基本平面图形 专题练习题

专题(一)　线段的计算

1、如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．

(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则MN＝_____cm；

(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则MN＝_____cm；

(3)若AB＝m cm，求线段MN的长；

(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．

2、若MN＝k cm，求线段AB的长．

3、若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．

4、如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．

(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；

(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．

5、如图，N为线段AC中点，点M，B分别为线段AN，NC上的点，且满足AM∶MB∶BC＝1∶4∶3.

(1)若AN＝6，求AM的长；

(2)若NB＝2，求AC的长．

6、如图，点B，D在线段AC上，BD＝AB，AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AC的长．

7、已知线段AB＝60 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20 cm，点D是AC的中点，求CD的长．

8、如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．

(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：

BP＝____，AQ＝____；

(2)当t＝2时，求PQ的值；

(3)当PQ＝AB时，求t的值．

专题(二)　角度的计算

1、如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.

(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝____；

(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝____；

(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．

2、若∠EOF＝γ，求∠AOB.

3、如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．

4、如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.

(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为____；

(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；

(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？

5、如图，OC平分∠AOB，∠AOD∶∠BOD＝3∶5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．

6、如图，OC是∠AOB的平分线．

(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

(3)当∠AOB＝α，∠EOC＝90°时，直接写出∠AOE的度数．(用含α的式子表示)

7、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．

(1)在图1中，∠COM＝30度；

(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝∠MOA，求∠BON的度数；

(3)将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是____秒；(直接写出结果)

(4)在旋转过程中，∠MOC与∠NOB始终保持的数量关系是____，并请说明理由．

参

专题(一)　线段的计算

1、如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．

(1)若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则MN＝7.5cm；

(2)若AC＝a cm，CB＝b cm，则MN＝(a＋b)cm；

(3)若AB＝m cm，求线段MN的长；

(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．

解：(3)因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.

因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.

所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝AB＝m cm.

(4)猜想：MN＝AB＝n cm.

结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝AB一定成立．

2、若MN＝k cm，求线段AB的长．

解：因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.

因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.

所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝AB.

所以AB＝2MN＝2k cm.

3、若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．

解：猜想：MN＝AB＝p cm.理由如下：

当点C在线段AB的延长线上时，如图．

因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.

因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.

所以MN＝CM－CN＝(AC－BC)＝AB＝p cm.

4、如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．

(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；

(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．

解：(1)因为AB＝24，CD＝10，

所以AC＋DB＝AB－CD＝14.

因为M，N分别是AC，BD的中点，

所以MC＋DN＝(AC＋DB)＝7.

所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.

(2)因为AB＝a，CD＝b，

所以AC＋DB＝AB－CD＝a－b.

因为M，N分别是AC，BD的中点，

所以MC＋DN＝(AC＋DB)＝(a－b)．

所以MN＝MC＋DN＋CD＝(a－b)＋b＝(a＋b)．

5、如图，N为线段AC中点，点M，B分别为线段AN，NC上的点，且满足AM∶MB∶BC＝1∶4∶3.

(1)若AN＝6，求AM的长；

(2)若NB＝2，求AC的长．

解：设AM＝x，则MB＝4x，BC＝3x，

所以AC＝AM＋MB＋BC＝8x.

因为N为线段AC中点，

所以AN＝NC＝AC＝4x.

(1)因为AN＝6，

所以4x＝6.解得x＝.

所以AM＝.

(2)NB＝NC－BC＝4x－3x＝2，解得x＝2.

所以AC＝8x＝16.

6、如图，点B，D在线段AC上，BD＝AB，AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AC的长．

解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，

因为线段AB，CD的中点分别是E，F，

所以BE＝AB＝1.5x，DF＝CD＝2x.

因为EF＝BE＋DF－BD＝20，

所以1.5x＋2x－x＝20.解得x＝8.

所以AC＝AE＋EF＋CF＝1.5x＋20＋2x＝12＋20＋16＝48.

7、已知线段AB＝60 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20 cm，点D是AC的中点，求CD的长．

解：当点C在线段AB上时，如图1.

图1

CD＝AC＝(AB－BC)＝×(60－20)＝×40＝20(cm)．

当点C在线段AB的延长线上时，如图2.

图2

CD＝AC＝(AB＋BC)＝×(60＋20)＝×80＝40(cm)．

所以CD的长为20 cm或40 cm.

8、如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．

(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：

BP＝5－t，AQ＝10－2t；

(2)当t＝2时，求PQ的值；

(3)当PQ＝AB时，求t的值．

解：(2)当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上，OQ＜10，点Q在线段OA上，如图1.

图1

此时PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝(10＋t)－2t＝10－t＝8.

(3)①当点P在点Q右边时，如图2.

图2

此时，AP＝t，OQ＝2t，OA＝10，AB＝5.

所以PQ＝OA＋AP－OQ＝10＋t－2t＝10－t.

当PQ＝AB时，即10－t＝2.5，解得t＝7.5.

②当点P在点Q左边时，如图3.

图3

此时，OQ＝2t，AP＝t，OA＝10，AB＝5.

所以PQ＝OQ－OA－AP＝2t－10－t＝t－10.

当PQ＝AB时，即t－10＝2.5，解得t＝12.5.

综上所述，当PQ＝AB时，t＝7.5或12.5.

专题(二)　角度的计算

1、如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.

(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝45°；

(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝；

(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．

解：∠EOF与∠AOB之间的数量关系是∠EOF＝∠AOB＝θ.

理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，

所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.

所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝θ.

2、若∠EOF＝γ，求∠AOB.

解：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，

所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.

所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB.

因为∠EOF＝γ，

所以∠AOB＝2γ.

3、如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．

解：∠EOF＝θ成立，

理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，

所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.

所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB＝θ.

4、如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.

(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；

(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；

(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？

解：(2)因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠FOD＝∠AOC＋∠COD＋∠BOD＝(∠AOC＋∠BOD)＋∠COD＝(∠AOB－∠COD)＋∠COD＝∠AOB＋∠COD，∠AOB＝α，∠COD＝β，

所以∠EOF＝α＋β＝(α＋β)．

(3)若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，

则∠EOF＝(∠AOB＋∠COD)．

5、如图，OC平分∠AOB，∠AOD∶∠BOD＝3∶5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．

解：设∠AOD＝3x，则∠BOD＝5x.

所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝3x＋5x＝8x.

因为OC平分∠AOB，

所以∠AOC＝∠AOB＝×8x＝4x.

所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝4x－3x＝x.

因为∠COD＝15°，

所以x＝15°.

所以∠AOB＝8x＝8×15°＝120°.

6、如图，OC是∠AOB的平分线．

(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

(3)当∠AOB＝α，∠EOC＝90°时，直接写出∠AOE的度数．(用含α的式子表示)

解：(1)因为OC是∠AOB的平分线，

所以∠AOC＝∠AOB.

因为∠AOB＝60°，

所以∠AOC＝30°.

(2)如图1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.

如图2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.

所以∠AOE的度数为120°或60°.

(3)90°＋或90°－.

7、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．

(1)在图1中，∠COM＝30度；

(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图2，若∠NOC＝∠MOA，求∠BON的度数；

(3)将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是3或21秒；(直接写出结果)

(4)在旋转过程中，∠MOC与∠NOB始终保持的数量关系是∠MOC－∠NOB＝30°，并请说明理由．

解：(2)设∠NOC＝x°，则∠MOA＝6x°，∠BON＝60°－x°.

由题意，得6x°＋90°＋60°－x°＝180°，解得x＝6.

所以∠BON＝60°－x°＝60°－6°＝54°.

图3

(4)∠MOC－∠NOB＝30°，

①当ON在∠BOC的内部时，如图3，

因为∠MOC＋∠CON＝∠NOM＝90°，所以∠MOC＋(∠BOC－∠NOB)＝90°.

所以∠MOC＋60°－∠NOB＝90°.所以∠MOC－∠NOB＝30°.

图4

②当ON在∠BOC的外部时，如图4，

因为∠MOC－∠CON＝∠NOM＝90°，

所以∠MOC－(∠NOB－∠BOC)＝90°.

所以∠MOC－∠NOB＋60°＝90°.

所以∠MOC－∠NOB＝30°.

综上所述，∠MOC－∠NOB＝30°.