2022年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(三)——方程与不等式(含解析)

2021年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（三）——方程与不等式

一．选择题  

1．（2021•石景山区校级模拟）关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，则a的值为（　　）

A．﹣2    B．2    C．﹣1    D．1Ff

2．（2021•朝阳区模拟）对于正整数k定义一种运算：f（k）＝[]﹣[]，例：f（3）＝[]﹣[]，[x]表示不超过x的最大整数，例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．则下列结论错误的是（　　）

A．f（1）＝0    B．f（k）＝0或1    

C．f（k+4）＝f（k）    D．f（k+1）≥f（k）

3．（2021•北京一模）方程组的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（2021•门头沟区一模）不等式组的解集为（　　）

A．﹣2≤x＜2    B．﹣2＜x≤2    C．x≥﹣2    D．x＞2

5．（2021•九龙坡区校级模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架书中记载了一道有趣的数学问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

6．（2021•朝阳区二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：

会员卡类型	办卡费用/元	有效期	优惠方式
A类	40	1年	每杯打九折
B类	80	1年	每杯打八折
C类	130	1年	一次性购买2杯，第二杯半价

例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（　　）

A．购买A类会员卡    B．购买B类会员卡    

C．购买C类会员卡    D．不购买会员卡

7．（2021•盘龙区一模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人分银子，根据题意所列方程正确的是（　　）

A．7x+4＝9x﹣8    B．7（x+4）＝9（x﹣8）    

C．7x﹣4＝9x+8    D．7（x﹣4）＝9（x+8）

8．（2021•北京模拟）二元一次方程组的解是（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（2021•盘龙区一模）把不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

10．（2021•海淀区校级一模）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　）

A．2    B．2.5    C．3    D．3.5

二．填空题

11．（2021•西城区校级模拟）新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，若设甲厂每天生产口罩x万只，根据题意可列出方程：　   　．

12．（2021•西城区校级三模）某活动小组购买了3个篮球和4个足球，一共花费330元，其中篮球的单价比足球的单价少5元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　   　．

13．（2021•朝阳区三模）某公园的门票价格如表：

购票人数	1～50	51～100	100以上
门票价格	13元/人	11元/人	9元/人

现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a＝　   　；b＝　   　．

14．（2021•昌平区二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个问题“假令黄金九，白银一十一，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”

译文：A袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），B袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，A袋比B袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？

设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，请根据题意列方程组：　   　．

15．（2021•门头沟区二模）某租赁公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金标准如下：

客车类型	载客量（人/辆）	租金（元/辆）
A型	45	400
B型	30	280

如果某学校计划组织195名师生到培训基地参加社会实践活动，那么租车的总费用最低为　   　元．

16．（2021•密云区二模）某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．如表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．

项目

得分项目

学生	七巧拼图	趣题巧解	数学应用	魔方复原	折算后总分
甲	66	95		68
乙	66	80	60	68	70
丙	66	90	80	68	80

据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y，请用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为　   　；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得　   　分．

17．（2021•门头沟区二模）方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”

译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？

设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为　   　．

18．（2021•平谷区二模）图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为　   　．

19．（2021•西城区二模）如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50cm的大矩形，设每个小矩形的长为xcm，宽为ycm，则可以列出的方程组是　   　．

20．（2021•丰台区二模）不等式组的所有整数解是　   　．

三．解答题

21．（2021•昌平区模拟）本题给出解不等式组：的过程，请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得　   　；

（2）解不等式②，得　   　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）此不等式组的解集为　   　．

22．（2021•西城区校级三模）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．

23．（2021•西城区校级模拟）关于x的一元二次方程𝑥2﹣3𝑥+𝑘＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（𝑚﹣1）𝑥2+𝑥+𝑚﹣3＝0与方程𝑥2﹣3𝑥+𝑘＝0有一个相同的根，求此时m的值．

24．（2021•西城区校级三模）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根．

25．（2021•怀柔区模拟）解不等式组：．

26．（2021•怀柔区模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．

参

一．选择题

1．解：解方程，得

x＝2．

∵关于x的方程3x＝2x+a的解与的解相同，

∴把x＝2代入3x＝2x+a，得

3×2＝2×2+a，

解得a＝2．

故选：B．

2．解：A、f（1）＝[]﹣[]＝0﹣0＝0，故选项A正确，不合题意；

B、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以B选项的结论正确，不合题意；

C、f（k+4）＝[]﹣[]＝[+1]﹣[+1]＝[]﹣[]＝f（k），故选项C正确，不合题意；

D、当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项D错误，符合题意；

故选：D．

3．解：，

①×2﹣②得：3m＝﹣9，

解得：m＝﹣3，

把m＝﹣3代入①得：n＝﹣2，

则方程组的解为．

故选：A．

4．解：，

由①得：x≥﹣2，

由②得：x＜2，

则不等式组的解集为﹣2≤x＜2．

故选：A．

5．解：依题意，得：．

故选：C．

6．解：设一年内在便利店购买咖啡x次，

购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×10）x＝（40+18x）元；

购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×10）x＝（80+16x）元；

购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；

把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，

把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，

则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．

故选：C．

7．解：设有x人分银子，

依题意，得：7x+4＝9x﹣8．

故选：A．

8．解：，

①+②得；2x＝0，

解得：x＝0，

把x＝0代入①得：y＝2，

则方程组的解为，

故选：A．

9．解：，

由①得，x≥﹣3，

由②得，x＜1，

故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．

在数轴上表示为：

．

故选：C．

10．解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝12﹣4×（a﹣2）＞0，

解得a＜．

观察选项，只有A选项符合题意．

故选：A．

二．填空题（共10小题）

11．解：设乙厂每天生产该种口罩x万只，则甲厂每天生产该种口罩（x+5）万只，

依题意，得：，

故答案为：．

12．解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．

故答案是：．

13．解：∵＝99，＝117，

∴1≤b≤50，51＜a≤100，

若a+b≤100时，

由题意可得：，

∴（不合题意舍去），

若a+b＞100时，

由题意可得，

∴，

故答案为：70，40．

14．解：依题意，得：．

故答案为：．

15．解：设租赁A型客车x辆，租赁B型客车y辆，依题意有

45x+30y≥195，

∵x，y都为非负整数，

∴0≤x≤5，0≤y≤7，

∵满座情况多租赁A型客车租车的总费用最低，

∴x＝3，y＝2，

∴租车的总费用最低为400×3+280×2＝1760（元）．

故答案为：1760．

16．解：用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为80x+60y＝70﹣20；

依题意有，

解得，

设甲的“数学应用”项目获得z分，依题意有

95×0.4+0.3z≥85﹣20，

解得z≥90．

故甲的“数学应用”项目至少获得90分．

故答案为：80x+60y＝70﹣20；90．

17．解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，

故答案为：．

18．解：由图形可列出关于x，y的方程组为，

故答案为：．

19．解：依题意，得：．

故答案为：．

20．解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣，

则不等式组的解集为﹣＜x≤1，所以不等式组的整数解为0，1．

故答案为：0，1．

三．解答题（共6小题）

21．解：

（1）解不等式①，得：x≥2；

（2）解不等式②，得：x＞﹣1；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）此不等式组的解集为x≥2．

故答案为：x≥2、x＞﹣1、x≥2．

22．解：，

解不等式①得：x≥﹣3，

解不等式②得：x＜，

所以不等式组的解集为：﹣3≤x，

所以不等式组的所有非负整数解为：0，1．

23．解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，

解得k≤；

（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程𝑥2﹣3𝑥+𝑘＝0变形为方程𝑥2﹣3𝑥+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（𝑚﹣1）𝑥2+𝑥+𝑚﹣3＝0得m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；

当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（𝑚﹣1）𝑥2+𝑥+𝑚﹣3＝0得4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，不符合题意，舍去，

所以m的值为．

24．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0，

解得：m≥﹣，

即m的取值范围是m≥﹣；

（2）∵由（1）知：当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，

∴取m＝1，

则方程为x2+3x＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝0，

即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．

25．解：由2（1﹣x）≤3，得：x≥﹣．

由，得：x＜3．

∴不等式组的解集是≤x＜3．

26．解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．

∵12﹣4m≥0，

∴m≤3，m≠2．

（2）∵m≤3且m≠2，

∴m＝1或3，

∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．

当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．