2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.

教学过程：

一、复习回顾：

1、.数学期望:  一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

　　2、 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 

3、平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 

4、期望的一个性质: 

5、若ξB（n,p）（二项分布），则Eξ=np。

6、若X服从两点分布，则E(X) =p

二、师生互动，新课讲解：

问题：要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，

第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为

  画出分布列，求出它们的期望值相等。

1、方差：

设离散型随机变量X的概率分布为

为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，并称其算术平方根（或用）为随机变量X的标准差。

2、方差的性质：

（1）若X服从两点分布，则D（X）=p(1-p)

（2）若ξ～B(n，p)（二项分布），则np(1-p)  

（3）；

3、其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

例题选讲：

例1（课本P66例4）．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

;

.

变式训练1：甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：

射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;

射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24

用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+（10-9）；

同理有

由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 

例2（课本P67例5）．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 

= 1400 , 

DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 

+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1

= 40 000 ; 

EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , 

DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l 

= 160000 . 

因为EX1 =EX2, DX1变式训练2（1）：有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次重复试验，所以ξB（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

变式训练2（2）：设～B(n、p)且E=12  D=4，求n、p

解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np     D= np（1－p）  

∴      ∴

课堂练习（课本P68练习NO：1；2）

三、课堂小结，巩固反思：

（1）求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；

④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

（2）对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

四、课时必记：

1、离散型随机变量X的方差：

为随机变量X的标准差。

2、方差的性质：

（1）若X服从两点分布，则D（X）=p(1-p)  （2）若ξ～B(n，p)（二项分布），则np(1-p)  

（3）；

五、分层作业：

A组：

1、已知，则的值分别是（ D）

A．；　　B．；　　C．；　　D． 

2、（课本P68习题2.3  A组 NO：1）

3、（课本P68习题2.3  A组 NO：5）

B组：

1.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互的,且各人的选报相互之间没有影响.

(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.

(2)任选3名同学,记ξ为3人中选报过第二外语的人数,求ξ的分布列、期望和方差.

  【解析】设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.由题设知,事件A与B相互,且P(A)=0.75,P(B)=0.6.

(1)方法一:任选1名同学,

该同学一门课程都没选报的概率是P1=P(·)=P()·P()=0.25×0.4=0.1.

所以该人选报过第二外语的概率是

P2=1-P1=1-0.1=0.9.

方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是P3=P(A·)+P(·B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45,

该人选报两门课程的概率是P4=P(A·B)=0.75×0.6=0.45.

所以该同学选报过第二外语的概率是

P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9.

(2)因为每个人的选报是相互的,所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B(3,0.9),

P(ξ=k)=×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,

即ξ的分布列是

(或ξ的期望是E(ξ)=3×0.9=2.7),

ξ的方差是D(ξ)=3×0.9×(1-0.9)=0.27.

2、把4个球随机地投入4个盒子中去,设ξ表示空盒子的个数,求E(ξ),D(ξ).

【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒子的个数可能为0个,此时投球方法数为=4!,所以P(ξ=0)==;空盒子的个数为1时,此时投球方法数为,

所以P(ξ=1)=.

同样可分析P(ξ=2)==,

P(ξ=3)==.

所以ξ的分布列为

C组：

1. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4

    分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,

所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p 

则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)