复化辛普森公式及龙贝格方法求解积分

1. 实验目的：

（1） 学习用复化辛普森公式及龙贝格方法求解积分并掌握这种方法。

（2）了解这些辛普森公式及龙贝格方法的概念，参考课本写出用复化辛普森算法以及龙贝格方法计算目标题目的程序，在matlab 中实现，并用matlab 内置的函数计算出结果，并提出存在的问题。

2. 题目：

利用复化辛普森公式和龙贝格方法计算下列积分：

（1）dx e x ⎰-5.002

（2）dx x x ⎰20

2sin )2sin(cos π

二、实验用仪器设备、器材或软件环境

计算机、matlab 软件。

三、实验原理、程序框图、程序代码

1.实验原理：

根据微积分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只要能找到f(x)的一个原函数F(x)，便可利用牛顿-莱布尼茨公式求得积分值。但会经常遇到如下问题：找不到用初等函数，找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便计算等等。此时则不能用牛顿-莱布尼茨公式，因此有必要研究如下公式。

1）复化求积公式及原理

由于高阶插值的不稳定性，为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，将()I f 写成这些小区间上的积分之和，然后对每一个小区间上的积分应用到辛普森公式，或柯特斯公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式就称为复化求积公式。

辛普森公式的数值积分公式为：

⎰+++-≈b

a b f b a f a f a b dx x f )]()2

(4)([6)(

它的集合意义为用通过三点))(,()),2

(,2(

)),(,(b f b b a f b a a f a =+的抛物线围城的曲边形面积来代替给定函数的积分。 同梯形公式一样，也有复化辛普森公式：

)

()(),()()]()(4)([6)(01012

1b f x f a f x f x f x x f h dx x f n n k k k k b

a ==++≈∑⎰-=++ 其中 n a

b h x x x

k k k -=+=

++,2121。 2、龙贝格求积公式及原理 龙贝格积分的算法如下，其中)(i m T 是一系列逼近原定积分的龙贝格积分值。

（1）计算

)]()([2

)0(1b f a f a b T +-= （2）对,...,3,2,1=k 计算下列各步：

])2

))(12((2[211211)1(1)(1∑-=----+-+=k j k k K k a b j a f a b T T 对k m ,...,3,2,1=和,...,2,1,--=k k k i 计算：

14411

1--=--+m i m i m

m i m T T T

2. 程序代码：

（1）复化辛普森求积分程序

（2）龙贝格求积分程序

四、实验过程中需要记录的实验数据表格

辛普森公式实验结果：

第一小题：

龙贝格方法的实验结果第一小题：

第二小题：

五、实验中存在的问题及解决方案

1、开始不能很好的熟悉复化求积公式以及复化柯斯特公式，使得编写的程序问题很多？

解决：跟同学交流最终解决问题。

2、在运行程序时，发现运行的结果有错，并检查不出程序那里出现错误？

解决：将程序删除掉后，重新编写，并注意中文逗号和英文逗号的区别。

六、心得体会

通过这次实验课程，加强了我思考和解决问题的能力，更好的了解运用matlab计算积分问题以及加深对复化辛普森公式和龙贝格方法的理解与运用。通过实验巩固加深了对数值计算方法以及matlab的理解，提高综合运用本课程所学知识的能力，培养了我们思考、深入研究、分析问题、解决问题的能力。通过实际编译系统的分析设计、编程调试，掌握应用软件的分析方法和设计方法。通过这次试验，培养了我们严肃认真的学习态度，同时也是对课本知识的巩固和加强，平时看课本，有些问题不是很能理解，做完实验编程，有些问题就迎刃而解了。而且还能加深记忆。