广东省惠州市2016届高三数学4月模拟考试试题 文

数   学（文科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，，则（    ）

（A）        （B）        （C）      （D） 

（2）如果复数的实部和虚部相等，则等于（    ）

    （A）        （B）        （C）          （D）

（3）已知函数是偶函数，当时，，则在区间上，

下列函数中与的单调性相同的是(    )

（A）（B）    （C）    （D） 

（4）已知函数的最小正周期为，则函数的图像（    ）

（A）关于直线对称           （B）关于点对称          

（C）关于直线对称           （D）关于点对称

（5）下列四个结论：

      ①若是真命题，则可能是真命题；

②命题“”的否定是“”；

    ③“且”是“”的充要条件；

    ④当时，幂函数在区间上单调递减.

    其中正确的是（    ）

    （A）①④         （B）②③        （C）①③         （D）②④

（6）如右图，圆内切于扇形, ,若向扇形内随机投掷个点，则落入圆内的点的个数估计值为（    ）

  （A）           （B）          

（C）           （D） 

（7）已知等差数列满足，，

那么当的前项和最大时，的值为（    ）

（A）           （B）        （C）         （D）

（8）某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为（    ）

（A）    （B）      

（C）    （D）

（9）执行如图所示的程序框图，

则输出的结果是（    ）

（A）     （B）          

（C）     （D）

                                      (第8题)

                                                                 （第9题）

（10）已知满足，若目标函数的最小值是，

则的值为（    ）

（A）         （B）           （C）          （D）

（11）已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点，则双曲线的离心率为（    ）

（A）      （B）        （C）       （D）

（12）已知函数，若函数有个零点，

则实数的取值范围是（    ）

（A）      （B）        （C）       （D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为         .

（14）已知函数，直线与曲线相切，则     .

（15）设点是线段的中点，点在直线外，，

，则         .

（16）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直， 

，则多面体的外接球的表面积为        .

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若求面积的最大值.

（18）（本小题满分12分）

随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：

（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.

参考公式： 

（19）（本小题满分12分）

如图，是底面边长为，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于， 设.

（Ⅰ）证明：； 

（Ⅱ）当时，求点到平面的距离. 

（20）（本小题满分12分）

已知点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直线与直线的斜率存在且互为相反数，求直线的斜率.

（21）（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个极值点，证明：.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知圆是的外接圆, ,是边上的高,是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.

（Ⅰ）求证： ；    

（Ⅱ）若，求的长.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的方程为.

(Ⅰ)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

(Ⅱ)若点的直角坐标为，圆与直线交于两点，求的值.

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

    (Ⅰ)当时，求不等式的解集；

(Ⅱ)证明：

惠州市2016届高三模拟考试文科数学参：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

2.【解析】令，展开解得a=3，b=-3a=-9，故,选A.

3.【解析】根据题意画出每个函数的图像，可知选C.

4.【解析】由得，选A.

5.【解析】①错，②对，③错，④对，选D.

6.【解析】不妨设内切圆的半径为1，则扇形的半径为3，由，选C.

7.【解析】，，选B.

8.【解析】如图，根据三视图可知该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，

求得其体积为为24，选D　

9.【解析】

……；输出，选A.

10.【解析】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，则由平面区域可知，当目标函数取得最小值时过点，故，选C．

11.【解析】两曲线的一个交点坐标为，从而，

故，解得，选D.

12.【解析】由得到，，当时，得到，得到，所以，当时，，所以要使在时有一个零点，则，所以实数的取值范围是,选B.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.    14. 0     15. 2    16. 

13.【解析】显然，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和. 

14.【解析】设点为直线与曲线的切点，则有．

，．解得．

15.【解析】由＝16，得, ,故. 

16.【解析】设球心到平面的距离为，由题意可知点到平面的距离为，

∴，∴，，

∴多面体的外接球的表面积为.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由正弦定理得   ………1分

           ……2分

              ………3分

由，   ………………4分

由于，因此，所以   ………5分

由于，   ………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得   ……………7分

  ………8分

，当且时，等号成立 .  …………10分

面积  …………11分

因此面积的最大值………12分

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012,2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013,2016），（2014，2015），（2014,2016），（2015,2016）共10种， 

 ……2分

至少有1年多于20人的事件有: （2012，2015），（2012,2016），（2013，2015），（2013,2016），（2014，2015），（2014,2016），（2015,2016）共7种,           ……4分

则至少有1年多于10人的概率为. ……………5分

（Ⅱ）由已知数据得，……………7分

  ……………8分

……………9分

所以，  ……10分

所以是正相关，回归直线的方程为  ……………11分

则第2019年的估计值为  ……………12分

19. （本小题满分12分）

 （Ⅰ）证明：∵是正三棱柱，  ∴平面//平面……2分

∵平面平面=，平面平面=    

∴               ……………………4分

∵，    ∴……………………6分

（Ⅱ）连结，点到平面的距离等于三棱锥的高，

设其值为              …………………7分

当时，，四边形是等腰梯形，经计算得梯形的高为  ……8分

∴， …………9分

∵是正三棱柱，∴ …………10分

得到…………11分

所以点到平面的距离为.…………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设点的坐标为，   ①       ……… 1分

    ②        ……… 2分

①②得，     　　整理得     ……… 3分

∴轨迹的方程为（）   ……… 4分

（Ⅱ）点()在轨迹M上∴，解得，即点A的坐标为……5分

设，则直线的方程为：，代入，并整理得

  ………6分

设, ,   ∵点在轨迹C上，∴  ③ ………7分

   ④    ………8分

又得，将③、④式中的代换成，可得

，     ………9分

∴直线EF的斜率  ………10分

∵    ………11分

∴………12分

21. （本小题满分12分）

（Ⅰ）函数的定义域为.       ………1分

.      ………2分

，方程的判别式.

①当时，，∴，故函数在上递减  ………3分

②当时， ，由可得，.………4分

所以，当时，在上递减；

当时，在上递增，在，上递减.………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，函数有两个极值点，且……7分

………8分

………9分

设则   ………10分

，

所以在上递增， ………11分

所以    ………12分

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）

（Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形   ………1分

因为，，………2分

所以   ………3分

即  ………4分

又，所以         ………5分

（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，………6分

又，所以，………7分

因为，所以   ………8分

所以，得, ……9分

所以………10分

23. （本小题满分10分）

（Ⅰ）消去参数得直线的普通方程为，  ………2分

由得圆的直角坐标方程.   ………5分

（Ⅱ）由直线的参数方程可知直线过点，     ……6分

把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，

得，  …………7分

化简得,，故设是上述方程的两个实数根，所以，……8分

两点对应的参数分别为，           ………………9分

所以.    ………………10分

24. （本小题满分10分）

（Ⅰ） 当时，，原不等式等价于

………………3分

解得                ………………4分

不等式的解集为  ……………………5分

（Ⅱ）   ……………6分

…………8分

，当且仅当时等号成立。………10分