2012届高中数学学业水平考试试题(含评分标准)

数学试卷(解答)

一、填空题(本大题满分36分) 

1．已知集合，。若，则_______________。

2．函数的定义域为________________。

3．满足不等式的的取值范围是________________。

4．若球的体积为，则球的半径为____________。

5．若直线与直线平行，则_____________。

6．若向量与的夹角为，，，则____________。

7．在中，角、、所对边的长分别为、、。若，，，则___________。

8．若无穷等比数列的首项为，公比为，则该数列各项的和为_____。

9．在的二项展开式中，常数项的值为____________。

(用组合数表示不给分)

10．若为虚数单位是关于的方程 

    的根，则实数____。

11．执行右图所示算法，输出的结果是_____________。

12．已知圆： 与圆：

。设圆与轴正半轴的交点为，圆与圆在轴上方的交点为，直线交轴于点。当趋向于无穷大时，点无限趋近于定点，则定点的横坐标为________。

(点的坐标写对也给满分)

二、选择题(本大题满分36分)

13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则(      )答案

14．函数的反函数是(      ) 答案

15．抛物线的焦点到其准线的距离是(      ) 答案

16．某校高一、高二、高三分别有学生名、名、名。为了解他们课外活动情况，用分层抽样的方法从中取出名学生进行调查，应抽取高二学生人数为(      ) 答案

17．函数(      ) 答案

是奇函数且为增函数               是偶函数且为增函数

是奇函数且为减函数               是偶函数且为减函数

18．已知扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为(      ) 答案

19.函数的最大值是(      ) 答案

20．函数的大致图像是(      ) 答案

21.若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，则直线的方程为(      ) 答案

22.设、是空间两条直线.“、没有公共点”是“、为异面直线”的(      ) 

   答案

    充分但非必要条件         必要但非充分条件         

充分必要条件             既非充分又非必要条件

23．从名男同学和名女同学中随机抽取名，组成环保志愿者小组，这个小组中必有男同学的概率（精确到）为(      ) 答案

24.实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列(      ) 答案

可能是等差数列，但也可能是等比数列       

可能是等差数列，但不可能是等比数列          

不可能是等差数列，但也可能是等比数列      

不可能是等差数列，但也不可能是等比数列

三、解答题（本大题满分分）

25.(本题满分分)

已知，化简并求值：.

解：原式---　（其中：，

）

　　　　---――――

∵，∴原式。--――――

26. (本题满分分)

如图所示，正四棱柱的底面边长为，表面积为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角数值表示）. 

解：∵正四棱柱，表面积为，

---------------

又∵正四棱柱的底面边长为，∴

方法一：∵，∴是异面直线与所成角。---------------

　　　　在中，，---―――

　　　　因此异面直线与所成角的大小为。---―――

方法二：利用空间向量

　　　　①建系、标点---；②向量夹角公式---；③结论---。

27. (本题满分分)

已知等比数列满足，.等差数列满足，.求数列的前项和.

解：设等比数列的公比为，――――――

则――――――

　　∵，∴――――――

又，――――――

设等差数列的公差为，则――――――

于是――――――

所以。――――――

28. (本题满分分 第一题满分分，第二题满分分)

已知双曲线的两个焦点分别为、，渐近线方程为.

(1)求双曲线的方程；

(2)若过点的直线与双曲线的左支有两个交点，且点到的距离小于，求直线的倾斜角的范围.

解：(1)解法一：

设双曲线方程为-------

      根据题意得， 解得

      所以双曲线的方程为。---------------

解法二：

因为双曲线的渐近线方程为，

所以设双曲线方程为

由于焦点在轴上，于是方程是

所以，即

所以双曲线的方程为。---------------

(2)当直线与轴垂直时，点到的距离是，不合题意。---

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，则点到的距离为，由，得

又因为直线与双曲线的左支有两个交点，由渐近线的方程，得： 

综上知，。所以直线的倾斜角的范围是

29. (本题满分分 第一题满分分，第二题满分分)

设函数、有相同的定义域，对任意,过点并垂直于轴的直线与、的图像分别交于点、，向量、满足（为坐标原点）.

(1)若，，求解析式，并作出大致图像；

(2)若，求的最大值和最小值.

解：(1)由，得

因为，，所以， 

作图：①大致图形---；②顶点---；③渐近线---。

      利用整个图形平移---

(2)由题意得

当时， 

由二次函数及不等式性质，得，

且。

设是区间上任意两个实数，且，则，且，即，且，

所以，即。

故在区间上是增函数。---―――――

于是在区间上的最大值是――――，

最小值是。――――

因此在处取得最大值，在处取得最大值。――――