哈尔滨市第九中学2021-2022年度高一下学期期末考试数学试卷含答案

2021-2022年度哈尔滨市第九中学高一下学期期末考试数学

学科试卷

（考试时间：120分钟

满分：150分）

I 卷（选择题，12小题，共60分）

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1.若复数z 满足(13)2z i +=，则z 的共轭复数为A.

135

i - B.135

i + C.

132

i - D.

132

i +2.已知()()1,1,2,6,a b m a b ==+⊥

,则||b =

A.2

C.

3.从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位:cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm 170.5cm -之间的人数约为A ．18000B ．15000C ．12000D ．10000

4.如图一所示，某市5月1日至10日 2.5PM 的日均值（单位：3/g m μ）变化的折线图，则该组数据第百分位数为

A ．45

B ．48

C ．78

D ．80

5.已知a 、b 是两条不相同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是A.若b αβ= ，a α⊂，则a 与β相交 B.若a α⊥，a β⊥，b α⊂，则//b β

C.若αβ⊥，a α⊥，b β⊥，则a b

⊥ D.若a α⊥，//b β，//αβ，则a b

⊥6.在平面四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，3DC DF = ，3AB AE = ，AD m = ，BC n =

，则EF =

A ．1233m n +

B ．2133m n +

C ．3144m n +

D ．1344m n

+ 7.梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠= ，1AD =，2BC =，60DCB ∠= ，在平面ABCD 内过点C 作l CB ⊥以l 所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为

A ．(10π

+B ．(9π

+C ．(8π

+D ．(7π

+8.将地球看作一个以O 为球心的球体，地球上点P 的纬度是指OP 与赤道面所成角的度数.一个地球仪，

在其北半球某纬线圈上有,,A B C 三点，其中2AB =，AC =，60ABC ∠= ，且三棱锥O ABC -的

，

体积为

3，则这个纬线圈的纬度为

A.30

B.45

C.60

D.75

二、多项选择题（全选对得5分，漏选得2分，有错误选项得0分）

9.在正方体1111

ABCD A B C D

-中，下列说法正确的是

A.与1

AC垂直的面对角线有6条 B.直线1

AC与直线1

AA所成的角为45

C.直线1

AC与平面11

CC D D所成的角为45 D.二面角111

A B D C

--

的余弦值为

3

-

10.某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，

11.已知在ABC

∆中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若

[80,90)，[90,100]分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是

A.此次测试众数的估计值为85

B.此次测试分数在[50,60)的学生人数为6人

C.随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80

D.平均数m在中位数n

右侧

a=，222sin

a b c ab C

=

+-，cos sin

a B

b A c

+=，则下列结论正确的是

A.

4

Aπ

= B.tan2

C=

C.b=

D.ABC

∆的面积为6 12.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.

例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是

3

π

，所以正四面体在每个顶点的曲率为

23

3

π

ππ

-⨯=，故其总曲率为4π.给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有

A.正方体在每个顶点的曲率均为

2

π

；

B.任意四棱锥的总曲率均为4π；

C.若一个多面体满足顶点数6

V=，棱数8

E=，面数12

F=，则该类多面体的总曲率是3π；

D.若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足2

V E F

-+=，则该类多面体的总曲率是常数

.

II 卷（主观题，10小题，共90分）

三、填空题（单空题每题5分，双空题第一处答案正确得2分，第二处答案正确得3分）

13.如图所示，电路原件123,,R R R 正常工作的概率分别为311

422

，，则电路能正常

工作的概率为.

14.为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于2022年采用312++“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成，则学生选课的情况有

种．

15.已知1i +是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则a+b 的值为.

16.满足下述条件的两组基底12{,}a a 与12{,}b b 叫做一组“对偶基底”：1,,,{1,2}0,i j i j a b i j i j =⎧⋅=∈⎨≠⎩

。当1a ，

2a 均为单位向量，且122,3a a π

<>= 时，12b b ⋅= .四、解答题（共70分）

17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；

（2

）若12,4AB AC BC AA ====，求三棱锥1B ACC -的体积.18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足sin 2sin 2b c

B C

=

；（1）判断ABC ∆的形状；

（2）如图，延长BA 至点D ，连接CD ，过A 作//AE BC 交CD 于E ，若6DC DE =

5AB =，125

ACD

S ∆=，0AB AC ⋅>

，求BC 的长度.19.一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学(√表示已读)，得到了以下表格：

《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》

同学A √√

√

同学B √

√同学C √√

同学D √√√同学E

√

√

（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A 为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A 所包含的所有结果，并计算出事件A 的概率；

（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为

34，23，12，3

4

，求一位同学恰好读过其中三本书的概率.20．如图，AB 是O 的直径，,C D 是圆周上异于A B 、且在直径AB 同侧的点，2AB =，

60DAB ABC ∠=∠=︒，P 是平面ABC 外一点，且PA PB PC ===．

（1）设平面PAB 平面PCD l =，求证：//l CD ；（2）求PC 与平面POD 成角的正弦值．

21.某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取10件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：9.8

10.3

10.0

10.2

9.8

10.0

10.1

10.2

9.7 9.9

将该项指标的样本平均数记为x ，样本标准差记为s ，总体平均数记为X ；

（1）求x 与s （s 1.7≈）

（2）记样本量为n ，查阅资料可知：关于X | 2.262x X -≤的解集是总体平均数X

的一个较好的估计范围；

（i ）根据以上资料，求出该产品的总体平均数X 的估计范围；

（ii ）在（i ）的估计结果下，将指标不在总体平均数X 的估计范围内的产品称作“超标产品”。现从这10件样品中不放回随机抽取2件，将事件“抽到的2件产品都是超标产品”记为A ，求()P A .22.如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒2AB BC ==，1CD =，将ABC ∆沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．

①

AD =．

②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．

（1）判断直线MN 与平面ABD 是否垂直，并说明理由；图（1）

（2）求二面角A MN B --的正弦值．

单选BCCBABBB 多选9.AD

10.ABC 11.ABD 12.ABD

填空13.

716

14.12

15.0

16.

23

17.（1）因为三棱锥111ABC A B C -是直三棱锥，

所以1BB ABC ⊥平面（1分）因为AD ABC ⊂平面所以1AD BB ⊥（1分）因为AB AC =，D 为BC 中点所以AD BC ⊥（1分）又因为1BC BB B = ，（1分）

11BC BCC B ⊂平面，111

BB BCC B ⊂平面所以11AD BCC B ⊥平面（1分）（2）因为1CC ABC ⊥平面（1分）

1111

3

B AC

C C ABC ABC V V S CC --==⋅ （1分）

因为AB AC ==

D 为BC 中点，2

BC =所以1BD CD ==，2AD =所以1

22ABC S BC AD =⋅= （2分）所以1

18

33

24B ACC V -⨯⨯==（1分）18.（1）因为

sin 2sin 2b c

B C

=

，所以2sin cos 2sin cos b c

B B

C C

=

，（1分）根据正弦定理sin sin b c

B C

=

，（1分）得cos cos B C =所以B C =，（1分）

所以ABC 为等腰三角形（1分）（2）因为B C =，

所以5AB AC ==，因为//AE BC

所以DA DE DB DC

=

，（1分）

因为6DC DE = ，所以||16

||DE DC =

所以6DB DA =且5AB =所以1AD =（1分）

112sin 25

ACD S AD AC CAD =

⋅∠= 解得24

sin 25CAD ∠=

所以24

sin 25

BAC ∠=（2分）

因为0AB AC ⋅> 所以BAC ∠为锐角

所以7

cos 25

BAC ∠==

（2分）所以2

2

2

2cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠所以6BC =（2分）

19.（1）设五位同学分别为,,,,a b c d e

样本空间{,,,,,,,,,}ab ac ad ae bc bd be cd ce de Ω=（2分）事件{,,}A ad ae de =（2分）则()3

()()10n A P A n =

=

Ω（2分）

（2）设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A ,B ,C ,D 则一位同学恰好读过其中三本的概率为（1分）

()()()()P P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++（2分）3211321331131213

4324432443244324=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯（2分）133116163216=+++13

32

=（1分）20.（1）连接OC 、OD

因为60DAB ABC ∠=∠=

，OA OD =，OB OC =所以AOD ，BOC 为等边三角形

所以12

OD OC OA OB AB =====，60AOD BOC ∠=∠=

所以60COD ∠=

所以COD 为等边三角形

所以60

CDO AOD ∠=∠=

所以//AB CD （2分）

且AB PAB ⊂平面，CD PAB ⊄平面，（1分）所以//CD PAB 平面（1分）

且CD PCD ⊂平面 平面PAB 平面PCD=l

所以//l CD （2分）

（2）过C 作CH OD ⊥于H ，连接PH

因为PA PB PC ===O 为AB 中点

所以PO AB

⊥所以222

OA OP PA +=且OA OC r ==，PA PC

=所以222

OC OP PC +=所以OP OC ⊥（1分）

又因为AB ABCD ⊂平面，OC ABCD ⊂平面，AB OC O = 所以OP ABCD ⊥平面（1分）

因为CH ABCD

⊂平面所以OP CH

⊥又因为CH OD ⊥，OP OD O = ，OP POD ⊂平面，OD POD ⊂平面所以CH POD ⊥平面（1分）

所以CP 与平面POD 所成角为CPH ∠（1分）因为CH POD ⊥平面，PH POD

⊂平面

所以CH PH

⊥所以sin CH CPH CP

∠=（1分）因为COD 为等边三角形所以3322

CH ==所以312sin 2

CPH ∠==（1分）21.（1）9.810.31010.29.81010.110.29.79.91010x +++++++++==（2分）

1[(9.810)(10.310)(1010)(10.210)(9.810)(1010)(10.110)(10.210)(9.710)(9.910)]0.0361022222222222s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=（2

分）

0.190s =≈（1分）

（2）（i ）因为1|| 2.262x X s

- 所以

2101|10|0.19 2.026X - （1分）解得691.80567124.43X （3分）

（ii ）共有6件超标产品，（1分）故概率为2621012C P C ==（2分）

22.若选①

：AD =（1）在Rt BCD ∆中，2BC =，1CD =

，BD ∴=又2AB = ，222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，（1分）

AB BC ⊥ ，且BC BD B = ，,BC BD ⊂平面CBD ，AB ∴⊥平面CBD ，

（1分）又CD ⊂ 平面CBD ，AB CD ∴⊥，（1分）

又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（2分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1

分）

（2）MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN

⊥且AN AMN ⊂，BN BMN

⊂ANB ∴∠为二面角（2分）

AB BD ⊥ ，N 为BD

中点，AD =7

2

AN BN ∴=

=22222221cos 27AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3

分）sin 7

ANB ∴∠=（1分）若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径.（1）则90ADC ∠=︒，CD AD ⊥，（2分）又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（3分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1分）

（2）90ABC ∠=︒ ，2AB BC ==

，AC ∴=又90ADC ∠=︒ ，1CD =

，AD ∴=在Rt BCD ∆中，2BC =，1CD =

，BD ∴=又2AB = ，222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN

⊥且AN AMN ⊂，BN BMN

⊂ANB ∴∠为二面角（2分）

AB BD ⊥ ，N 为BD

中点，AD =7

2

AN BN ∴=

=

22222221cos 27AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3

分）sin 7

ANB ∴∠=（1分）若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，（1） 平面ABC ⊥平面BCD ，

平面ABC 平面BCD BC =，AB BC ⊥，且AB Ì平面ABC ，AB ∴⊥平面CBD ，

（2分）又CD ⊂ 平面CBD ，AB CD ∴⊥，（1分）又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（2分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1分）

（2）90ABC ∠=︒ ，2AB BC ==

，AC ∴=CD ⊥ 平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，CD AD ∴⊥，又90ADC ∠=︒ ，1CD =

，AD ∴=MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN

⊥且AN AMN ⊂，BN BMN ⊂ANB ∴∠为二面角（2分）

AB BD ⊥ ，N 为BD

中点，AD =7

2

AN BN ∴==22222277(2122cos 277722

AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3

分）43sin 7ANB ∴∠=（1

分）