z变换的基本知识

1 z变换定义

连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。

连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为

                                            （1）

对式（1）作拉普拉斯变换

                                                        （2）

从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令

                                                                    （3）

代入式（2）并令，得

                        （4）

式（4）定义为采样信号的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以表示。

由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。

的z变换的符号写法有多种，如

等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。

式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是，并且时域中的域中的及z域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。

在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式

                        （5）

或的有理分式

                （6）

其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）

                                    （7）

2 求z变换的方法

1）级数求和法

根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。

例1  求指数函数的z变换。

解  连续函数的采样信号表达式为

对应的z变换式为

上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为

。

例2  求单位脉冲函数的z变换。

解  因为采样信号的表达式为

对函数，它意味着仅由一项组成，即，且。所以

2）部分分式展开法

最实用的求z变换的方法是利用时域函数或其对应的拉普拉斯变换式查z变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应的拉普拉斯变换式进行部分分式分解后再查表。

的一般式为

                （8）

（1）当无重根，则可写为个分式之和，即

                （9）

系数可按下式求得，即

                            （10）

（2）当有重根，设为阶重根，为单根，则可展成如下部分分式之和，即

        （11）

式（11）中为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数的计算公式如下

                        （12）

例3  已知，求其相应采样函数的z变换。

解  用直接查z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为

其中    

将诸常数代入部分分式中，有

对照z变换表，查得

            （13）

3 z变换的基本定理

z变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。

表1  拉普拉斯变换和z变换特性

（1）右位移（延迟）定理

若，则

                            （14）

式中是正整数。

证明  根据定义

令，则

根据物理可实现性，时为零，所以上式成为

位移定理的时域描述如图1所示。

图1  位移定理的时域图形描述

从图中可以看出，采样信号经过一个的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动步；经过一个的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动步。

（2）左位移（超前）定理

若，则

                        （15）

证明  根据定义有

令，则

当时，即在零初始条件下，则超前定理成为

                            （16）

2）复域位移定理

若函数有z变换，则

                                                    （17）

式中是常数。

证明  根据z变换定义有

令，则上式可写成

代入，得

3）初值定理

如果函数的z变换为，并存在极限，则

                            （18）

或者写成

                                 （19）

证明  根据z变换定义，可写成

当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得

4）终值定理

假定的z变换为，并假定函数在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则

                                                （20）

证明  考虑2个有限序列

            （21）

和

    （22）

假定对于时所有的，因此在式（3-34）中，比较式（22）和式（21），式（22）可写成

                （23）

令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得

                                            （24）

在式（24）中取时的极限，得

                        （25）

在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当时，两者的级数和均为，由此得

终值定理的另一种常用形式是

                    （26）

必须注意，终值定理成立的条件是，在单位圆上和圆外没有极点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如函数，其对应的脉冲序列函数为，当时是发散的，而直接应用终值定理得

与实际情况相矛盾。这是因为函数不满足终值定理的条件所致。

4 z反变换

1）定义

求与z变换相对应的采样函数的过程称为z反变换，并表示成

                            （27）

注意：z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即

                                    （28）

如图2所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。

图2  采样信号与连续信号的关系

换句话说，z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。

2）z反变换的求法

（1）幂级数展开法（长除法）

根据z变换的定义，若z变换式用幂级数表示，则前的加权系数即为采样时刻的值，即

对应的采样函数为

例4  已知，求。

解 利用长除法

由此得采样函数为

用长除法求z反变换的缺点是计算较繁，难于得到的通式；优点则是计算并无难度，用计算机编程实现也不复杂，而且工程上也只需计算有限项数即可。

（2）查表法（部分分式展开）

工程上最常用的方法是查表法，若较复杂，则首先必须进行部分分式展开，以使展开式的各项能从表中查到。经常碰到z变换式是z的有理分式，对此，可以将展开成部分分式，然后各项乘以z，再查表。这样做是因为绝大部分z变换式的分子中均含有一个z因子。

首先假定的所有极点是一阶非重极点，则展开式如下

                    （29）

式中是的极点，系数可由下式求出

                    （30）

在式（29）两端同乘z，得

                        （31）

从z变换表中查得每一项的z反变换，得

                    （32）

由此得

                            （33）

当有重根时，部分分式形式及系数计算参见式（10）和式（12）。

例5  求下式的z反变换

解  该式的部分分式分解可得的部分分式展开式为：

查表得

其中        

采样信号为