例题剖析
1．一本书共132页，在这本书的页码中，共用了多少个数字？
2．一本书有408页，要把它编出页码1，2，3，4，…，407，408，数字2一共要出现几次？
3．排一本辞典的页码共用了2925个数字，请你算一下，这本辞典有多少页？
4．有一本书的中间被撕掉了一张，余下各页的页码数之和正好是1145，那么被撕掉的那一张的页码数是几？
5．一本辞典1998页，把第1页一直到最后的1998页连续放在一起，组成一个很大的数，即：123456710111213…1998，那么这是一个几位数？
6．一本书100页，计算页码1﹣100这些自然数中的所有数字的和是多少？
7．一本辞典999页，把第1页一直到最后的999页连续放在一起，组成一个数：123456710111213…9979999．试求，第666个数字是几？第1999个数字是几？
练习
8．一本科幻小说共320页，问：
（1）印这本科幻小说的页码共要多少个数字？
（2）数字0在页码出现了多少次？
9．排一本学生词典的页码，共用了3829个数字，问这本词典共有几页？
10．一本故事书的页码，用了49个0，问这本书共有几页？
11．一本《新编小学生字典》共563页，需要多少个数码编页码？
12．一本书的页码，在排版时用了2691个数码，则这本书一共有多少页？
13．一本书共1000页，把第1页一直到最后的第999页连续放在一起，组成一个很大的数，即123456710111213…999，那么，这是一个几位数？
14．一本书的页码从1至82，共有82页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误的多加了一次，结果得到的和为3440．则这个被多加了一次的页码是多少？
15．将一本书的页码从小到大排列成一个大数：123456710111213…则从左起第2000位上的数字是几？
16．排一本500页的书的页码，共需要多少个0？
17．有一本68页 的书，中间缺了一张，小杰将残书的页码相加，得到2305，老师说小杰一定算错了，你知道为什么吗？
家庭作业：
18．一本《儿童时代》共98页，需要多少个数码编页码？
19．一本书的页码为1至82页，即共82页．把这本书的各页的页码累加起来时，有一页码漏加了．结果得到的和数为3396．问这个被漏加的页码是几？
2013年四年级奥数题：页码问题
参与试题解析
例题剖析
1．一本书共132页，在这本书的页码中，共用了多少个数字？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 从1到132页按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数．它们分别是1个、2个、3个数字，由此 分析解答即可． |
| 解答： | 解：一位数：1页到9页，有9个数字； 两位数：10页到99页，有90个数，共180个数字； 三位数：100页到132页，有33个数，共99个数字． 所以编辑这本书的页码有9+180+99=288个数字． |
| 点评： | 注意分段解决页码问题． |
2．一本书有408页，要把它编出页码1，2，3，4，…，407，408，数字2一共要出现几次？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 这道题，如果一个一个数出来，是很容易遗漏的，竞赛时间也是不允许的．但如果把1到408分成1到99，100到199，200到299，300到399，400到499，400到408共有5部分，逐个考虑，问题就容易解决了． |
| 解答： | 解：从1到99再分为1到9、10到19、20到29、…90到99共10个部分来分析．显然，20到29这个部分2出现11次，其余都仅各出现1次2，即从1到99共出现20次2； 同样的道理，从100到199、300到399都各出现20次2，而从200到299，2出现的次数比从1到99多了百位上的100个2，即出现了120次2； 从400到408这部分仅出现1次2． 所以，408页的书编页中数字2一共要出现20+40+120+1=181次． |
| 点评： | 因为一个页码为几位数就含有几个数字，所以完成本题据页码的位数进行分析解答比较简单． |
3．排一本辞典的页码共用了2925个数字，请你算一下，这本辞典有多少页？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 成本题可按页码的位数进行分析，1﹣9页9个，10到99页，有90×2=180（个），100﹣999页，有900×3=2700（个），以上共9+180+2700=28个数字；2925﹣28=36（个），从1000页起，每页用4个数字，用36个数字的页数为：36÷4=9页，所以，这本词典共有页数：999+9=1008页． |
| 解答： | 解：1﹣9页9个，10到99页， 有90×2=180（个）， 100﹣999页，有900×3=2700（个）， 以上共9+180+2700=28个数字； 2925﹣28=36（个）， 从1000页起，每页用4个数字，用2000个数字的页数为：36÷4=9页； 所以，这本词典共有页数：999+9=1008页； 答：这本辞典共有1008页． |
| 点评： | 因为一个页码为几位数就含有几个数字，所以完成本题据页码的位数进行分析解答比较简单． |
4．有一本书的中间被撕掉了一张，余下各页的页码数之和正好是1145，那么被撕掉的那一张的页码数是几？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字和应为奇数．余下的各页码数之和是1133，所以这本书的页码总和为偶数．设这本书n页，则n（n+1）÷2＞1145，据此分析即可． |
| 解答： | 解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是： 1+2+…+n=n（n+1）， 由题意可知，n（n+1）＞1145， 由估算，当n=48时，n（n+1）=×48×49=1176， 1176﹣1145=31， 根据书页的页码编排，被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，31=15+16． 所以，这本书有48页，被撕的一张是第15页和第16页． 即这本书共48页，撕掉的是第15页和第16页． |
| 点评： | 解答此题的关键在于弄清被撕掉的两页数字和为奇数． |
5．一本辞典1998页，把第1页一直到最后的1998页连续放在一起，组成一个很大的数，即：123456710111213…1998，那么这是一个几位数？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 只要求出组成1～1998共需要多少个数字，即能求出这是一个几位数．根据自然数的排列规律及数位知识进行分析即可． |
| 解答： | 解：1～9共需要9个数字， 10～99共需要2×90=180个数字， 100～999共需要3×900=1700个数字， 1000～1998共需要4×999=3996个数字， 所以，这是一个9+180+2700+3996=6885位数． |
| 点评： | 根据自然数的排列规律及数位知识计算出组成这些数的数字的个数是完成本题的关键． |
6．一本书100页，计算页码1﹣100这些自然数中的所有数字的和是多少？
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| 专题： | 探索数的规律． |
| 分析： | 考虑0到99，也就是00到99这100个“两位数”，共用数字100×2=200个，其中，数字0到9出现的次数相等，都是200÷10=20次；因此00到99的所有位数字的和=（0+1+2+…+9）×20=900；再加上100上的数字1即可解决问题． |
| 解答： | 解：00到99这100个“两位数”，共用数字100×2=200个， 数字0到9出现的次数相等，都是200÷10=20次； 所以00到99的所有位数字的和是（0+1+2+…+9）×20=900； 900+1=901； 答：1﹣100这些自然数中的所有数字的和是901． |
| 点评： | 注意把一位数看做两位数，使问题简单化统一化． |
7．一本辞典999页，把第1页一直到最后的999页连续放在一起，组成一个数：123456710111213…9979999．试求，第666个数字是几？第1999个数字是几？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 一位数字1、2、3、4、5、6、7、8、9共占9个位，两位数字10、11、12…99，共有99﹣9个数，所占的位数是（99﹣9）×2，三位数字100、101、102、…999共有999﹣99个数，所占的位数（999﹣99）×3，根据已知得出第666个数字是第638个3位数的第3位，进而得出即可． |
| 解答： | 解：因为共有9个1位数，90个2位数，900个3位数； ①666﹣9﹣180=477， 所以477÷3=159， 因为159是继99后的第159个数， 所以此数是258，第三位是8； ②1999﹣9﹣180=1810， 所以1810÷3=603…1， 因为此603是继99后的第603个数 所以此数是702，它后面的数字是703，第一位数字是7； 答：第666个数字是8，第1999个数字是7． |
| 点评： | 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出变化规律是解题关键． |
练习
8．一本科幻小说共320页，问：
（1）印这本科幻小说的页码共要多少个数字？
（2）数字0在页码出现了多少次？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 本题根据自然数的排列组合规律及数位知识进行分析完成即可． |
| 解答： | 解：（1）个位数页码1～9共需要9个数字， 两位数页码10～99共需要2×90=180个数字， 三位数页码100～320共需要221×3=663个数字． 则这本书页码共用了9+180+663=852（个）数字． 答：印这本科幻小说的页码共要8个数字． （2）10～99，共出现了9次； 100～109，共出现了11次； 110～199，共出现了9次； 200～209 共出现了11次 210～299 共出现了9次 300～309 共出现了11次 310～320 共出现了2次． 共计：9×3+11×3+2=62次 答：数字0在页码出现了62次． |
| 点评： | 根据自然数的排列组合规律及数位知识分数段进行分析是完成此类题目的关键． |
9．排一本学生词典的页码，共用了3829个数字，问这本词典共有几页？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 完成本题可按页码的位数进行分析，1﹣9页9个，10到99页，有90×2=180（个），100﹣999页，有900×3=2700（个），以上共9+180+2700=28个数字；3829﹣28=940（个），从1000页起，每页用4个数字，用940个数字的页数为：940÷4=235所以，这本词典共有页数：999+235=1234页． |
| 解答： | 解：1﹣9页9个，10到99页， 有90×2=180（个）， 100﹣999页，有900×3=2700（个）， 以上共9+180+2700=28个数字； 3829﹣28=940（个）， 从1000页起，每页用4个数字，用2000个数字的页数为：940÷4=235页； 所以，这本词典共有页数：999+235=1234页； 答：这本辞典共有1234页． |
| 点评： | 因为一个页码为几位数就含有几个数字，所以完成本题据页码的位数进行分析解答比较简单． |
10．一本故事书的页码，用了49个0，问这本书共有几页？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 本题根据自然数的组合排列规律及数位知识分析完成即可． |
| 解答： | 解：1～99共需要9个0， 100～199共需要20个0， 200～299共需20个0． 此时共用了9+20+20=49个零， 所以这本书页数可为290～299之间． |
| 点评： | 此类题目根据数段进行分析计算比较简单． |
11．一本《新编小学生字典》共563页，需要多少个数码编页码？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 本题根据自然数的排列规律及数位知识进行分析即可． |
| 解答： | 解：1～9页共需要 9个数字， 10～99共需要2×90=180个数字， 100～563共需要3×4=1392个数字， 所以，1～563页共需要：9+180+1392=1581（个）数码． |
| 点评： | 根据自然数的排列规律及数位知识计算出组成这些数的数字的个数是完成本题的关键． |
12．一本书的页码，在排版时用了2691个数码，则这本书一共有多少页？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 本题根据自然数的排列规律及数位知识进行分析完成即可． |
| 解答： | 解：个位数页码1～9共需要9个数字； 两位数页码10～99共需2×90=180个数字； 三位数页码100～999共需3×900=2700个数字； 因为2700＞2691， 2691﹣9﹣180=2502（个）， 也就是说，三位数字的数有2502个数字； 2502÷3=834，说明三位数字的数有834个； 834+90+9=933（页）； 答：这本书共有933页． |
| 点评： | 此题属于页码问题，在解题时应注意分段来解答． |
13．一本书共1000页，把第1页一直到最后的第999页连续放在一起，组成一个很大的数，即123456710111213…999，那么，这是一个几位数？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 一位数字1、2、3、4、5、6、7、8、9共占9个位，两位数字10、11、12…99，共有99﹣9个数，所占的位数是（99﹣9）×2，三位数字100、101、102、…999共有999﹣99个数，所占的位数（999﹣99）×3，把三种情况的位数加起来，即可得解． |
| 解答： | 解：9+（99﹣9）×2+（999﹣99）×3 =9+180+2700 =28， 答：这是一个28位数． |
| 点评： | 解决此题的关键是数清多少个一位数、二位数和三位数，一位数占1个位，二位数占2个位，三位数占3个位，加起来得解． |
14．一本书的页码从1至82，共有82页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误的多加了一次，结果得到的和为3440．则这个被多加了一次的页码是多少？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 一本书的页码从1至82，共有82页，则所有页码之和是1+2+3+…+82，根据高斯求和公式求出所有页码之和后，用3440减去所有页码之和即得这个被多加了一次的页码是多少． |
| 解答： | 解：1+2+3+…+82 =（1+82）×82÷2， =83×82÷2， =3403． 3440﹣3403=37． 答：被多加了一次的页码是37． |
| 点评： | 高斯求和公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2． |
15．将一本书的页码从小到大排列成一个大数：123456710111213…则从左起第2000位上的数字是几？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 根据自然数的排列规律及数位知识，只要算出2000个数字能组成多少个页码即能知道从左起第2000位上的数字是几． |
| 解答： | 解：组成一位数页码1～9需要9个数字， 两位数页码10～99需要2×90=180个数字， 此时还剩2000﹣9﹣180=1811个数字， 能组成三位数页码1811÷3=603个…2个． 即此时能组三位数页码603个，还剩2个数字． 则第2000个数字为100+603=703中的第二个数字为0． 即左起第2000位上的数字是0． |
| 点评： | 明确自然数的排列规律及数位知识是完成本题的关键． |
16．排一本500页的书的页码，共需要多少个0？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 据自然数的组成结构及排列规律可知，在1～500页中，页码1﹣10间，只有1个0（也即页码10）出现；页码11﹣100间，20、30、40…90逢10的倍数会出现一个0，100页上有2个0，共有10个0；页码101﹣110间，每个页码都有一个0，共有10个0，页码为111﹣200的情况与11﹣100间一样，也是10个0，即101～200之间共20个零；由此可知，201～400之间0的个数与101～200之间的个数是一样的，据此将每个数段的零相加即得数字0在页码出现了多少次． |
| 解答： | 解：解：页码1﹣10间，只有1个0（也即页码10）出现； 页码11﹣100间，20～90共有8个0，100页上有2个0，共有10个0； 页码101﹣110间，共有10个0， 页码为111﹣200的情况与11﹣100间一样，也是10个0，即101～200之间共20个零； 所以1～500页中，则数码0在页码中出现的次数是1+10+20×4=91个． 故答案为：91． |
| 点评： | 根据自然数的排列规律及结构按数段进行分析是完成此类问题的关键． |
17．有一本68页 的书，中间缺了一张，小杰将残书的页码相加，得到2305，老师说小杰一定算错了，你知道为什么吗？
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| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 有一本68页 的书，则所有页码的和相加的和是1+2+3+…+68=2346，小杰将残书的页码相加，得到2305，2346﹣2305=41，由于中间缺了一张，根据页码的排列规律可知，缺的两页的页码应是相连的，且缺的这张的前一页的页码应是奇数，后一页应是偶数，而41=20+21，前偶后奇，不符合据页码的排列规律．所以错了． |
| 解答： | 解：1+2+3+…+68 =（1+68）×68÷2， =69×68÷2， =2346． 2346﹣2305=41． 41=20+21． 前偶后奇，不符合据页码的排列规律，所以错了． |
| 点评： | 明确页码的排列规律是完成此类题目的关键． |
家庭作业：
18．一本《儿童时代》共98页，需要多少个数码编页码？
| 考点： | 页码问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 传统应用题专题． |
| 分析： | 本题根据自然数的组成规律及数位知识按一位数、两位数、两种情况进行分析计算即可． |
| 解答： | 解：一位数：1～9，共需9个数码； 两位数：10～98共需要（98﹣9）×2=178个数码； 9+178=187（个） 答：需要187个数码编页码． |
| 点评： | 完成本题要注意一位数、两位数、两种情况进行分析计算． |
19．一本书的页码为1至82页，即共82页．把这本书的各页的页码累加起来时，有一页码漏加了．结果得到的和数为3396．问这个被漏加的页码是几？
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| 专题： | 数性的判断专题． |
| 分析： | 由于共82页，则所有页码之和是1+2+3+…+82，由此据高斯求出公式求出所有页码之和，减去3396，即是被漏加的页码是几． |
| 解答： | 解：1+2+3+…+82 =（1+82）×82÷2， =83×82÷2， =3403． 3403﹣3396=7． 答：被漏加的页码是7． |
| 点评： | 高斯求出公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2． |
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