2020-2021学年河北省某校高一(下)期末考试数学试卷

一、选择题

1.  已知复数(为虚数单位)，则(        ) 

A.   

2.  在中，，，，则(        ) 

A.   

3.  如图，是的直径，点，是半圆弧的两个三等分点，，则等于(        )

A.   

4.  已知一组数据为，，，，，，，，其平均数、第百分位数和众数的大小关系是(        ) 

A.平均数第百分位数众数

B.平均数第百分位数众数

C.第百分位数众数平均数

D.平均数第百分位数众数

5.  五一节放假期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为(        ) 

A.   

6.  如图，正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为(        )

A.   

7.  在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是，则成绩在分的学生人数是(        )

A.   

8.  已知平面平面，＝，下列结论中正确的是( ) 

A.若直线平面，则

B.若平面平面，则

C.若直线直线，则

D.若平面直线，则

二、多选题

1.  已知复数(其中为虚数单位)，则以下说法正确的有(        ) 

A.复数的虚部为

B.

C.复数的共轭复数

D.复数在复平面内对应的点在第一象限

2.  如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是(        )

A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

3.  若向量，，下列结论正确的是(        ) 

A.若，同向，则

B.与垂直的单位向量一定是

C.若在上的投影向量为是与向量同向的单位向量)，则

D.若与所成角为锐角，则的取值范围是

4.  如图，点在正方体的面对角线上运动，则(        )

A.三棱锥的体积不变 平面

C. 平面平面

三、填空题

1.  在长方体中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________. 

2.  水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取个班级，这个班级中抽取的人数分别为，，，，，若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为，则样本数据中的方差是________. 

3.  如果，，，的方差是，则，，，的方差为________. 

4.  已知向量 ，，，若 ，则 ________． 

四、解答题

1. 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：  

两人都射中的概率；

两人中恰有一人射中的概率；

两人中至少有一人射中的概率．

2. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，．  

若，求的值；

若的面积，求，的值．

3. 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生名、名、名．为了解全校学生的视力情况，学校在月日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．

求从高一年级抽取的学生人数；

试估计该学校学生视力不低于的概率：

从视力在内的受测者中随机抽取人，求人视力都在内的概率．

4. 如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速公里/小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，．

试问，快递小哥能否在分钟内将快件送到处？

快递小哥出发分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速公里/小时，问，汽车能否先到达处？

5. 如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是的中点．

求证：平面；

若平面平面，且，求三棱锥的体积．

6. 一个盒中装有编号分别为，，，的四个形状大小完全相同的小球．  

从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于的概率．

从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求的概率．

参与试题解析

2020-2021学年河北省某校高一（下）期末考试数学试卷

一、选择题

1.

【答案】

A

【考点】

复数的模

复数的运算

【解析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】

解：复数(为虚数单位)，

∴，

则．

故选．

2.

【答案】

A

【考点】

正弦定理

【解析】

由正弦定理直接得出答案．

【解答】

解：∵，，，

∴由正弦定理得．

故选．

3.

【答案】

D

【考点】

向量的线性运算性质及几何意义

圆周角定理

【解析】

连结、，由圆的性质与等腰三角形的性质，证出且，得到四边形为平行四边形，所以，再根据题设条件即可得到用表示向量的式子．

【解答】

解：连结、，

∵点、是半圆弧的两个三等分点，

∴弧弧，可得，，

∵，

，

由此可得，

∴，

∴四边形为平行四边形，可得，

∵，，

∴．

故选.

4.

【答案】

D

【考点】

众数、中位数、平均数

【解析】

从数据为，，，，，，，中计算出平均数、第百分位数和众数，进行比较即可．

【解答】

解：平均数为，

，

第个数即为第百分位数．

众数为，

它们的大小关系是平均数第百分位数众数．

故选.

5.

【答案】

B

【考点】

相互事件的概率乘法公式

对立事件的概率公式及运用

【解析】

根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互事件和对立事件的概率得到结果．

【解答】

解：甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．

∴他们不去北京旅游的概率分别为，，，

至少有人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，

∴至少有人去北京旅游的概率为．

故选.

6.

【答案】

B

【考点】

截面及其作法

【解析】

分别取的中点为，根据平面的性质确定截面图形为正六边形，计算出，结合三

角形的面积公式，即可得出截面图形的面积．

【解答】

解：分别取，，的中点为，，，连接，，，，，

容易得出，，，则点，，，，，共面，

且.

即经过，，三点的截面图形为正六边形.

连接，，，且相交于点，

因为，

所以，

则截面图形的面积为.

故选.

7.

【答案】

D

【考点】

用样本的数字特征估计总体的数字特征

频数与频率

【解析】

根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可．

【解答】

解：根据频率分布直方图得:第二小组的频率是，频数是，

∴样本容量是.

∵成绩在分的频率是，

∴对应的频数（学生人数）是．

故选．

8.

【答案】

D

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中平面与平面之间的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

由线面的位置关系可判断；由面面的位置关系可判断；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断；由面面垂直的判定定理可判断．

【解答】

解：，平面平面，，若直线平面，则或，故错误；

，平面平面，若平面平面，则或与相交，故错误；

，平面平面，，若，则或，故错误；

，平面平面，，若平面直线，又，由面面垂直的判定定理可得，故正确．

故选．

二、多选题

1.

【答案】

B,C,D

【考点】

复数的模

复数的基本概念

【解析】

由已知结合复数的基本概念、复数模的求法及复数的代数表示法及其几何意义逐一核对四个选项得答案．

【解答】

解：，∵复数，∴复数的虚部为，故错误；

，，故正确；

，复数的共轭复数，故正确；

，复数在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限，故正确．

故选．

2.

【答案】

A,B,C

【考点】

频率分布折线图、密度曲线

【解析】

根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．

【解答】

解：，由图可知深圳对应的小黑点最接近，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故正确；

，深圳和厦门对应的小黑点在以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故正确；

，条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故正确；

，平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故错误．

故选．

3.

【答案】

A,C

【考点】

平面向量数量积的运算

数量积表示两个向量的夹角

平行向量的性质

数量积判断两个平面向量的垂直关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：，设 ，所以 所以，，即，所以满足，故正确；

，因为 ，所以也是与垂直的单位向量，故错误；

，因为在上的投影向量为，所以，所以，所以，故正确；

，因为与所成角为锐角，所以且，不同向，

所以 所以，故错误．

故选．

4.

【答案】

A,B,D

【考点】

直线与平面平行的判定

平面与平面垂直的判定

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

利用正方体的性质结合空间线面位置关系求解．

【解答】

解：对于，由题意知，从而平面，

故上任意一点到平面内距离均相等，

所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；

对于，连接，，且相等，

由于选项知：，

所以面，从而由线面平行的定义可得，平面，故正确；

对于，由于平面，所以，

若，则平面，，

则为中点，与为动点矛盾，故错误；

对于，连接，

由且，

可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确．

故选．

三、填空题

1.

【答案】

【考点】

余弦定理

异面直线及其所成的角

【解析】

连接，由 得为异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．

【解答】

解：连接，

∵，

∴为异面直线与所成的角．

连接，在中，

，，

则

，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：．

2.

【答案】

【考点】

众数、中位数、平均数

极差、方差与标准差

【解析】

由平均数的计算公式的出的值，再根据方差的计算公式求解即可．

【解答】

解：由已知得： ，

解得，

所以样本数据中的方差是

.

故答案为：．

3.

【答案】

【考点】

极差、方差与标准差

【解析】

直接利用方差运算的结论求解即可．

【解答】

解：因为，，，的方差是，

则，，，的方差为．

故答案为：．

4.

【答案】

【考点】

向量的模

平面向量共线（平行）的坐标表示

【解析】

根据即可求出，从而可求出，这样即可求出的值．

【解答】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

四、解答题

1.

【答案】

解：设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，

事件与是相互的．

两人都射中的概率为．

两人中恰有一人射中的概率为 

．

两人中至少有一人射中的概率等于减去两个人都没有射中的概率，

∴所求的概率等于 ．

【考点】

相互事件的概率乘法公式

互斥事件的概率加法公式

【解析】

设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件．（1）两人都射中的概率为，运算求得结果．

（2）两人中恰有一人射中的概率为 ，运算求得结果．

（3）两人中至少有一人射中的概率等于减去两个人都没有击中的概率，即 ，运算求得结果．

【解答】

解：设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，

事件与是相互的．

两人都射中的概率为．

两人中恰有一人射中的概率为 

．

两人中至少有一人射中的概率等于减去两个人都没有射中的概率，

∴所求的概率等于 ．

2.

【答案】

解：∵，，

∴．

∵，，

∴由正弦定理得，

∴.

由可解得，

由余弦定理可得

，

∴．

【考点】

解三角形

余弦定理

正弦定理

同角三角函数间的基本关系

【解析】

（1）利用同角三角函数公式求出，再利用正弦定理求的值；

（2）利用三角形面积公式求，再利用余弦定理求的值．

【解答】

解：∵，，

∴．

∵，，

∴由正弦定理得，

∴.

由可解得，

由余弦定理可得

，

∴．

3.

【答案】

解：高一年级抽取的学生人数为：

．

所以从高一年级抽取的学生人数为．

由频率分布直方图，得，

所以．

所以抽取名学生中，视力不低于的频率为，

所以该校学生视力不低于的概率的估计值为．

由频率分布直方图，得

视力在内的受测者人数为，

记这人为，．

视力在内的受测者人数为，

记这人为，，．

记“抽取人视力都在）内”为事件，

从视力在内的受测者中随机抽取人，所有的等可能基本事件共有个，

分别为，，，，，，，，，，

则事件包含其中个基本事件： ，，，

根据古典概型的概率公式，得．

所以人视力都在内的概率为．

【考点】

分层抽样方法

频率分布直方图

列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【解析】

无

无

无

【解答】

解：高一年级抽取的学生人数为：

．

所以从高一年级抽取的学生人数为．

由频率分布直方图，得，

所以．

所以抽取名学生中，视力不低于的频率为，

所以该校学生视力不低于的概率的估计值为．

由频率分布直方图，得

视力在内的受测者人数为，

记这人为，．

视力在内的受测者人数为，

记这人为，，．

记“抽取人视力都在）内”为事件，

从视力在内的受测者中随机抽取人，所有的等可能基本事件共有个，

分别为，，，，，，，，，，

则事件包含其中个基本事件： ，，，

根据古典概型的概率公式，得．

所以人视力都在内的概率为．

4.

【答案】

解：由已知得，（公里），

在中，

由 ，

得 （公里）．

由于：，

于是快递小哥不能在分钟内将快件送到处．

在中，，

得（公里），

在中，，

由：，

得（公里），

由于（分钟），

于是汽车能先到达 处．

【考点】

正弦定理

余弦定理

【解析】

（1）首先利用正弦定理求出结果．

（2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．

【解答】

解：由已知得，（公里），

在中，

由 ，

得 （公里）．

由于：，

于是快递小哥不能在分钟内将快件送到处．

在中，，

得（公里），

在中，，

由：，

得（公里），

由于（分钟），

于是汽车能先到达 处．

5.

【答案】

证明：取的中点，连接，

∵是中点，

∴，且.

又∵，，

∴，，

则四边形是平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

解：取中点，连接，

∵是正三角形，

∴，

∵平面平面，且交线为，

∴平面.

∵，

∴平面，则，

故，.

∵是中点，

∴点到平面的距离等于，

∴三棱锥的体积为：

．

【考点】

直线与平面平行的判定

柱体、锥体、台体的体积计算

【解析】

（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，平面；

（2）取中点，连接，证明平面，求出点到平面的距离，再由等体积法求三棱锥的体积．

【解答】

证明：取的中点，连接，

∵是中点，

∴，且.

又∵，，

∴，，

则四边形是平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

解：取中点，连接，

∵是正三角形，

∴，

∵平面平面，且交线为，

∴平面.

∵，

∴平面，则，

故，.

∵是中点，

∴点到平面的距离等于，

∴三棱锥的体积为：

．

6.

【答案】

解：从盒中任取两球的基本事件有，，，，，六种情况，

编号之和大于的事件有，两种情况，

故编号之和大于的概率为．

有放回的连续去球有，，，，，，，，

，，，，，，，，共个基本事件．

而的包含，，，

，，，共个基本事件．

所以的概率为．

【考点】

列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【解析】

左侧图片未给出解析

左侧图片未给出解析

【解答】

解：从盒中任取两球的基本事件有，，，，，六种情况，

编号之和大于的事件有，两种情况，

故编号之和大于的概率为．

有放回的连续去球有，，，，，，，，

，，，，，，，，共个基本事件．

而的包含，，，

，，，共个基本事件．

所以的概率为．