高中概率知识点、考点、易错点归纳

3.1．随机事件的概率

3.1.1 随机事件的概率

1、必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。

2、不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。

3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S确实定事件。

4、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。

5、频数：在一样条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。

6、频率：事件A出现的比例。

7、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

3.1.2 概率的意义

1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比拟准确地预测随机事件发生的可能性。

2、游戏的公平性：抽签的公平性。

3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大〞可以作为决策的准那么。

——极大似然法、小概率事件

4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的时机是70%〞。

5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。

6、遗传机理中的统计规律。

3.1.3 概率的根本性质

1、事件的关系与运算

〔1〕包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，那么事件B一定发生，称事件B包含事件A〔或事件A包含于事件B〕，记作。

不可能事件记作。

〔2〕相等。假设，那么称事件A与事件B相等，记作A=B。

〔3〕事件A与事件B的并事件〔和事件〕：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。

〔4〕事件A与事件B的交事件〔积事件〕：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

〔5〕事件A与事件B互斥：为不可能事件，即，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。

〔6〕事件A与事件B互为对立事件：为不可能事件，为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个根本性质

〔1〕.

〔2〕必然事件的概率为1..

〔3〕不可能事件的概率为0..

〔4〕事件A与事件B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。

〔5〕假设事件B与事件A互为对立事件，那么为必然事件，.

3.2 古典概型

3.2.1 古典概型

1、根本领件：

根本领件的特点：〔1〕任何两个事件是互斥的；

〔2〕任何事件〔除不可能事件〕都可以表示成根本时间的和。

2、古典概型：〔1〕试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；

〔2〕每个根本领件出现的可能性相等。

具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

3、公式：

3.2.2 〔整数值〕随机数的产生

如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？——书上例题。

3.3 几何概型

3.3.1 几何概型

1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度〔面积或体积〕成比例的概率模型。

2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：

3.3.2 均匀随机数的产生

常用的是上的均匀随机数，可以用计算器来产生0~1之间的均匀随机数。

本章知识小结

〔1〕在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

〔2〕通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

〔3〕通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率。

〔4〕了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括计算器产生随机数来进展模拟〕估计概率，初步体会几何概型的意义〔参见例3〕。

〔5〕通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

重难点的归纳：

重点：

1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．

2、理解古典概型及其概率计算公式．

3、关于几何概型的概率计算

4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．

难点：

1、理解频率与概率的关系.

2、设计和运用模拟方法近似计算概率．

3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．

〔二〕高考概率

概率考试容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互事件同时发生的概率．重复试验． 

考试要求：

〔1〕了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．

〔2〕了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的 概率。 

〔3〕了解互斥事件、相互事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．

〔4〕会计算事件在 n 次重复试验中恰好发生κ次的概率．

以下归纳9个常见考点：

解析概率与统计试题是高考的必考容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率 统计等知识为工具，以考察对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分 布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考察特点和命题趋向。

下面对其常见题型和考点进展解析。

考点 1 考察等可能事件概率计算。

在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m个，那么。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计n算公式。

高考常借助不同背景的材料考察等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例 1〔2004 XX〕从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.

(I)求所选3人都是男生的概率；

(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；

(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.

考点 2 考察互斥事件至少有一个发生与相互事件同时发生概率计算。

不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。

事件A〔或B〕是否发生对事件B〔或A〕发生的概率没有影响，那么A、B叫做相互事件，它们同时发生的事件为AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。

高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进展考察。

例 2.〔2005 全国卷Ⅲ〕设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。在某一小时，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，〔Ⅰ〕求甲、乙、丙每台机器在这个小时需要照顾的概率分别是多少；〔Ⅱ〕计算这个小时至少有一台需要照顾的概率。

考点 3 考察对立事件概率计算。

必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。用概率的减法公式

P(A)=1-P(A)计算其概率。

高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进展考察。

例 3．(2005 卷文〕甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为。

〔Ⅰ〕甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

〔Ⅱ〕甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

考点 4 考察重复试验概率计算。

假设n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，那么此试验叫做n次重复试验。假设在1次试验中事件A发生的概率为 P，那么在n次重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=。

高考结合实际应用问题考察n次重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

例 4．〔2005 卷〕某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号一样。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。从使用之日起每满1年进展一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

〔Ⅰ〕在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

〔Ⅱ〕在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；〔Ⅲ〕当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率〔结果保存两个有效数字〕

考点 5 考察随机变量概率分布与期望计算。

解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考察离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力。

例 5．〔2005 卷〕某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之最多有4次参加考试的时机，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否那么就一直考到第4次为止。如果明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求明在一年领到驾照的概率。

考点 6 考察随机变量概率分布列与其他知识点结合

1、考察随机变量概率分布列与函数结合。

例 6.〔2005 卷〕某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

〔Ⅰ〕求ξ的分布及数学期望；

〔Ⅱ〕记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增〞为事件A，求事件A的概率。

2、考察随机变量概率分布列与数列结合。

例 7 甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互事件，规那么如下：假设射击一次击中，原射击者继续射击，假设射击一次不中，就由对方接替射击。甲乙两人射击一次击中的概率均为7，且第一次由甲开场射击。

〔1〕求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。

〔2〕假设第n次由甲射击的概率为，求数列{}的通项公式；求lim，并说明极n→∞限值的实际意义。

3、考察随机变量概率分布列与线形规划结合。

例 8〔2005 卷〕某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。

〔Ⅰ〕甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙)；

〔Ⅱ〕一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在〔I〕的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

〔Ⅲ〕生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在〔II〕的条件下，y为何值时，z=xEξ + yEη x最大？最大值是多少？〔解答时须给出图示〕

考察随机变量概率分布列性质 性质应用 

考点 7 考察随机变量概率分布列性质应用。

离散型随机变量在某一围取值的概率等于它取这个围各个值的概率之和.，高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进展考察。

例 9(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需答复三个问题,竞赛规那么规定：每题答复正确得100分，答复不正确得0分。假设这名同学每题答复正确的概率均为0.8,且各题答复正确与否相互之间没有影响.。

①求这名同学答复这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；

②求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率。

考点 8 样本抽样识别与计算。

简单随机抽样，系统抽样，分层抽样得共同特点是不放回抽样，且各个体被抽取得概率相等，均为(N为总体个体数，n为样本容量)。系统抽样、分层抽样的实质分别是等距抽样与按比例抽样，只需按照定义，适用围和抽样步骤进展，就可得到符合条件的样本。

高考常结合应用问题，考察构照抽样模型，识别图形，搜集数据，处理材料等研究性学习的能力。

例 11 〔2005 年高考题〕某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的以下结论中，正确的选项是〔〕

A．②、③都不能为系统抽样

B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样

D．①、③都可能为分层抽样

考点 9 考察直方图。这是统计的知识，不是概率的吧？

例 12.〔2005 卷〕为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a、b的值分别为〔〕

A．0,27,78B．0,27,83 C．2.7,78 D．2.7,83

方法小结：

解决概率问题时，一定要根据有关概念，判断问题是否是等可能性事件、互斥事件、相互事件，还是某一事件在n次重复试验中恰好发生k次的情况，以便选择正确的计算方法，同时注意上述各类事件的综合问题，要全面考虑，特别是近几年高考概率与期望的综合，表达了高考对概率知识要求的进一步提高。下面仅以几个例题作以小结。

一、用排列组合求概率

例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数不能被3整除的概率为〔〕

(A)19/54(B)35/5 (C)38/54 (D)41/60

分析：等可能事件的概率关键是利用排列组合出根本领件数。

答案：B

点评：此题将等可能事件与对立事件的概率，以及分类讨论综合在一起，表达了知识交汇点的命题精神，是高考的热点。

二、互斥事件有一个发生的概率

例2某厂生产A产品,每盒10只进展包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下,从每盒10只中任意抽4只进展检验,如果次品数不超过1只,就认为合格,否那么就认为不合格,已经知道某盒A产品中有2只次品 

〔1〕求该盒产品被检验合格的概率 

〔2〕假设对该盒产品分别进展两次检验,求两次检验的结果不一致的概率 

分析：对一个复杂事件的概率可以分拆成几个互斥事件的概率或者转化为求其对立事件的概率。

点评：求相互事件同时发生的概率，要保证两者确是“相互〞事件。本例的“比赛型〞题，分析比拟简单，只要结合有关比赛规那么即可解决，此类题也是高考的热点题。

三、对立重复试验

例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为。

(1) 假设p=2/3，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;

(2) 假设该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18，求p的取值围。

分析：首末两个交通岗遇红灯的概率一样，其余3个交通岗遇红灯的概率也一样，可看作重复试验。

点评：要注意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异。对重复试验来说，前者的概率为

总结：概率初步的考题一般以〔1〕等可能事件；〔2〕互斥事件有一个发生；〔3〕相互事件同时发生；〔4〕重复试验为载体。有的考题可能综合多个概率题型；在等可能事件的概率计算中，关键有二：一是谁是一次试验〔一次事件所含的根本领件的总数〕；二是事件A所含根本领件数。当然，所有根本领件是等可能的是前提；善于将复杂的事件分解为互斥事件的和与事件的积是解题的关键。

〔三〕高考数学概率中的易错题辨析

一、概念理解不清致错

例1．抛掷一枚均匀的骰子，假设事件A：“朝上一面为奇数〞，事件B：“朝上一面的点数不超过3〞，求P〔A+B〕

错误解法1：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，∴P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕=

错因分析：事件A：朝上一面的点数是1，3，5；事件B：趄上一面的点数为1，2，3，很明显，事件A与事件B不是互斥事件。

即P〔A+B〕≠P〔A〕+P〔B〕，所以上解是错误的。实际上：

正确解法为：A+B包含：朝上一面的点数为1，2，3，5四种情况

∴P〔A+B〕=

错误解法2：事件A：朝上一面的点数为1，3，5；事件B：朝上一面的点数为1，2，3，即以A、B事件中重复的点数1、3

∴P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕－P〔A·B〕

=

错因分析：A、B事件中重复点数为1、3，所以P〔A·B〕=；这种错误解法在于简单地类比应用容斥原理致错

正确解答：P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕－P〔A·B〕

=

例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列，使，记 求且的概率。

错解：记事件A：，即前中，5项取值1，另3项取值－1

∴的概率

记事件B：，将分为两种情形：

〔1〕假设第1、2项取值为1，那么3，4项的取值任意

〔2〕假设第1项为1，第2项为－1，那么第3项必为1第四项任意

∴P〔B〕=

∴所求事件的概率为P=P〔A〕·P〔B〕=

错因分析：且是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互事件。对的概率是有影响的，所以解容许为：

正解：∵∴前4项的取值分为两种情形

①假设1、3项为1；那么余下6项中3项为1，另3项为-1即可。即；

②假设1、2项为正，为防止与第①类重复，那么第3项必为-1，

那么后5项中只须3项为1，余下2项为-1，即，

∴所求事件的概率为

二、有序与无序不分致错

例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。

求：〔1〕甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？

〔2〕甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？

错误解法：〔1〕甲从选择题抽到一题的结果为

乙从判断题中抽到一题的结果为

而甲、乙依次抽到一题的结果为

∴所求概率为：

错因分析：甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，所以应为。为防止错误，对于根本领件总数也可这样做：甲抽取一道题目的结果应为种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为种，所以

正确解答：

〔2〕错误解法：从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为种，所以都抽到判断题的概率为，所求事件的概率为

错因分析：指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都提到判断题的结果应为种，所以所求事件概率应为

说明：对于第〔2〕问，我们也可以用这样解答：

，这里启示我们，当根本领件是有序的，那么指定事件是有序的〔指定事件包含在根本领件中〕；当根本领件是无序的，那么指定事件也必无序。关键在于根本领件认识角度必须准确。

例4．8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率。

错解：将8支球队均分为A、B两组，共有种方法：A、B两组中有一组恰有两支弱队的分法为：先从3支弱队取2支弱队，又从5支强队取2支强队，组成这一组共有种方法，其它球队分在另一组，只有一种分法。

∴所求事件的概率为：。

错因分析：从根本领件的结果数来看，分组是讲求顺序的，那么指定事件：“A、B组中有一组有2支弱队〞应分为两种情形。即“A组有〞或“B组有〞，所以正确解答为：

正解：或

说明：这道题也可从对立事件求解：

3支弱队分法同一组共有：种结果。

∴所求事件概率为

三、分步与分类不清致错

例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次翻开房门的概率？

错误解法：由于此人第一次开房门的概率为，假设第一次未开，第2次能翻开房门的概率应为；所以此人第3次翻开房门的概率为。

错因分析：此人第3次翻开房门实际是第1次未翻开，第2次未翻开，第3次翻开“这三个事件的积事件〞 ，或者理解为“开房门是经过未开、未开、开〞这三个步骤，不能理解为此事件只有“开房门〞这一个步骤，所以，正确解容许为：

正解：第1次未翻开房门的概率为；第2次未开房门的概率为；第3次翻开房门的概率为，所求概率为：。

例5．某种射击比赛的规那么是：开场时在距目标100m处射击，假设命中记3分，同时停顿射击。假设第一次未命中，进展第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停顿射击；假设第2次仍未命中，还可以进展第3次射击，此时目标已在200m远处。假设第3次命中那么记1分，同时停顿射击，假设前3次都未命中，那么记0分。身手甲在100m处击中目标的概率为，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是的。求：射手甲得k分的概率为Pk，求P3，P2，P1，P0的值。

：设射手射击命中目标的概率P与目标距离之间的关系

为，由  

错误解法：

错因分析：求P2时，将第150m处射击命中目标的概率作为第2次命中目标的概率，隔离了第1次射击与第2次射击的关系，实际上，第2次射击行为的发生是在第1次未击中的前提下才作出的。

∴P2应为“第1次未击中，第2次击中〞这两个事件的积事件的概率。求P1时也如此。

正解：

四、考虑不周致错

例6．某运发动射击一次所得环数的分布列如下：

错误解法：的取值为8，9，10。=7，两次环数为7,7；=8，两次成绩为7，8或8，8；=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10。

∴

〔分布列略〕

错因分析：

，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，

两次环数分别为7,9〔或9,7〕；8,9〔或9,8〕，9.9   ∴

同理

例7．将n个球等可能地放入到N〔n×n〕个有编号的盒子中〔盒子中容纳球的个数不限〕。求A：某指定的n个盒子中恰有一球的概率。

错误解法：将n个球等可能地放入到N个盒子中，共有Nn种方法。

而指定的n个盆中各有一球的放法有：n!种，那么所求概率：

错因分析：这种解法不全面，如果球是有编号的，那么答案是对的。假设球是不可识别的，那么答案错了，假设球是不可识别的，那么假设考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球，为此，我们用“□〞表示一个盒子；用“○〞表示一个球，先将盒子按编号

五、混淆“互斥〞与“〞出错

例8．甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？

错解：设“甲恰好投中2次〞为事件A，“乙恰好投中2次〞为事件B，那么两人恰好投中2次为A+B。

所以P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕=。

错因分析：此题解答错误的原因是把相互同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次〞与“乙恰好投中2次〞的和。

正解：设“甲恰好投中2次〞为事件A，“乙恰好投中2次〞为事件B，那么两人恰好都投中2次为AB。

所以P〔AB〕=P〔A〕×P〔B〕=

六.混淆有放回与不放回致错

例9．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：

〔1〕恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；

〔2〕恰好到第k次3只次品全部被测出的概率的最大值和最小值。

错解：〔1〕P〔A〕=

〔2〕。

错因分析：错解〔1〕的错误的原因在于无视了“不放回摸球〞问题的每一次摸球是不的；而错解〔2〕的错误的原因那么在于无视了“不放回摸球〞问题的每一次摸球袋球的总数是变的〔比前一次少一个〕。

正解：〔1〕

〔2〕

当时，；

当时，。