高中物理-动量定理的六种应用

动量定理的内容是物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即I = △p。动量定理表明冲量是物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量。

动量定理是力对时间的积累效应，使物体的动量发生改变，适用的范围很广，它的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系;它不仅适用于恒力情形，而且也适用于变力情形，尤其在解决作用时间短、作用力大小随时间变化的打击、碰撞等问题时，动量定理要比牛顿定律方便得多。

一、 用动量定理解释生活中的现象

动量定理在实际生活中有着广泛的应用，实际生活中的许多现象都可用动量定理加以解释， 用动量定理解释现象可分为下列三中情况：

1. △p 一定，t短则 F 大，t 长则 F 小

2. F 一定，t短则 △p 小，t 长则 △p 大

3. t 一定，F短则 △p 小，F 长则 △p 大

【典例1】钉钉子时为什么要用铁锤而不用橡皮锤，而铺地砖时却用橡皮锤而不用铁锤？

【答案】见解析

【名师点拨】

 根据动量定理，利用对作用时间的调整来控制作用力的大小。

【典例2】 竖立放置的粉笔压在纸条的一端.要想把纸条从粉笔下抽出，又要保证粉笔不倒，应该缓缓、小心地将纸条抽出，还是快速将纸条抽出?说明理由。

如果缓慢抽出纸条，纸条对粉笔的作用时间比较长，粉笔受到纸条对它摩擦力的冲量就比较大，粉笔动量的改变也比较大，粉笔的底端就获得了一定的速度.由于惯性，粉笔上端还没有来得及运动，粉笔就倒了。

如果在极短的时间内把纸条抽出，纸条对粉笔的摩擦力冲量极小，粉笔的动量几乎不变.粉笔的动量改变得极小，粉笔几乎不动，粉笔也不会倒下。

【答案】见解析

【学霸总结】

1. 体育比赛中的一系列保护措施都可概括为通过延长相互作用的时间来达到减小相互作用力，从而达到保护人体不受伤害的目的，如篮球运动员接迎面飞来的篮球，手接触到球以后，两臂随球后引至胸前把球接住，以延长篮球与手的接触时间，减小篮球对手的作用力。跳高比赛中垫上柔软的海绵垫、跳远比赛中的沙坑、从高处跳落到地面时要双腿弯曲等等。

2. 在轮渡的码头上装有橡皮轮胎，轮船停靠码头时靠在橡皮轮胎上，轮胎发生形变，作为缓冲装置，可以延长作用时间，减小轮船停靠时所受的力。

3. 我们知道，运动是相对的，当鸟儿与飞机相对而行时，虽然鸟儿的速度不是很大，但是飞机的飞行速度很大，这样对于飞机来说，鸟儿的速度就很大，速度越大，撞击的力量就越大。比如一只0.45千克的鸟，撞在速度为每小时80千米的飞机上时，就会产生1500牛顿的力，要是撞在速度为每小时960千米的飞机上，那就要产生1.65万牛顿的力。如果是一只1.8千克的鸟撞在速度为每小时700千米的飞机上，产生的冲击力比炮弹的冲击力还要大，所以浑身是肉的鸟儿也能变成击落飞机的“炮弹”。

二、用动量定理求解平均力问题

所谓平均力就是在较短时间内相互撞击物体间的弹力，因作用时间很短，所以一般该力较大，且一般是变力，故求解的是其平均值。

【典例3】质量为1 kg的小球从距地面高为H = 5 m处由静止开始下落，小球与地面碰撞后能反弹到距地面h = 3.2 m高处。若小球与地面相互作用时间为0.1 s，求小球对地面的平均冲击力多大？不计空气阻力取10 m/ s2 。

【审题指导】所谓的平均冲击力实际上就是小球对地面的压力，只是因为过程时间很短，力较大，故取名为冲击力。

【解析】设小球下落到地面时的速度为，则由  =  得 = 10m/s反弹后的速度设为  则由  == 8 m/s。

从下落开始到反弹到最高点全程应用动量定理有

F = mg(t1+t2+t3) = 0一0，

解得F = 190N.

【答案】190 N

【典例4】 一个质量为 0.18 kg 的垒球以 25 m/s 的水平速度飞向球棒，被球棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为 45 m/s ，设球棒与垒球的作用时间为 0.01 s ，设球棒对垒球的平均作用力有多大？

【分析】 球棒对垒球的作用力是变力，力的作用时间很短。在这个短时间内，力的大小先是急剧地增大，然后又急剧地减小为零。在冲击、碰撞一类问题中，相互作用的时间很短，力的变化都具有这个特点。动量定理适用于变力，因此，可以用动量定理求球棒对垒球的平均作用力。

【解析】 取垒球飞向球棒时的方向为正方向。垒球的初动量为

P = mv = 0.18×25 kg·m/s = 4.5 kg·m/s

垒球的末动量为：p ′= m v′=－0.18×45 kg·m/s = －8.1 kg·m/s

由动量定理可得垒球所受的平均力为：

负号表示力的方向与所选的正方向相反

【答案】1260N

三、用动量定理求变力的冲量问题

变力的冲量不能直接套用公式I = Ft（类似于功的计算式W = Fxcos) 求解，要求解变力冲量（类似于求解变力做功）可选择的方法有：平均值法，即求出变力的平均力，再代入公式I = —Ft 求出变力的冲量。只是平均力能否应用公式：—F =  ，一定要注意其使用条件，千万不能乱套公式。 F—t图象法：画出 F一t图象，算出该图象与横坐标（时间轴）包围的面积就是所求的冲量。另外还有微元法等等不一而足，只是这些方法都有相应的条件，只有符合这些特定的条件才能使用上述这些方法，有较大的局限性，故求解变力冲量的基本方法是应用动量定理求解。

【典例5】 用长为l的细绳拴住一个质量为m的小球在光滑的水平桌面上做速度大小为v的匀速圆周运动，求小球运动半周过程中细绳拉力的冲量。

【答案】2mv

四、用动量定理解决连续流体的作用问题——微元法+流量求时间

所谓的连续作用体是指作用对象是连续不断的无数个微粒，如风或者水流等，解决此类问题的关键是找到相互作用的研究对象，进而对其列出相应的动量定理方程即可。

应用步骤：

⑴ 先选取一个薄片为研究对象，其质量为△m

⑵ 再用“流量”来求“作用时间△t”

 ①1S内流出的液柱的长为v

 ②1S内流出的液柱的体积为Sv

 ③1S内流出的液柱的质量为ρSv

 ④薄片与物体的作用时间 

【典例6】（2016课标1卷）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求

（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【解析】 （i）设时间内，从喷口喷出的水的体积为，质量为，则

由式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

联立式得

【答案】（i）  （ii）

【典例7】 有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。

【思路点拨】 选在时间 △t 内与飞船碰撞的微粒为研究对象，表示出其质量，再根据动量定理即可求解。

【解析】选在时间△t内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量应等于底面积为S，高为v△t的圆柱体内微粒的质量M=mSv△t，初动量为0，末动量为mv。

设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：F•△t=Mv﹣0

则 F===mSv2；

根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的撞击力大小也等于mSv2，则飞船要保持原速度匀速飞行牵引力应增加F′=F=mSv2；

代入数据得：F′=2×10﹣4×10﹣3×0.98×（2×103）2N=0.78N

【答案】0.78N

五、用动量定理巧解电量问题

无论是在磁场还是在电磁感应现象中，安培力都扮演着一个非常重要的角色，特别是一个导体受到的合外力仅为安培力时，对导体棒由动量定理可得IBL = ，设这段时间内通过导体棒某一横截面的电量为q，根据电流强度的定义式可得：q =I。联立以上两式可得：qLB =。这一结论有着非常广泛而巧妙的应用。

另外，该结论还有一种微元法表达式，即：如果导体仅在安培力作用下并且作用的时间  极短，导体的速度发生了极小的变化，那么在这极短的时间内，电流数值是不变的，根据动量定理得：IBL = m，也就是： BL = m：尽管可能在整个过程中，电流强度和安培力的大小是变化的，但是对于每一个极短的时间来说，电流可以认为是恒定的，然后将各个方程两侧的电量微元和速度微元分别求和，就可以得到最终的总电量。

【典例8】相距为 L 的水平光滑导轨上，存在竖直向下的匀强磁场，导轨上放着两根质量均为 m，电阻为 R 的金属棒 AC、DE（如图 ）。开始时，DE 静止，AC 棒以 V0 初速度向右运动，求：在运动过程中通过 AC 棒上的总电量。 

故有：mV0＝2mV 共      V 共＝V0/2 

设回路中的平均电流（对时间平均）为 I，再对 AC 棒用动量定理  得：－BIL△t＝mV 共－mV0 

又 q＝I△t       

所以  q＝

【答案】

【典例9】如图所示，长为L，电阻为r=0.30Ω、质量为m=0.10kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也为L，金属棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有阻值R=0.50Ω的电阻．量程为0～3．OA的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1．OV的电压表接在电阻R的两端．垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力F使金属棒向右移动。当金属棒以V = 2.0m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏。问：

（1）此满偏的电表是什么表？说明理由．

（2）拉动金属棒的外力F多大？

（3）若此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上．求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。

【思路点拨】

（1）通过假设法，根据两电表的量程判断哪个电表先满偏．

（2） 外力做功的功率等于整个回路产生的热功率，根据能量守恒定律求出拉到金属棒的外力F的大小。

（3） 根据牛顿第二定律，通过微分的思想求出撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。

解得：F==1.6N

【答案】（1）电压表满偏（2）1.6N（3）0.25C

六、动量定理的整体(对象与过程）应用

通常情况下动量定理是用来研究单个物体的，但也能应用于多个物体组成的系统，而且恰当的运用这种“整体法"，往往更加简便、快捷，解题的优越性显得更为突出。此时动量定理的方程为：系统受到的合外力的冲量（强调“外"）等于系统内每个物体的动量增量的矢量和，即I合外 =+ + …

【典例10】如图所示，设质量为M的木板静止在动摩擦因数为的水平面上，质量为m的木块以初速v0滑上木板，设经过时间t物块与木板刚具有共同速度，求此速度是多大？

【解析】以初速度方向（水平向右）为正方向，整体受到的合外力就是地面对木板的摩擦力（物块与木板之间的摩擦力为系统的内力，且物块与木板之间动摩擦因数未知），对整体应用动量定理有

-(m +M)gt    =（m + M)v-mv0

解得 v =  - gt

【答案】 - gt