浙江省杭州市--八年级(上)期中数学试卷(含答案)

1.下列图案中，是轴对称图形的有（　　）个．

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

2.下列语句是命题的是（　　）

A. 作直线AB的垂线    B. 在线段AB上取点C

C. 同旁内角互补    D. 垂线段最短吗？

3.已知等腰△两条边的长分别是3和6，则它的周长是（　　）

A. 12    B. 15    C. 12或15    D. 15或18

4.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（　　）

A.SSS   B. ASA    C. SSA    D. HL

5.若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）

A.     B.     

C.     D. 

6.下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）

A. 5    B. 2    C. 4    D. 8

7.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（　　）

A. P为、两角平分线的交点

B. P为AC、AB两边上的高的交点

C. P为的角平分线与AB的垂直平分线的交点

D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：

①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．

其中正确的结论为（　　）

A.     B.     

C.     D. 

9.△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）

A.     B. 或    C.     D. 5

10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

A.     B.     

C.     D. 

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______ ．

12.写出“对顶角相等”的逆命题______ ．

13.在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为______．

14.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是______ ．

15.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．

16.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）

18.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．

19.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．

①求证：△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

20.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

21.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．

（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．

22.阅读下列材料：

解答“已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：

解：∵x-y=2，x＞1，∴y+2＞1，即y＞-1，

又y＜0，∴-1＜y＜0．…①

同理得：1＜x＜2．…②

由①+②得-1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．

请按照上述方法，完成下列问题：

已知关于x、y的方程组的解都为非负数．

（1）求a的取值范围；

（2）已知2a-b=1，求a+b的取值范围；

（3）已知a-b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）

23.如图，△ABC中，∠C=90，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：根据轴对称图形的定义，可知第2个，第4个是轴对称图形，而第1个、第3个、第5个都不是轴对称图形．

故选B．

判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．

本题考查轴对称图形的识别，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

2.【答案】C

【解析】

解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；

B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；

C、符合命题的定义，是命题；

D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．

故选C．

根据命题的定义作答．

一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题．

3.【答案】B

【解析】

解：①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；

②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；

∴此等腰三角形的周长是15．

故选B．

由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的三边关系与三角形周长的定义求解即可．

本题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系，利用分类讨论思想求解是解答本题的关键．

4.【答案】D

【解析】

解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，

∴△ADO和△APO是直角三角形，

又∵OD=OP，AO=AO，

∴Rt△AOD≌△Rt△AOP（HL）.

故选D．

根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．

本题考查直角三角形全等的判定方法HL．

5.【答案】A

【解析】

解：根据不等式的性质可得：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

A、a-1＜b-1，故A选项是正确的；

B、a＞b，不成立，故B选项是错误的；

C、a＞-b，不一定成立，故C选项是错误的；

D、c的值不确定，故D选项是错误的．

故选A．

根据不等式的性质分析判断．

主要考查不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

6.【答案】B

【解析】

解：A.5，∵5不是偶数，且也不是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案A错误；

B.2，

∵2不是4的倍数，

∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，

故答案B正确；

C.4，

∵4是偶数，且是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案C错误；

D.8，

∵8是偶数，且也是4的倍数，

∴不能作为假命题的反例；

故答案D错误；

故选：B．

反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．

此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

7.【答案】C

【解析】

解：∵P到∠A的两边的距离相等，

∴P为∠A的角平分线；

∵PA=PB，

∴P为AB的垂直平分线，

∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．

故选：C．

首先根据P到∠A的两边的距离相等，应用角平分线的性质，可得P为∠A的角平分线；然后根据PA=PB，应用线段垂直平分线的性质，可得P为AB的垂直平分线，所以P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点，据此判断即可．

此题主要考查了角平分线的性质的应用，以及线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握．

8.【答案】B

【解析】

解：∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，

∴∠ACD=∠B，故①正确；

∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴EF∥CD，

∴∠AEF=∠CHE，

∴∠CEH=∠CHE，

∴CH=CE=EF，故②正确；

∵角平分线AE交CD于H，

∴∠CAE=∠BAE，

在△ACE和△AEF中，，

∴△ACE≌△AFE（AAS），

∴AC=AF，故③正确；

CH=CE=EF＞HD，

故④错误．

故正确的结论为①②③．

故选B．

根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．

本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．

9.【答案】A

【解析】

解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，

∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，

∴BF=4，

∴△ABF中，AF==3，

∴×8×3=×5×PD+×5×PE，

12=×5×（PD+PE）

PD+PE=4.8．

故选：A．

过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可．

本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．

10.【答案】C

【解析】

解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，

又∵点G为AF的中点，

∴DG=AG，

∴∠GAD=∠GDA，

∴∠CGD=2∠CAD，

∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，

∴∠ACD=∠CGD，

∴CD=DG=3，

在Rt△CED中，DE==2．

故选：C．

根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．

综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．

11.【答案】80°或50°

【解析】

解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，

当50°为底角时，其他两角为50°、80°，

所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．

故填50°或80° 

等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．

本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

12.【答案】相等的角是对顶角

【解析】

解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；

∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．

将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．

此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．

13.【答案】4

【解析】

解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，

∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），

∵CD=4，

∴DE=4．

故答案为：4．

根据角平分线的性质定理，解答出即可；

本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．

14.【答案】2＜m≤3

【解析】

解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．

故答案是：2＜m≤3．

首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．

本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

15.【答案】9

【解析】

解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，

则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，

∵∠BOC=9°，

∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，

∴9°n＜90°，

解得n＜10．

由于n为整数，故n=9．

故答案为：9．

根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．

考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

16.【答案】

【解析】

解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），

∵AB=2，∠BAC=45°，

∴BH=AB•sin45°=2×=，

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=．

故答案为：．

作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

17.【答案】解：去分母得，8-（7x-1）＞2（3x-2），

去括号得，8-7x+1＞6x-4，

移项得，-7x-6x＞-4-8-1，

合并同类项得，-13x＞-13，

系数化为1得，x＜1．

在数轴上表示如下：

【解析】

根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．

本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．

18.【答案】解：（1）如图所示：点D即为所求；

（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，

∴∠CAB=53°，

又∵AD=BD，

∴∠BAD=∠B=37°，

∴∠CAD=53°-37°=16°．

【解析】

（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．

此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质，正确利用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠B=37°是解题关键．

19.【答案】①证明：在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

②解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

由①得：△ABE≌△CBD，

∴∠AEB=∠BDC，

∵∠AEB为△AEC的外角，

∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，

则∠BDC=75°．

【解析】

①利用SAS即可得证；

②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．

此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

20.【答案】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：

，

解得．

答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，由题意得：

，

解得：12≤m≤13，

∵m是整数，

∴m=12或13，

故有如下两种方案：

方案（1）：m=12，2m-4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；

方案（2）：m=13，2m-4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．

【解析】

（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．

（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m-4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．

此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．

21.【答案】解：（1）AP=CQ．理由如下：

∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，

∴△BPQ为等边三角形，

∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，

∴∠CBQ=∠ABP，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ；

（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，

PB=PQ=4，PA=QC=3，

∵PQ2+CQ2=PC2，

∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．

【解析】

（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；

（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP≌△CBQ是解题的关键．

22.【答案】解：（1）解方程组得：，

∴，解得：a≥2；

（2）由2a-b=1，a≥2，可得：，

解得：b≥3，

∴a+b≥5；

（3）由a-b=m，a≥2，可得m+b≥2，

∴b≥2-m，

∴2-m≤b≤1，

同理可得：2≤a≤1+m，

∴6-m≤2a+b≤3+2m，

∴最大值为3+2m．

【解析】

（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；

（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；

（3）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求2a+b的取值范围，即可得到最大值．

本题考查了一元一次不等式（组）的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．

23.【答案】解：（1）∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2cm，

∵∠C=90°，

∴PB==cm，

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7（cm）；

（2）∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，

∴0＜t≤4，

当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，

∵×AB×CP=AC×BC，

∴×5×CP=3×4，

解得：CP=cm，

∴AP==cm，

∴AC+AP=cm，

∵速度为每秒1cm，

∴t=，

综上所述：当0＜t≤4或t=，△BCP为直角三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t-3=3，

∴t=2；

当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t-4+2t-8=6，

∴t=6，

∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

【解析】

（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；

（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．

（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=3；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．

此题主要考查了勾股定理以及其逆定理等知识，利用分类讨论的思想求出是解题关键．