2020届四川省成都市二诊数学(文科)试卷及答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）设复数z 满足(1)2z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是()

A ．1

B ．1

-C ．i

D ．i

-2．（5分）设全集U R =，集合{|1}M x x =<，{|2}N x x =>，则()(U M N = ð)

A ．{|2}

x x >B ．{|1}

x x C ．{|12}

x x <x x 3．（5分）某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本．若样本中高中生恰有30人，则n 的值为()

A ．20

B ．50

C ．40

D ．60

4．（5分）曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为()

A ．20

x y -=B ．220

x y +-=C ．220

x y ++=D ．220

x y --=5．（5分）已知锐角α满足2sin 21cos 2αα=-，则tan (α=)

A ．

1

2

B ．1

C ．2

D ．4

6．（5分）函数()cos )f x x ln x =- 在[1-，1]的图象大致为(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(

)

A ．16

B ．48

C ．96

D ．128

8．（5分）已知函数()sin(2)2

f x x π

=+，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()

A ．,4x k k Z π

π=-∈B ．,4

x k k Z π

π=+∈C ．1

,2x k k Z π=

∈D ．1,24

x k k Z π

π=

+∈9．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为11A D ，11D C 的中点，在平面ABCD 中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于N ，则BN

BC

的值为()

A ．

1

3

B ．

12

C ．1

D ．

23

10．（5分）如图，双曲线22

22:(0,0)x y C l a b a b

-=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，

直线2bc y a =

与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若123

BF F π

∠=，则双曲线C 的离心率为(

)

A ．2

B ．

2

3

C 2

D ．

233

11．（5分）已知EF 为圆22(1)(1)1x y -++=的一条直径，点(,)M x y 的坐标满足不等式组10

2301x y x y y -+⎧⎪

++⎨⎪⎩

，则ME MF 的取值范围为()

A ．9

[2

，13]

B ．[4，13]

C ．[4，12]

D ．7

[2

，12]

12．（5分）已知函数()lnx

f x x

=

，()x g x xe -=，若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立，则12x x 的最小值为(

)A ．1-B ．2e

-

C ．2

2e -D ．1e

-

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）已知函数1

,0

()2,0

x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩ ，则((1))f f -=

．

14．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3

B π

=，2a =，3b =则ABC ∆的面积为

．

15．（5分）设直线:l y x l =-与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为

16．（5分）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为

．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知{}n a 是递增的等比数列，1a l =，且22a ，33

2

a ，4a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2122

1

log log n n n b a a ++=

，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求三棱锥B PEM -

的体积．

19．（12分）某动漫影视制作公期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）:年份2013201420152016201720182019年份代号

x

1

2

3

4

5

6

7

年利润x （单位：亿元）

293334485259

()I 求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8)的年利润；

（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级

利润年的概率．

参考公式：：1

2

1

()(ˆ()n

i

i i n

i

i x

x y y b

x

x ==--=-∑∑，ˆˆa

y bx =-．20．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左，右焦点分别为1(,0)F l -，2(1,0)F

，点

P 在椭圆E 上．()I 求椭圆E 的标准方程；

（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，当2||?||AB CD

的值为时，求直线l 的方程．

21．（12分）已知函数2()f x x mx mlnx =--，其中0m >．()I 若m l =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设()()g x f x mx =+．若1

()g x x

>

在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

(2x m m y m ⎧=⎨=⎩

为参数）

．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

sin cos 10ρθρθ-+=．

（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）已知点(2,1)P ，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11

||||

PM PN +

的值[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数()|1||3|f x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()6f x ；

（Ⅱ）设2()2g x x ax =-+，其中a 为常数，若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，

2020年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）设复数z 满足(1)2z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是()

A ．1

B ．1

-C ．i

D ．i

-【解答】解：由(1)2z i +=，得22(1)

11(1)(1)

i z i i i i -===-++-，∴复数z 的虚部是1-．

故选：B ．

2．（5分）设全集U R =，集合{|1}M x x =<，{|2}N x x =>，则()(U M N = ð)

A ．{|2}

x x >B ．{|1}

x x C ．{|12}

x x <x x 【解答】解：U R =，{|1}M x x =<，{|2}N x x =>，{|1}U M x x ∴= ð，(){|2}U M N x x ∴=> ð．

故选：A ．

3．（5分）某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本．若样本中高中生恰有30人，则n 的值为()

A ．20

B ．50

C ．40

D ．60

【解答】解：由分层抽样的定义得301500

10015001000

n ==+，解得50n =，故选：B ．

4．（5分）曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线方程为()

A ．20x y -=

B ．220

x y +-=C ．220x y ++=D ．220

x y --=【解答】解：3y x x

=-231y x ∴'=-，

所以23112k =⨯-=，

所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=故选：D ．

5．（5分）已知锐角α满足2sin 21cos 2αα=-，则tan (α=)

A ．

1

2

B ．1

C ．2

D ．4

【解答】解： 锐角α满足2sin 21cos 2αα=-，24sin cos 2sin ααα∴=，sin 0α> ，

2cos sin αα∴=，可得tan 2α=．

故选：C ．

6．（5分）函数()cos )f x x ln x =- 在[1-，1]的图象大致为(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：()cos())cos )()f x x ln x x ln x f x -=-+=-=- ，故函数()f x 为

奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD ；又(1)cos1(21)0f ln =-< ，故排除A ．故选：B ．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(

)

A ．16

B ．48

C ．96

D ．128

【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1

i =执行循环体，4S =，2

i =不满足判断框内的条件3i >，执行循环体，16S =，3i =不满足判断框内的条件3i >，执行循环体，48S =，4i =此时，满足判断框内的条件3i >，退出循环，输出S 的值为48．故选：B ．

8．（5分）已知函数()sin(2)2

f x x π

=+，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()

A ．,4x k k Z π

π=-∈B ．,4

x k k Z π

π=+∈C ．1

,2x k k Z π=

∈D ．1,24

x k k Z π

π=

+∈【解答】解：由函数()sin(2)2

f x x π

=+，则222x k πππ+

=+，k Z ∈，得：1

2

x k π=，k Z ∈，故选：C ．

9．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为11A D ，11D C 的中点，在平面ABCD

中，过AB 的中点M 作平面DPQ 的平行线交直线BC 于N ，则BN

BC

的值为()

A ．

13

B ．

12

C ．1

D ．

23

【解答】解：连接AC ，11A C ，在正方形1111A B C D 中，P ，Q 分别为11A D ，11D C 的中点，可得11//PQ A C ，

在截面11ACC A 中，11//AC A C ，则//AC PQ ，

在平面ABCD 中，过AB 的中点M 只需作//MN AC ，由M 为AB 的中点，可得N 为BC 的中点，由公理4可得，//MN PQ ，

又MN ⊂/平面DPQ ，PQ ⊂平面DPQ ，可得//MN 平面DPQ ，则

1

2

BN BC =，故选：B ．

10．（5分）如图，双曲线22

22:(0,0)x y C l a b a b

-=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，

直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若123

BF F π

∠=，则双曲线C

的离心率为(

)

A ．2B

．

3

C

D

．

3

【解答】解：联立2bc y a b y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

⇒22c x bc

y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即(2c B -

，2bc

a

，直线1BF 的斜率1

02tan 602

BF bc

b

a k c

a c ===-+．

∴

b

a

．则双曲线C

的离心率为2e ==．

故选：A ．

11．（5分）已知EF 为圆22(1)(1)1x y -++=的一条直径，点(,)M x y 的坐标满足不等式组10

2301x y x y y -+⎧⎪

++⎨

⎪⎩

，则ME MF 的取值范围为()

A ．9

[2

，13]

B ．[4，13]

C ．[4，12]

D ．7

[2

，12]

【解答】解：不等式组10

2301

x y x y y -+⎧⎪

++⎨⎪⎩ ，作出可行域如图，(2,1)A -，(0,1)B ，4(3C -，1)3-，

(1,2)P - ，(0,0)O ，(,)M x y ，DE DF =-

，

∴

2()()ME MF DE DM DF DM DE DF DM DM DF DE DM =--=+-- 222

221(1)(1)1DF DM DM x y =-+=-=-++- ，

所以当2x =-，1y =时，ME MF 的取最大值：12，当12x =-，1

2

y =时，ME MF 的取最

小值为

72

；所以则ME MF 的取值范围是7

[2

，12]；

故选：D ．

12．（5分）已知函数()lnx

f x x

=

，()x g x xe -=，若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立，则12x x 的最小值为(

)A ．1

-B ．2e

-

C ．2

2e -D ．1e

-

【解答】解：()()x

x

x x x x lne g x xe

f e e e

-====，函数()f x 定义域{|0}x x >，2

1()lnx

f x x -'=

，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x =时，f （1）0=，所以(0,1)x ∈时，()0f x <；(1,)x e ∈时，()0f x >；

当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，此时()0f x >，所以若存在1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，使得12()()(0)f x g x k k ==<成立，则101x <<且212()()()x f x g x f e ==，所以21x x e =，即21x lnx =，所以121x x x =1lnx ，1(0,1)x ∈，令()h x xlnx =，(0,1)x ∈，()1h x lnx '=+，

当1

(x e ∈，1)时，()0h x '>，()h x 单调递增，

当1

(0,)x e

∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，

所以当1x e =

时，1111()()min h x h ln e e e e

===-．故选：D ．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）已知函数1

,0

()2,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩ ，则((1))f f -=

2．

【解答】解：根据题意，函数1

,0

()2,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩ ，

11(1)22f --==

，1

()22

f =．故((1))2f f -=，故答案为：2．

14．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3

B π

=，2a =

，b =则ABC ∆

的面积为

2

．

【解答】解：由余弦定理可得，2143

24c c

+-=，

解可得，1c =，

所以ABC ∆

的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯⨯

15．（5分）设直线:l y x l =-与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2，则p 的值为1

【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

联立直线与抛物线的方程：212y x y px

=-⎧⎨=⎩，整理可得：22(1)10x p x -++=，122(1)x x p +=+，

所以AB 的中点的横坐标1p +，有题意可得：12p +=，解得1p =，

故答案为：1．

16．（5分）已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为

36

．

【解答】解：如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O ，

设球的半径为r ，由球O 的表面积为28π，得2428r ππ=

，r ∴=，

设三棱柱的底面边长为a

，则上底面所在圆的半径为3

，且球心O 到上底面中心H 的距离1

2

OH a =

，22217()()23

r a ∴==+

，a ∴=则三棱柱的侧面积为2336S a ==．故答案为：36

．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知{}n a 是递增的等比数列，1a l =，且22a ，33

2

a ，4a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2122

1

log log n n n b a a ++=

，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是递增的等比数列，设公比为q ，1a l =，且1q >，由22a ，33

2

a ，4a 成等差数列，可得32432a a a =+，

即2332q q q =+，即2320q q -+=，解得2(1q =舍去），则1112n n n a a q --==；

（Ⅱ）121222211111

log log 22(1)1

n n n n n b a a log log n n n n +++=

===-

++ ，则前n 项和11111111223111

n n

S n n n n =-

+-+⋯+-=-=

+++．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，M ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求三棱锥B PEM -

的体积．

【解答】（Ⅰ）证明： 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，OP ，BD ⊂平面PBD ，且OP BD O = ，AC ∴⊥平面PBD ，

又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）解：设三棱锥B PEM -的高为h ，∴1

3

B PEM P BEM BEM V V S h --∆==

⨯，连接OE ，PO ⊥ 平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，PO OE ∴⊥，2OE = ，3PE =

，h OP ∴==

∴111223323

P BEM BEM V S h -∆=⨯=⨯⨯⨯⨯．

19．（12分）某动漫影视制作公期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润，该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）:年份2013201420152016201720182019年份代号

x

1

2

3

4

5

6

7

年利润x （单位：亿元）

293334485259

()I 求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8)的年利润；

（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年将()I 中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．

参考公式：：1

2

1

()(ˆ()n

i

i i n

i

i x

x y y b

x

x ==--=-∑∑，ˆˆa

y bx =-．【解答】解：()I 根据表中数据，计算可得4,43x y ==，

7

1

()(140i

i i x

x y y =--=∑，

7

21

(28i

i x

x =-=∑，

∴7

1

7

2

1

()

ˆ5(i

i i i

i x

x y y b

x

x ==--==-∑∑，ˆˆ435423a

y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ523y

x =+．当8x =时，ˆ582363y =⨯+=（亿元），

故该公司2020年的年利润预测值为63亿元．

（Ⅱ）由()I 可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38，43，48，53，58，63，其中实际利润大于相应估计值的有2年，

故这6年中，被评为A 级利润年的有2年，分别记为1A ，2A ；评为B 级利润年的有4年，分别记为1B ，2B ，3B ，4B ．

从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为：

12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B ，共计15种情况．

其中恰有一年为A 级利润年的情况分别为：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，共计8种情况，

记”从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A 级利润年“的概率为P ，则8

15

P =

．20．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左，右焦点分别为1(,0)F l -，2(1,0)F

，点

2

P 在椭圆E 上．()I 求椭圆E 的标准方程；

（Ⅱ）设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，当2||?||AB CD

的值为时，求直线l 的方程．

【解答】解：（Ⅰ）因为点2

2

P 在椭圆上，根据椭圆定义可得12||||2PF PF a +=，

又1||PF ==

，22||2

PF =，

所以222

a =

+

，解得a =因为1c =，222b a c =-，解得21b =，

故椭圆E 的标准方程为2

212

x y +=；

（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，

联立22

122

x my x y =+⎧⎨+=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=，所以△2880m =+>，12222m y y m +=-

+，12

21

2

y y m =-+，

则12|||AB y y =-=设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则

d =

所以||CD ==，

则2222

22222(1)2182(21)

||?||48212

m m m AB CD m m m +++===+++ 解得1m =±，

故所求直线l 的方程为10x y --=，或10x y +-=．21．（12分）已知函数2()f x x mx mlnx =--，其中0m >．()I 若m l =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设()()g x f x mx =+．若1

()g x x

>

在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1m =时，2()f x x x lnx =--，(0,)x ∈+∞，

2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x

---+'∴=--==，

∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单

调递增，

∴函数()f x 的极小值为f （1）0=，无极大值；

（Ⅱ）2()g x x mlnx =-，若1()g x x >

在(1,)+∞上恒成立，即21

0x mlnx x

-->在(1,)+∞上恒成立，构造函数21

()G x x mlnx x

=--

，1x >，

则322

121

()2m x mx G x x x x x -+'=-+=，

令3()21H x x mx =-+，1x >，

2()6H x x m '∴=-，

()i 若6m ，可知()0H x '>恒成立，()H x ∴在(1,)+∞上单调递增，()H x H ∴>（1）3m =-，

①当30m - ，即03m < 时，()0H x >在(1,)+∞上恒成立，即()0G x '>在(1,)+∞上恒成立，()G x G ∴>（1）0=在(1,)+∞上恒成立，

03m ∴< 满足条件，

②当30m -<，即36m < 时，H （1）30m =-<，H （2）1720m =->，∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0H x =，

当0(1,)x x ∈时，()0H x <，即()0G x '<，()G x ∴在0(1,)x 上单调递减，()G x G ∴<（1）0=，这与()0G x >矛盾，

()ii 若6m >，由()0H x '=，可得1x =，2x =

易知()H x 在上单调递减，

()H x H ∴<（1）30m =-<在上恒成立，即()0G x '<在上恒成立，

()G x ∴在上单调递减，

()G x G ∴<（1）0=在上恒成立，这与()0G x >矛盾，综上所求，实数m 的取值范围为：(0，3]．

请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2

(2x m m y m

⎧=⎨=⎩为参数）

．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

sin cos 10ρθρθ-+=．

（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）已知点(2,1)P ，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求

11

||||

PM PN +

的值【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=，转换为直角坐标方程为

10x y --=．

曲线C 的参数方程为2

(2x m m y m

⎧=⎨=⎩为参数）

．转换为直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）由于点(2,1)P 在直线l 上，所以直线l

的参数方程为22(12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

为参数），

将直线的参数方程2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =

的方程，整理得：2140t --=．

所以12t t +=1214t t =-，

所以121212||114||||||7

t t PM PN t t -+==．[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数()|1||3|f x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()6f x ；

（Ⅱ）设2()2g x x ax =-+，其中a 为常数，若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围，

【解答】解：（Ⅰ）原不等式即|1||3|6x x -++ ，当1x 时，化简得226x + ，解得2x ，当31x -<<时，化简得46 ，此时无解，

当3x - 时，化简得226x -- ，解得4x - ，综上所述，原不等式的解集为(-∞，4][2- ，)+∞．

（Ⅱ）由题意22,1()4,01x x f x x +⎧=⎨<<⎩

，设方程()()f x g x =的两根为1x ，2x ，12()x x <，①当211x x > 时，方程2222x ax x -+=+等价于222a x x =++

，2221y x x =+++=

，当且仅当x =时取等号，

易知当1a ∈，5]2

在(1,)+∞上有两个不相等的实数根，

此时方程224x ax +=，在(0,1)上无解，

1a ∴∈+，5]2

满足条件．②当1201x x << 时，224x ax +=等价于42a x x =+，此时方程42a x x

=+在(0,1)上显然没有两个不相等的实数根．③当1201x x << ，易知当5(2a ∈，)+∞，方程42a x x

=+在(0,1)上有且只有一个实数根，此时方程2222x ax x -+=+在[1，)+∞上也有一个实数根，

5(2

a ∴∈，)+∞满足条件，

综上所述，实数a 的取值范围为1，)+∞．