河南省郑州市高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（　　）

A．6    B．8    C．7    D．9

2．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（　　）

A．2    B．﹣1    C．1    D．﹣2

3．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（　　）

A．f（x）=x，g（x）=（）2    B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2

C．f（x）=1，g（x）=x0    D．f（x）=|x|，g（x）=

4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（　　）

A．y=（）x    B．y=x﹣2    C．y=x2+1    D．y=log3（﹣x）

5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（　　）

A．a＜c＜b    B．a＜b＜c    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

6．（5分）下列叙述中错误的是（　　）

A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈l

B．三点A，B，C能确定一个平面

C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面

D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α

7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（　　）

A．（0，1）    B．（1，2）    C．（3，+∞）    D．[2，3）

8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（　　）

A．0    B．1    C．±2    D．2

9．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（　　）

A．（60+4）π    B．（60+8）π    C．（56+8）π    D．（56+4）π

10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

A．[1﹣2，3]    B．[1﹣，3]    C．[﹣1，1+2]    D．[1﹣2，1+2]

11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（　　）

A．②③④    B．①②④    C．①③④    D．①②③

12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）    B．（1，8）    C．（4，8）    D．[4，8）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=　   　．

14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=　   　．

15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为　   　．

16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．

（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁RN）；

（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．

（1）求点C的坐标；

（2）求直线AB的方程．

19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．

20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．

（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．

21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．

（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；

（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．

22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．

（1）讨论函数y=f（x）的单调性；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

2016-2017学年河南省郑州市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）若{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（　　）

A．6    B．8    C．7    D．9

【解答】解：∵{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}，

∴集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，

因此满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7个．

故选：C．

2．（5分）设a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，若A=B，则b﹣a（　　）

A．2    B．﹣1    C．1    D．﹣2

【解答】解：∵a，b∈R，集合A={1，a+b，a}，B={0，，b}，A=B，

∴，

解得a=﹣1，b=1，

∴b﹣a=2．

故选：A．

3．（5分）下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（　　）

A．f（x）=x，g（x）=（）2    B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2

C．f（x）=1，g（x）=x0    D．f（x）=|x|，g（x）=

【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，

∴不是同一函数，图象不同；

对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，

∴不是同一函数，图象不同；

对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，

∴不是同一函数，图象不同；

对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，

对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．

故选：D．

4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数的是（　　）

A．y=（）x    B．y=x﹣2    C．y=x2+1    D．y=log3（﹣x）

【解答】解：函数y=（）x是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故A不满足条件；

函数y=x﹣2既是偶函数又在（﹣∞，0）内为增函数，故B满足条件；

y=x2+1是偶函数，但在（﹣∞，0）内为减函数，故C不满足条件；

y=log3（﹣x）是非奇非偶函数，在（﹣∞，0）内为减函数，故D不满足条件；

故选：B

5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（　　）

A．a＜c＜b    B．a＜b＜c    C．b＜a＜c    D．b＜c＜a

【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，

由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1

∴b＜a＜c

故选C

6．（5分）下列叙述中错误的是（　　）

A．若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则P∈l

B．三点A，B，C能确定一个平面

C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面

D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α

【解答】解：在A中，若点P∈α，P∈β且α∩β=l，则由公理二知P∈l，故A正确；

在B中，三点A，B，C不共线时，能确定一个平面；三点A，B，C共线时，不能确定一个平面，故B错误；

在C中，若直线a∩b=A，则由公理三知直线a与b能够确定一个平面，故C正确；

在D中，若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则由公理一知l⊂α，故D正确．

故选：B．

7．（5分）方程log2x+x=3的解所在区间是（　　）

A．（0，1）    B．（1，2）    C．（3，+∞）    D．[2，3）

【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣3，在（0，+∞）上单调递增．

∵f（2）=1+2﹣3=0，f（3）=log23＞0

∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在[2，3]区间内

∴方程log2x+x=3的解所在的区间为[2，3]，

故选：D．

8．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1=0关于直线x﹣y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则实数a的值为（　　）

A．0    B．1    C．±2    D．2

【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1=0 即（x﹣）2（y+1）2=，表示以A（，﹣1）为圆心，以||为半径的圆．

关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆x2+y2=1的圆心为（0，0），

故有×1=﹣1，解得 a=2，

故选：D．

9．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为（　　）

A．（60+4）π    B．（60+8）π    C．（56+8）π    D．（56+4）π

【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=

πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1==（60+4）π，

故选：A．

10．（5分）若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

A．[1﹣2，3]    B．[1﹣，3]    C．[﹣1，1+2]    D．[1﹣2，1+2]

【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，

（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，

∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，

∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，

故选A．

11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（　　）

A．②③④    B．①②④    C．①③④    D．①②③

【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；

②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；

④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．

故选：C．

12．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）    B．（1，8）    C．（4，8）    D．[4，8）

【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，

∴函数f（x）=在R上单调递增，

∴，

解得：a∈[4，8），

故选：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（5分）在空间直角坐标系中，已知P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，则z=　11或﹣1　．

【解答】解：∵空间直角坐标系中，点P（2，2，5）、Q（5，4，z）两点之间的距离为7，

∴=7，

即（z﹣5）2=36．解得z=11或﹣1．

故答案为：11或﹣1．

14．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数，则a+b=　4　．

【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函数

∴a2﹣2+a=0∴a=﹣2或1

∵a2﹣2＜a∴a=1

∵偶函数的图象关于y轴对称，

∴=0∴b=3

∴a+b=4

故答案为：4．

15．（5分）已知两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，则与它们等距离的平行线方程为　12x+8y﹣15=0　．

【解答】解：两条平行直线3x+2y﹣6=0与6x+4y﹣3=0，

设与它们等距离的平行线的方程为：3x+2y+b=0，

由题意可得：，解得b=﹣．

与它们等距离的平行线的方程为：12x+8y﹣15=0．

故答案为12x+8y﹣15=0．

16．（5分）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，则a的取值范围是　（﹣，）　．

【解答】解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（﹣，﹣1），半径r=，

条件是4﹣3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．

化简得a2+a+9＞0．

由4﹣3a2＞0，a2+a+9＞0，

解之得﹣＜a＜，a∈R．

故a的取值范围是（﹣，）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．

（Ⅰ）若a=2，求M∩（∁RN）；

（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）若a=2，则N={x|3≤x≤5}，

则∁RN={x|x＞5或x＜3}；

则M∩（∁RN）={x|﹣2≤x＜3}；

（Ⅱ）若M∪N=M，

则N⊆M，

①若N=∅，即a+1＞2a+1，得a＜0，此时满足条件，

②当N≠∅，则满足，得0≤a≤2，

综上a≤2．

18．（12分）已知△ABC的顶点B（﹣1，﹣3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y﹣7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x﹣3y﹣3=0．

（1）求点C的坐标；

（2）求直线AB的方程．

【解答】解：（1）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），

∴，

解得，

∴D（0，﹣1），C（1，1）；

（2）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，

∴直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为，即3x﹣4y﹣9=0．

由，解得，

∴A（3，0），

∴直线AB方程为：，

化简整理得，3x﹣4y﹣9=0．

19．（12分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．

【解答】解：（1）当0＜t≤1时，

如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，

又，∴，

∴

（2）当1＜t≤2时，

如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，

又，∴

∴

（3）当t＞2时，

综上所述

20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、A1C1的中点．

（Ⅰ）求证：CB1⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC1．

【解答】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C1   　　　　　　 　　…（2分）

∵CB1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．…（4分）

∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，

∴CB1⊥BC1，

∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．

（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．…（7分）

在△AA1C1中，N、F是中点，

∴NFAA1，

又∵正方形BCC1B1中BMAA1，

∴NF∥BM，且NF=BM…（8分）

故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）

∵BF⊂面ABC1，MN⊄平面ABC1，

∴MN∥面ABC1…（12分）

21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．

（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；

（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．

【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，

|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；

（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，

设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，

∴k=2，

∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．

22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．

（1）讨论函数y=f（x）的单调性；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

【解答】解：（1）设g（x）=ax，（a＞0且a≠1），g（3）=a3=8，

故a=2，f（x）=，

任取实数x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

=﹣

=，

∵x1＜x2，考虑y=2x在R递增，

∴＞＞0，

∴﹣＞0，（1+）（1+）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴y=f（x）在R递减；

（2）要使f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，

即f（2t﹣3t2）＞﹣f（t2﹣k）成立，

即f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）成立，

由（1）得：2t﹣3t2＜k﹣t2，即k＞﹣2t2+2t恒成立，

设h（t）=﹣2t2+2t=﹣2+，

h（t）max=，

故k＞．