黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1﹣x＞0}，则如图阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}    B．{x|x≤1}    C．{x|0＜x≤1}    D．{x|1≤x＜2}

2．对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角的充要条件是（　　）

A．①③    B．③⑤    C．①⑥    D．②④

3．若a＞b，则下列结论正确的是（　　）

A．ln（a﹣b）＞0    B．2a＞2b    C．|a|＞|b|    D．

4．若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（　　）

A．a＞b＞c    B．b＞a＞c    C．c＞a＞b    D．b＞c＞a

5．将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（　　）

A．    B．    

C．    D．

6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：f（t）＝，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为（　　）（参考数据：e1.1≈3）

A．38    B．40    C．45    D．47

7．已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　）

A．1    B．3    C．0    D．

二、多选题（共4小题）.

9．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）

A．f（x）＝x    

B．f（x）＝tanx    

C．f（x）＝    

D．f（x）＝3x﹣3﹣x

10．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（　　）

A．2sin15°sin75°    

B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°    

C．2cos215°﹣1    

D．

11．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则（　　）

A．f（0）＝    

B．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称    

C．函数f（x）在（，）上单调递增    

D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为

12．已知f（x）＝，（常数k≠0），则（　　）

A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减    

B．当时，f（x）没有最小值    

C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）    

D．当k＝﹣3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

13．函数f（x）＝的定义域是　   　．

14．已知a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则的最小值为　   　．

15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则f（2020）＝　   　．

16．已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是　   　，的最大值是　   　．

四、解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知角α的终边上一点P（m，），且cosα＝﹣．

（Ⅰ）计算m及tanα；

（Ⅱ）求的值．

18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x2．

（1）求f（x）的解析式，并补全f（x）的图象；

（2）求使不等式f（m）﹣f（1﹣2m）＞0成立的实数m的取值范围．

19．（12分）已知tan（α﹣β）＝﹣7，cosα＝﹣，其中α∈（0，π），β∈（0，π）．

（1）求tanβ的值；

（2）求α+β的值．

20．（12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：

Q＝av3+bv2+cv，Q＝0.5v+a，Q＝klogav+b．

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

21．（12分）已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈[，]时，求f（x）的最值及取到最值时x的值；

（3）若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并求tan（x1+x2）的值．

22．（12分）已知函数f（x）＝是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．

（1）求函数f（x）的解析式，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；

（2）令h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]，设a＞0，若对任意b∈[，1]，当x1，x2∈[b，b+1]时，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤ln4，求实数a的取值范围．

参

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1﹣x＞0}，则如图阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}    B．{x|x≤1}    C．{x|0＜x≤1}    D．{x|1≤x＜2}

【分析】先求出集合A，B，图阴影部分表示的集合为：A∩∁UB，利用集合的基本运算即可求出结果．

解：A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，

图阴影部分表示的集合为：A∩∁UB＝{x|0＜x＜2}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x＜2}，

故选：D．

2．对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角的充要条件是（　　）

A．①③    B．③⑤    C．①⑥    D．②④

【分析】利用三角函数值在各个象限的符号即可判断出结论．

解：θ为第二象限角的充要条件是：①sinθ＞0，④cosθ＜0，⑥tanθ＜0，

故选：C．

3．若a＞b，则下列结论正确的是（　　）

A．ln（a﹣b）＞0    B．2a＞2b    C．|a|＞|b|    D．

【分析】直接利用不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．

解：由于a＞b，所以a﹣b＞0，

对于A：当a﹣b＞1时，选项A才成立，故A错误；

对于B：由于a＞b，所以2a＞2b，故B正确；

对于C：当a＞b＞0时，选项C才成立，故C错误；

对于D：当a＝0，b＝﹣2时，选项D错误．

故选：B．

4．若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（　　）

A．a＞b＞c    B．b＞a＞c    C．c＞a＞b    D．b＞c＞a

【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．

解：∵a＝e0.5＞1，b＝ln2∈（0，1），c＝log20.2＜0，

∴a＞b＞c．

故选：A．

5．将函数y＝sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y＝sin[（x+）﹣]，整理后答案可得．

解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

可得函数y＝sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，

得函数y＝sin[（x+）﹣]，即y＝sin（x﹣），

故选：C．

6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：f（t）＝，当f（t）＝0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为（　　）（参考数据：e1.1≈3）

A．38    B．40    C．45    D．47

【分析】根据函数模型：f（t）＝，取f（t）＝0.1，求解t值得结论．

解：由题意，＝0.1，即1+e﹣0.22（t﹣50）＝10，

得e﹣0.22（t﹣50）＝9，

而e﹣0.22（t﹣50）＝e1.1×（﹣0.2）（t﹣50）＝（e1.1）﹣0.2（t﹣50），

又e1.1≈3，∴3﹣0.2（t﹣50）＝9，即﹣0.2（t﹣50）＝2，

得t﹣50＝﹣10，即t＝40．

故选：B．

7．已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差π的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论．

解：∵，

∴，

∴．

故选：C．

8．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　）

A．1    B．3    C．0    D．

【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．

解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，

则M（x）＝，

当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，

当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，

综上：函数的最小值为1，

故选：A．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）

A．f（x）＝x    

B．f（x）＝tanx    

C．f（x）＝    

D．f（x）＝3x﹣3﹣x

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，f（x）＝＝，不是奇函数，不符合题意，

对于B，f（x）＝tanx，是正切函数，不是增函数，不符合题意，

对于C，f（x）＝，在定义域上既是奇函数又是增函数，符合题意，

对于D，f（x）＝3x﹣3﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且在R上为增函数，符合题意，

故选：CD．

10．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（　　）

A．2sin15°sin75°    

B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°    

C．2cos215°﹣1    

D．

【分析】求出sin（﹣π）的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D．

解：sin（﹣）＝sin（﹣2π+）＝sin＝．

对于A，2sin15°sin75°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝；

对于B，cos18°cos42°﹣sin18°sin42°＝cos（18°+42°）＝cos60°＝；

对于C，2cos215o﹣1＝cos30°＝；

对于D，因为tan45°＝＝1，可得＝．

∴与sin（﹣）的值相等的是ABD．

故选：ABD．

11．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，则（　　）

A．f（0）＝    

B．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称    

C．函数f（x）在（，）上单调递增    

D．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为

【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

解：∵函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x＝对称，

∴3×+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，函数f（x）＝sin（3x﹣）．

故有f（0）＝﹣，故A错误；

令x＝，求得f（x）＝0，可得函数f（x）的图象关于（，0）中心对称，故B正确；

当x∈（，），3x﹣∈（0，），函数f（x）没有单调性，故C错误；

若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则f（x1）和f（x2）中，一个最大，另一个最小，

|x1﹣x2|的最小值•＝，故D正确，

故选：BD．

12．已知f（x）＝，（常数k≠0），则（　　）

A．当k＞0时，f（x）在R上单调递减    

B．当时，f（x）没有最小值    

C．当k＝﹣1时，f（x）的值域为（0，+∞）    

D．当k＝﹣3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0

【分析】针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确．

解：选项A：当k＞0时，当x≥1时，函数单调递减，

但是f（1）＝2k+2＞2＞1，而当x趋近于1时，﹣x+2趋近于1，

所以函数在R上不单调，A错误，

选项B：当k＞﹣时，当x＜1时，函数显然没有最小值，

则①当﹣＜k＜0时，此时x≥1时，＞＝1，即函数此时没有最小值，

②当k＞0时，＞2，此时函数仍然没有最小值，

综上，当k＞﹣时，函数没有最小值，B正确，

选项C：当k＝﹣1时，

当x≥1时，f（x）＝﹣+1∈[0，1），

当x＜1时，f（x）＝﹣x+2＞1，

所以此时函数的值域为（0，1）∪（1，+∞），C错误，

选项D：k＝﹣3时，f（x）＝，

当x≥1时，f（x）＝﹣﹣1∈[﹣4，﹣1），

当x＜1时，f（x）＝﹣x+2∈（1，+∞），显然有（1，4]⊆（1，+∞），

则对任意x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）＝0，D正确，

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

13．函数f（x）＝的定义域是　（0，2]　．

【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．

解：1﹣log2x≥0，log2x≤1＝log22，故0＜x≤2．

故答案为：（0，2]

14．已知a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则的最小值为　9　．

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解：因为a＞0，b＞0，且a+4b＝1，

则＝＝5+＝9，

当且仅当且a+4b＝1，即b＝，a＝时取等号，

则的最小值9．

故答案为：9．

15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则f（2020）＝　　．

【分析】先由函数图象求出ω，Φ，得到函数f（x）的解析式，再求f（2020）的值．

解：由函数图象可知＝3﹣1，得T＝8，

＝8，解得ω＝，

由函数图象知函数f（x）过点（3，0），

所以0＝sin（×3+Φ），

所以Φ＝kπ，k∈Z

Φ＝﹣+kπ，k∈Z

由因为Φ∈[0，2π），

所以Φ＝，

f（x）＝sin（），

所以f（2020）＝sin（）＝sin（505π+）＝﹣sin＝﹣．

故答案为：﹣．

16．已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是　1　，的最大值是　4　．

【分析】作出函数f（x）的图象，由图象观察即可得到a的最小值，同时x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，x4∈[2，4），由此即可求得的最大值．

解：作函数f（x）的图象如下图所示：

由图象可知，要使方程f（x）＝a有四个不同的解，则需1≤a＜2，故a的最小值为1；

由二次函数的对称性可知，x1+x2＝﹣2，由对数函数的图象及性质可知，，则log0.5x3＝﹣log0.5x4，x3x4＝1，

∴，

而函数在[2，4]上为减函数，故其最大值为，

即的最大值是4．

故答案为：1，4．

四、解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知角α的终边上一点P（m，），且cosα＝﹣．

（Ⅰ）计算m及tanα；

（Ⅱ）求的值．

【分析】（Ⅰ）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值，可得tanα的值．

（Ⅱ）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．

解：（Ⅰ）∵角α的终边上一点P（m，），且cosα＝﹣＝，∴m＝﹣1，

∴tanα＝＝﹣．

（Ⅱ）＝＝＝＝﹣．

18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x2．

（1）求f（x）的解析式，并补全f（x）的图象；

（2）求使不等式f（m）﹣f（1﹣2m）＞0成立的实数m的取值范围．

【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，再利用f（x）＝f（﹣x）即可得x＜0时f（x）的解析式，从而可得函数f（x）的解析式，利用函数的性质即可补全图象；

（2）结合函数的奇偶性及单调性将不等式转化为|m|＞|1﹣2m|，解之即可得结论．

解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）＝﹣x3+x2，

又因为f（x）是偶函数，

所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣x3+x2，

所以f（x）＝，

图象见右图．

（2）因为f（x）为偶函数，所以原不等式等价于f（|m|）＞f（|1﹣2m|），

又由（1）的图象可知，f（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以|m|＞|1﹣2m|，

两边平方得m2＞1﹣4m+4m2，即3m2﹣4m+1＜0，

解得＜m＜1，

所以实数m的取值范围是{m|＜m＜1}．

19．（12分）已知tan（α﹣β）＝﹣7，cosα＝﹣，其中α∈（0，π），β∈（0，π）．

（1）求tanβ的值；

（2）求α+β的值．

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可．

（2）利用正切的两角和的三角函数，结合角的范围，求解角的大小即可．

解：（1）因为，α∈（0，π），

所以……（2分）

所以……（4分）

所以，……（6分）

（2）……（8分）

因为，α∈（0，π），所以，

因为，β∈（0，π），所以，

所以……（10分）

所以……（12分）

20．（12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：

Q＝av3+bv2+cv，Q＝0.5v+a，Q＝klogav+b．

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

【分析】（1）由表中v，Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；

（2）利用函数配方求最值可得答案．

解：（1）若选择函数模型Q＝0.5v+a，则该函数在v∈[0，3上为单调减函数，

这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，

若选择函数模型Q＝klogav+b，须y＞0，这与试验数据在v＝0时有意义矛盾，

所以不选择该函数模型；

从而只能选择函数模型Q＝av3+bv2+cv，由试验数据得，

a+b+c＝0.7，①

8a+4b+2c＝1.6，②

27a+9b+3c＝3.3，③

联立①②③解得：a＝0.1，b＝﹣02，c＝0.8；

故所求函数解析式为：Q＝0.1v3﹣0.2v2+0.8v，（0≤v≤3）

（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元）

则所需时间为（小时），其中：0＜ν≤3，

结合（1）知，y＝（0.1v3﹣0.2v2+0.8v）

＝0.3[（v﹣1）2+7]

所以当ν＝1时，ymin＝2.1

答：（1）相应的函数解析式：Q＝0.1v3﹣0.2v2+0.8v，（0≤v≤3）；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；

21．（12分）已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当x∈[，]时，求f（x）的最值及取到最值时x的值；

（3）若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并求tan（x1+x2）的值．

【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

（2）当x∈[，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时对应的x的值．

（3）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点；可求m的范围，结合三角函数的图象可知，x1，x2，关于对称轴是对称的，可知x1+x2，即可求tan（x1+x2）的值．

解：函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+，

化简可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+＝sin2x﹣2（+cos2x）+＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），

（1）函数的最小正周期T＝＝π，

由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，

可得函数的单调递增区间为[：kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）由于≤x≤，可得﹣≤2x﹣≤，

当2x﹣＝，即x＝时，f（x）取得最大值1；

当2x﹣＝﹣，即x＝﹣时，f（x）取得最小值﹣2．

（3）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1′，x2′，转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点，

令u＝2x﹣，∵x∈[0，]，

∴u∈[﹣，]，

可得f（x）＝sinu的图象（如图）．

从图可知：m∈[，2）时，函数f（x）与函数y＝m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′．

故得实数m的取值范围是m∈[，2），

由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：

那么函数在[0，]的对称轴x＝，

由于：x1′+x2′＝，

那么：tan（x1′+x2′）＝tan＝﹣．

22．（12分）已知函数f（x）＝是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．

（1）求函数f（x）的解析式，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；

（2）令h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]，设a＞0，若对任意b∈[，1]，当x1，x2∈[b，b+1]时，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤ln4，求实数a的取值范围．

【分析】（1）根据题意可得f（1）＝2，即，解得a，b，进而可得函数f（x）的解析式，进而有单调性得定义证明函数f（x）的单调性．

（2）由（1）可得h（x）＝ln（+a），进而得h（x）在[b，b+1]上为减函数，推出h（x）max，h（x）min，所以问题转化为ln（+a）﹣ln（+a）≤ln4，

即3ab2+3（a+1）b﹣1≥0，对任意b∈[，1]成立，只需求出函数y＝3ab2+3（a+1）b﹣1在b∈[，1]上的最小值，即可．

解：（1）因为f（﹣1）＝﹣2，且f（x）是奇函数，

所以f（1）＝2，

所以，解得，

所以f（x）＝x+，

函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝（x1﹣x2）（），

因为x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，

所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，

所以x1x2﹣1＜0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，

任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝（x1﹣x2）（），

因为x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，

所以x1﹣x2＜0，1＜x1x2，

所以x1x2﹣1＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．

（2）由（1）可得h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]＝ln[x+﹣x+a]＝ln（+a），

不妨令b≤x1≤x2≤b+1，则

+a＞+a，

即函数h（x）＝ln（+a）在[b，b+1]上为减函数，

所以g（x）max＝ln（+a），g（x）min＝ln（+a），

因为当x1，x2∈[b，b+1]，满足|h（x1）﹣h（x2）|≤ln4，

故只需ln（+a）﹣ln（+a）≤ln4，

即3ab2+3（a+1）b﹣1≥0，对任意b∈[，1]成立，

因为a＞0，所以函数y＝3ab2+3（a+1）b﹣1在b∈[，1]上单调递增，

b＝时，y有最小值，a+（a+1）﹣1＝﹣，

由﹣≥0，得a≥，

故a的取值范围为[，+∞）．