新人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试

一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝x     B．y＝2－x

C．y＝logx  D．y＝

2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2)    B．(0,1)

C．(2，e)   D．(3,4)

3．若集合M＝{y|y＝2x}，P＝{x|y＝log2x－1}，则M∩P＝(　　)

A.  B.∪(1，＋∞)

C.  D.∪(1，＋∞)

4．函数f(x)＝的图象(　　)

A．关于原点对称  B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称  D．关于y轴对称

5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．cC．b6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A．[－1,2]    B．[0,2]

C．[1，＋∞)  D．[0，＋∞)

7．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

8．函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．(－∞，4]

C．[－2,4]    D．(－4,4]

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列计算正确的是(　　)

A.＝  B．2＝

C.＝  D．log3(－4)2＝4log32

10．对于函数f(x)定义域内的任意x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝lg x时，下述结论中正确的是(　　)

A．f(0)＝1  B．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)

C．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)  D.>0

11．下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)

A．f(x)＝3x－1  B．f(x)＝x2－2x＋1

C．f(x)＝log4x  D．f(x)＝ex－2

12．下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)＝在定义域上是减函数

B．函数f(x)＝2x－x2有且只有两个零点

C．函数y＝2|x|的最小值是1

D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．

14．已知函数f(x)＝log6(x＋1)，则f(1)＋f(2)＝________，f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)

15．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．

16．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．

四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：

(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；

(2)log3＋lg 25＋lg 4＋7.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(m2－m)<1成立，求实数m的取值范围．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>1，且a为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.

(1)求f(x)的表达式；

(2)求满足f(x)＝7时x的值．

20．(本小题满分12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间是200 h，而在1 ℃的温度下则是160 h.

(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；

(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．

21．(本小题满分12分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2,4]．

(1)设t＝logx，x∈[2,4]，求t的最大值与最小值；

(2)求f(x)的值域．

22．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

第四章单元测试卷

1．解析：易知函数y＝2－x，y＝logx，y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.

答案：A

2．解析：f(1)＝ln 2－2＝lnln 1＝0，

所以函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的大致区间是(1,2)．

答案：A

3．解析：集合M表示函数y＝2x的值域，为(0，＋∞)；集合P表示函数y＝log2x－1的定义域，则

解得x>且x≠1，故选D.

答案：D

4．解析：易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．

答案：D

5．解析：∵c＝0.30.2<0.30＝1，a＝log27>log24＝2,1答案：A

6．解析：f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1，或x>1，故选D.

答案：D

7．解析：当01时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y＝的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y＝loga的图象过定点且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.

答案：D

8．解析：因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以即－4答案：D

9．解析：＝＝，A错误；2＝＝，B正确；＝＝，C正确；log3(－4)2＝log316＝log324＝4log32，D正确．故选BCD.

答案：BCD

10．解析：对于A，函数的定义域为(0，＋∞)，故f(0)无意义，∴A错误；对于B，当x1＝1，x2＝1时，f(x1＋x2)＝f(2)＝lg 10，f(x1)·f(x2)＝lg 1·lg 1＝0，∴B错误；对于C，f(x1·x2)＝lg(x1·x2)＝lg x1＋lg x2＝f(x1)＋f(x2)，∴C正确；对于D，f(x)＝lg x在(0，＋∞)单调递增，则对任意的00；∴D正确．故选CD.

答案：CD

11．解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选ACD.

答案：ACD

12．解析：对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B，函数f(x)＝2x－x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，命题正确．故选CD.

答案：CD

13．解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．

答案：(2,3)

14．解析：∵f(x)＝log6(x＋1)，则f(1)＋f(2)＝log62＋log63＝log66＝1.

由f(x)>0可得log6(x＋1)>0，∴x＋1>1，∴{x|x>0}．故答案为：1；(0，＋∞)．

答案：1　(0，＋∞)

15．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．

当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)单调递减，

∴无解；

当0∴解得a＝.

∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，

∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即m的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

16．解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，

所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立．

又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．所以只要2≥b＋1成立即可，解得b≤1.

答案：(－∞，1]

17．解析：(1)原式＝(－1)×＋－＋1

＝＋(500)－10(＋2)＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝log33＋lg 100＋2＝－＋2＋2＝.

18．解析：(1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)，

∴f(2)＝1，即loga2＝1，解得a＝2，

因此，f(x)＝log2x(x>0)．

(2)f(m2－m)＝log2(m2－m)，

∵f(m2－m)<1且1＝log22，

∴log2(m2－m)该不等式等价为：

解得－1∴实数m的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．

19．解析：(1)令t＝ax>0，∵x∈[－1,1]，a>1，∴ax∈，

f(x)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，

故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3(舍负)，

∴f(x)＝32x＋2×3x－1.

(2)由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)(3x－2)＝0，

求得3x＝2，∴x＝log32.

20．解析：(1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，由题意可得：

解得

故函数解析式为y＝200×x.

(2)当x＝2 ℃时，y＝200×2＝128(h)．

当x＝3 ℃时，y＝200×3＝102.4(h)．

故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128 h和102.4 h.

21．解析：(1)因为函数t＝logx在[2,4]上是减函数，所以tmax＝log2＝－1，tmin＝log4＝－2.

(2)令t＝logx，x∈[2,4]，则g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]，因此当t＝－2，即x＝4时，f(x)max＝12；当t＝－1，即x＝2时，f(x)min＝7.因此，函数f(x)的值域为[7,12]．

22．解析：(1)因为f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)＝0，得b＝1.

又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

经检验a＝1，b＝1符合题意．

(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝.

因为x10.

又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0，

所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的减函数．

(3)因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，

所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)．

因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t)因为f(x)为R上的减函数，

所以t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立，

而3t2－2t＝32－≥－.

所以k<－.