...上册数学中考真题分类(解答题)专练:图形的相似(含答案)

图形的相似【答案解析】

1．（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．

（1）试证明DM⊥MG，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

2．（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：BD2＝AD•CD；

（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

3．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

4．（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE

＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．

（1）求证：BF＝CF；

（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．

5．（2019•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．

（1）求DE的长；

（2）求证：∠1＝∠DFC．

6．（2019•雅安）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．

（1）求证：OE＝OF；

（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．

7．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

8．（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

9．（2018•巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．

（1）画出△ABC；

（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：　   　；

（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：　   　．

10．（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．

请回答：∠ADB＝　   　°，AB＝　   　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．

11．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．

（1）求∠BDF的大小；

（2）求CG的长．

12．（2018•苏州）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．

（1）当AD＝3时，＝　   　；

（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．

问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

13．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．

（1）求证：EF＝AE﹣BE；

（2）连接BF，如果＝．求证：EF＝EP．

14．（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

15．（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．

（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

16．（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

参

1．（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．

∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，

∴DE∥AC∥GF，

∴∠EDM＝∠FHM，

∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，

∴△EDM≌△FHM（AAS），

∴DE＝FH，DM＝MH，

∵DE＝2FG，BG＝DG，

∴HG＝DG，

∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，

∴GM⊥DM，DM＝MG，

连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，

∵∠EBD＝∠DBF＝45°，

∴∠EBF＝90°，

∴EF＝＝a，

∵EM＝MF，

∴BM＝EF＝a，

∵HM＝DM，GH＝FG，

∴MG＝DF＝a，

∴＝＝．

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．

∵DO＝OA，DG＝GB，

∴GO∥AB，OG＝AB，

∵GF∥AC，

∴O，G，F共线，

∵FG＝AB，

∴OF＝AB＝DF，

∵GF∥AC，AC∥OF，

∴DE∥OF，

∴OD与EF互相平分，

∵EM＝MF，

∴点M在直线AD上，

∵GD＝GB＝GO＝GF，

∴四边形OBFD是矩形，

∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，

∵OM＝MD，OG＝GF，

∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，

易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，

∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，

∴＝＝．

2．证明：（1）∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD∽△BCD

∴

∴BD2＝AD•CD

（2）∵BM∥CD

∴∠MBD＝∠BDC

∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°

∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA

∴BM＝MD＝AM＝4

∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，

∴BD2＝48，

∴BC2＝BD2﹣CD2＝12

∴MC2＝MB2+BC2＝28

∴MC＝2

∵BM∥CD

∴△MNB∽△CND

∴，且MC＝2

∴MN＝

3．解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，

则由△GDC∽△EOC得，

即，

整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，

由△FBA∽△EOA得，

即，

整理得：1.6b＝2a﹣ax②，

将②代入①得：

3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，

∴a＝32，

即OE＝32，

答：楼的高度OE为32米．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴△EBF∽△EAD，

∴＝＝，

∴BF＝AD＝BC，

∴BF＝CF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CF，

∴△FGC∽△DGA，

∴＝，即＝，

解得，FG＝2．

5．（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，

∴∠DAF＝∠ACF，

∵AF平分∠DAC，

∴∠DAF＝∠CAF，

∴∠FAC＝∠AFC，

∴AC＝CF，

∵AB＝4，BC＝3，

∴＝＝5，

∴CF＝5，

∵AD∥CF，

∴△ADE∽△FCE，

∴，

设DE＝x，则，

解得x＝

∴；

（2）∵AD∥FH，AF∥DH，

∴四边形ADFH是平行四边形，

∴AD＝FH＝3，

∴CH＝2，BH＝5，

∵AD∥BH，

∴△ADG∽△HBG，

∴，

∴，

∴DG＝，

∵DE＝，

∴＝，

∴EG∥BC，

∴∠1＝∠AHC，

又∵DF∥AH，

∴∠AHC＝∠DFC，

∠1＝∠DFC．

6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，

∴∠OAE＝∠OCF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF；

（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，

则△AON∽△ACB，

∵OA＝OC，

∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，

∵ON∥BC，

∴△ONE∽△MBE，

∴＝，即＝，

解得，BE＝1．

7．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，

∴BE＝EC＝1，

∴AE＝＝，

∴EF＝，

∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；

（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

，

∴△ADG≌△FCG（AAS），

∴DG＝CG，

即点G为CD的中点；

②设CD＝2a，则CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴，

∴，

∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，

∴λ＝．

8．（1）证明：∵DE∥AC，

∴∠DEB＝∠FCE，

∵EF∥AB，

∴∠DBE＝∠FEC，

∴△BDE∽△EFC；

（2）解：①∵EF∥AB，

∴＝＝，

∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，

∴＝，

解得：BE＝4；

②∵＝，

∴＝，

∵EF∥AB，

∴△EFC∽△BAC，

∴＝（）2＝（）2＝，

∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．

9．解：（1）△ABC如图所示；

（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），

（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．

故答案为（﹣3，3），（6，6）．

10．解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB＝∠OAC＝75°．

∵∠BOD＝∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴＝＝．

又∵AO＝，

∴OD＝AO＝，

∴AD＝AO+OD＝4．

∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，

∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，

∴AB＝AD＝4．

故答案为：75；4．

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC＝∠BEA＝90°．

∵∠AOD＝∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴＝＝．

∵BO：OD＝1：3，

∴＝＝．

∵AO＝3，

∴EO＝，

∴AE＝4．

∵∠ABC＝∠ACB＝75°，

∴∠BAC＝30°，AB＝AC，

∴AB＝2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，

解得：BE＝4，

∴AB＝AC＝8，AD＝12．

在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，

解得：CD＝4．

11．解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，

∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，

∴∠ABD＝45°，

∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，

∴AB∥EF，

∴∠BDF＝∠ABD＝45°；

（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，

∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，

∵∠DAB＝90°，

∴∠ADE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ADE＝∠ACB，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∵AC＝8，AB＝AD＝10，

∴AE＝12.5，

由平移的性质得，CG＝AE＝12.5．

12．解：问题1：

（1）∵AB＝4，AD＝3，

∴BD＝4﹣3＝1，

∵DE∥BC，

∴，

∴＝＝，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

∴＝，即，

故答案为：；

（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m，

∴BD＝4﹣m，

∵DE∥BC，

∴＝＝，

∴＝＝，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

∴＝＝＝，

即＝；

解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，

∴△ADF∽△ABH，

∴＝，

∴＝＝＝，

即＝；

问题2：如图2，

解法一：如图2，分别延长BA、CD交于点O，

∵AD∥BC，

∴△OAD∽△OBC，

∴，

∴OA＝AB＝4，

∴OB＝8，

∵AE＝n，

∴OE＝4+n，

∵EF∥BC，

由问题1的解法可知：＝＝＝，

∵＝＝，

∴＝，

∴＝＝＝，即＝；

解法二：如图3，连接AC交EF于M，

∵AD∥BC，且AD＝BC，

∴＝，

∴S△ADC＝，

∴S△ADC＝S，S△ABC＝，

由问题1的结论可知：＝，

∵MF∥AD，

∴△CFM∽△CDA，

∴＝＝＝，

∴S△CFM＝×S，

∴S△EFC＝S△EMC+S△CFM＝+×S＝，

∴＝．

13．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠BEA＝∠AFD＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△ABE和△DAF中

，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE＝AF，

∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；

（2）如图，∵＝，

而AF＝BE，

∴＝，

∴＝，

∴Rt△BEF∽Rt△DFA，

∴∠4＝∠3，

而∠1＝∠3，

∴∠4＝∠1，

∵∠5＝∠1，

∴∠4＝∠5，

即BE平分∠FBP，

而BE⊥EP，

∴EF＝EP．

14．解：∵BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴＝，

∴＝，

∴AB＝17（m），

经检验：AB＝17是分式方程的解，

答：河宽AB的长为17米．

15．解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠ADC，

∴△BDE∽△CAD．

（2）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，

∵•AD•BD＝•AB•DE，

∴DE＝．

16．解：（1）结论：CF＝2DG．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠C＝90°，

∵DE＝AE，

∴AD＝CD＝2DE，

∵EG⊥DF，

∴∠DHG＝90°，

∴∠CDF+∠DGE＝90°，∠DGE+∠DEG＝90°，

∴∠CDF＝∠DEG，

∴△DEG∽△CDF，

∴＝＝，

∴CF＝2DG．

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝CD+DK．

由题意：CD＝AD＝10，ED＝AE＝5，DG＝，EG＝，DH＝＝，

∴EH＝2DH＝2，

∴HM＝＝2，

∴DM＝CN＝NK＝＝1，

在Rt△DCK中，DK＝＝＝2，

∴△PCD的周长的最小值为10+2．