∴AM   4.

∴⊙O的半径为2.

解法二：连接OA，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，

则AF AC .

∵∠D ∠ACB 60 ，

∴∠AOC 120 .

∴∠AOF ∠AOC 60 .

在Rt△OAF中，sin∠AOF ，

∴AO  2，即⊙O的半径为2.   

21．（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO 2，OB 1，OC为射线，且∠BOC 60 ，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t 秒时，则OP       ，S△ABP             ；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当AP AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP ∠B，求证：AQ·BP 3. 

【答案】解：（1）1，；

（2）①∵∠A<∠BOC 60 ，

∴∠A不可能是直角.

②当∠ABP 90 时，

∵∠BOC 60 ，

∴∠OPB 30 .

∴OP 2OB，即2t 2.

∴t 1.

③当∠APB 90 时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP ∠PDB 90 .

∵OP 2t，

∴OD t，PD t，AD 2 t，BD 1 t（△BOP是锐角三角形）.

解法一：∴BP2 （1 t）2  3t2，AP2 (2 t)2 3t2.

∵BP2 AP2 AB2，

∴(1 t)2 3t2 (2 t)2 3t2 9，

即4t2 t 2 0.

解得t1 ，t2  （舍去）.

解法二：∵∠APD ∠BPD 90 ，∠B ∠BPD 90 ，

∴∠APD ∠B.

∴△APD∽△PBD.

∴ 

∴PD2 AD·BD.

于是(t)2 (2 t)(1 t)，即 4t2 t 2 0.

解得t1 ，t2  （舍去）.

综上，当△ABP为直角三角形时，t 1或.

（3）解法一：∵AP AB，

∴∠APB ∠B.

作OE∥AP，交BP于点E，

∴∠OEB ∠APB ∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB ∠B 180 .

又∵∠3 ∠OEB 180 ，

∴∠3 ∠QAB.

又∵∠AOC ∠2 ∠B ∠1 ∠QOP，

已知∠B ∠QOP，

∴∠1 ∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE AP 1，BP EP.

∴AQ·BP AQ·EP AO·OE  2 1 3.

解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.

∵AQ∥BP，

∴∠QAP ∠APB.

∵AP AB，

∴∠APB ∠B.

∴∠QAP ∠B.

又∵∠QOP ∠B，

∴∠QAP ∠QOP.

∵∠QFA ∠PFO，

∴△QFA∽△PFO.

∴，即.

又∵∠PFQ ∠OFA，

∴△PFQ∽△OFA.

∴∠3 ∠1.

∵∠AOC ∠2 ∠B ∠1 ∠QOP，

已知∠B ∠QOP，

∴∠1 ∠2.

∴∠2 ∠3.

∴△APQ∽△BPO.

∴.

∴AQ·BP AP·BO 3 1 3.    

22.（满分14分）如图，抛物线y (x 3)2 1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.

（1）求点A，B，D的坐标；

（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO ∠ADC；

（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标. 

【答案】（1）顶点D的坐标为（3， 1）.

令y 0，得(x 3)2 1 0，

解得x1 3 ，x2 3 .

∵点A在点B的左侧，

∴A点坐标(3 ，0)，B点坐标（3 ，0）.

（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.

则G（0， 1），GD 3.

令x 0，则y ，∴C点坐标为（0，）.

∴GC  ( 1) .

设对称轴交x轴于点M.

∵OE⊥CD，

∴∠GCD ∠COH 90 .

∵∠MOE ∠COH 90 ，

∴∠MOE ∠GCD.

又∵∠CGD ∠OMN 90 ，

∴△DCG∽△EOM.

∴.

∴EM 2，即点E坐标为(3，2)，ED 3.

由勾股定理，得AE2 6，AD2 3，

∴AE2 AD2 6 3 9 ED2.

∴△AED是直角三角形，即∠DAE 90 .

设AE交CD于点F.

∴∠ADC ∠AFD 90 .

又∵∠AEO ∠HFE 90 ，

∴∠AFD ∠HFE，

∴∠AEO ∠ADC.

（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2 EP2 1.

要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.

设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2 (x 3)2 (y 2)2.

∵y (x 3)2 1，

∴(x 3)2 2y 2.

∴EP2 2y 2 y2 4y 4

      (y 1)2 5.

当y 1时，EP2最小值为5.

把y 1代入y (x 3)2 1，得(x 3)2 1 1，

解得x1 1，x2 5.

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，

∴x1 1舍去.

∴点P坐标为(5，1).

此时Q点坐标为（3，1）或().