山东省济南市历城区八年级(上)期末数学试卷

期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（4分）化简的结果是（　　）

A．﹣3      B．3      C．±3     D．

2．（4分）在，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（　　）

A．      B．      C．0       D．﹣2

3．（4分）下面四个   应用图标中，属于中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（4分）下列计算，正确的是（　　）

A．﹣=      B．|﹣2|=﹣      C． =2       D．（）﹣1=2

5．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△DBE的周长是（　　）

A．4 cm    B． cm    C． cm    D．4cm

6．（4分）方程组的解中与y的值相等，则等于（　　）

A．2    B．1    C．3    D．4

7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．40°    B．45°    C．50°    D．60°

8．（4分）一次函数y=b满足b＞0，且y随的增大而减小，则此函数的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

9．（4分）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．3，2    B．2，3    C．2，2    D．3，3

10．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（　　）

A．45°      B．60°     C．70°      D．65°

11．（4分）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为（　　）

A．93    B．9    C．186    D．18

12．（4分）如图，点，3），则方程2=a4的解为=　   　．

16．（4分）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点）与点．

17．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　   　．

18．（4分）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点E在CA的延长线上，E，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（m）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题：

（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是　   　（填l1或l2）；

甲的速度是　   　m/h；乙的速度是　   　m/h．

（2）甲出发后多少时间两人恰好相距15m

25．（10分）【操作发现】

（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请探究结果：

①直接写出∠EAF的度数=　   　度；若旋转角∠BCD=α°，则∠AEF=　   　度（可以用含α的代数式表示）；

②DE与EF相等吗请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．

①直接写出∠EAF的度数=　   　度；

②若AE=1，BD=2，求线段DE的长度．

26．（10分）如图，将边长为8的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．

（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若，则△DBE的周长是（　　）

A．4 cm    B． cm    C． cm    D．4cm

【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DE=CD，

又∵AC=BC，AC=AE，

∴AC=BC=AE，

∴△DBE的周长=DEBDEB=CDBDEB=BCEB=AEEB=AB，

∵AB=4cm，

∴△DBE的周长=4cm．

故选：A．

6．（4分）方程组的解中与y的值相等，则等于（　　）

A．2    B．1    C．3    D．4

【解答】解：根据题意得：y=，

代入方程组得：，

解得：，

故选：B．

7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．40°    B．45°    C．50°    D．60°

【解答】解：∵直线a∥b，

∴∠1=∠CBA，

∵∠1=40°，

∴∠CBA=40°，

∵AC⊥AB，

∴∠2∠CBA=90°，

∴∠2=50°，

故选：C．

8．（4分）一次函数y=b满足b＞0，且y随的增大而减小，则此函数的图象不经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【解答】解：根据y随的增大而减小得：＜0，又b＞0，则b＜0，

故此函数的图象经过第二、三、四象限，

即不经过第一象限．

故选：A．

9．（4分）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．3，2    B．2，3    C．2，2    D．3，3

【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；

处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．

故选：B．

10．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（　　）

A．45°    B．60°    C．70°    D．65°

【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，

∵∠AOB=15°，

∴∠AOD=45°15°=60°，

故选：B．

11．（4分）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为（　　）

A．93    B．9    C．186    D．18

【解答】解：观察图象可知，O12在直线y=﹣时，

OO12=6•OO2=6（12）=186，

∴O12的横坐标=﹣（186）•cos30°=﹣9﹣9，

O12的纵坐标=OO12=93，

故选：A．

12．（4分）如图，点，3），则方程2=a4的解为=　　．

【解答】解：∵A点在直线y=2上，

∴3=2m，解得：m=，

∴A点坐标为（，3），

∵y=2，y=a4，

∴方程2=a4的解即为两函数图象的交点横坐标，

∴方程2=a4的解为：=，

故答案为：．

16．（4分）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点）与点．

【解答】解：由题可得：点，

此时，点，

Rt△，

故答案为：．

17．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　6　．

【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，

∴BE=CE．

∵△EDC的周长为24，

∴EDDCEC=24，①

∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，

∴（ABACBC）﹣（AEEDDCAC）=（ABACBC）﹣（AEDCAC）﹣DE=12，

∴BEBD﹣DE=12，②

∵BE=CE，BD=DC，

∴①﹣②得，DE=6．

故答案为：6．

18．（4分）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点E在CA的延长线上，E，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（m）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题：

（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是　l1　（填l1或l2）；

甲的速度是　45　m/h；乙的速度是　30　m/h．

（2）甲出发后多少时间两人恰好相距15m

【解答】解：（1）∵甲先出发，

∴表示甲离A地的距离与时间关系的图象是l1，

甲的速度是：90÷2=45m/h，乙的速度是：90÷（﹣）=90÷3=30m/h，

故答案为：l1，45，30；

（2）设甲对应的函数解析式为y=ab，

，得，

∴甲对应的函数解析式为y=﹣4590，

设乙对应的函数解析式为y=cd，

，得，

即乙对应的函数解析式为y=30﹣15，

∴|（﹣4590）﹣（30﹣15）|=15，

解得，1=，2=，

答：甲出发后或时两人恰好相距15m．

25．（10分）【操作发现】

（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请探究结果：

①直接写出∠EAF的度数=　90　度；若旋转角∠BCD=α°，则∠AEF=　2α　度（可以用含α的代数式表示）；

②DE与EF相等吗请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．

①直接写出∠EAF的度数=　120　度；

②若AE=1，BD=2，求线段DE的长度．

【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，

∵∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中，，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，

∴∠EAF=∠BAC∠CAF=90；

②DE=EF；理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，

∴∠FCE=60°﹣30°=30°，

∴∠DCE=∠FCE，

在△DCE和△FCE中，，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF；

（2）①∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，

∵∠DCF=60°，

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中，，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF=∠B=60°，

∴∠EAF=∠BAC∠CAF=120°；

②AE2DB2=DE2，理由如下：

∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，

∴∠FCE=90°﹣45°=45°，

∴∠DCE=∠FCE，

在△DCE和△FCE中，，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF，

在Rt△AEF中，AE2AF2=EF2，

又∵AF=DB，

∴AE2DB2=DE2．

∵AE=1，BD=2，

∴DE=．

故答案为：（1）90；2α；（2）120．

26．（10分）如图，将边长为8的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．

（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．

①当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度；

②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则三线段QN，NP，PD 的和（即QNNPPD）是否存在最小值若存在，请直接写出最小值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）AO=2OD，

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，

∴AO=OB，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BDO=90°，

∴OB=2OD，

∴OA=2OD；

（2）①如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

则此时PNPD的长度取得最小值，

∵BE垂直平分DD′，

∴BD=BD′，

∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等边三角形，

∴BN=BD=2，

∵∠PBN=30°，

∴=，

∴PB=；

②如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，

连接Q′D′，即为QNNPPD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，

∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，

∴∠D′BQ′=90°，

∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′==．

∴QNNPPD的最小值=．