数列求和习题及答案

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．在等比数列{an} (n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为(　　)

A．2－                  B．2－

C．2－                  D．2－

2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1              B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2              D．2n＋n－2

3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(　　)

A．126      B．130      C．132      D．134

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)

A．200      B．－200      C．400      D．－400

5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为(　　)

A. n(n＋1)(n＋2)          B. n(n＋1)(2n＋1)

C. n(n＋2)(n＋3)          D. n(n＋1)(n＋2)

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.

7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.

8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.

9．设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.

11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差

    中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n的值．

12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

答案    1.B        2.C        3.C        4.B        5.A

6. (4n－1)        7. n－1        8. 　        9.10 100

10. (1)解  由已知得(n≥2)．

故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)．

故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.

又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.

(2)证明　∵bn＝＝－.

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝＋＋…＋

＝1－<1.

11解  (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0.

由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28，                        ①

a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)．                                ②

②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，

即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.

∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n.

(2)由(1)得bn＝－n·2n，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)．

设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③

则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1.④

由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1

＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，

∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2.

∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2.

要使Sn＋n·2n＋1>50成立，

即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50，即2n>26.

∵24＝16<26,25＝32>26，且y＝2x是单调递增函数，

∴满足条件的n的最小值为5.

12解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，

整理得2a1d＝d2.

∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)．

∴an＝2n－1 (n∈N*)．

(2)bn＝＝＝，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝＝.

假设存在整数t满足Sn>总成立，

又Sn＋1－Sn＝－＝>0，

∴数列{Sn}是单调递增的．

∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.

又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.

数列求和练习2

1．求下列数列的前项和：

（1）5，55，555，5555，…，，…； 

（2）；

（3）；                     

（4）；

（5）；            

（6）．

2．已知数列的通项，求其前项和．

数列求和练习2参

解：（1）

．

（2）∵，

∴．

（3）∵

∴

．

（4），

   当时，…，

   当时，…，  

…，

  两式相减得…，

∴．

（5）∵，

 ∴ 原式……．

（6）设，

  又∵，

 ∴，．

2．已知数列的通项，求其前项和．

解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；

当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，

∴，

当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， 

∴，

所以，．